第7讲 认知科学与系统哲学

无限的悖论



伽里略时代就发现：无限集合可以等价于（一一 对应）自己的真子集，这就是无限的悖论。而戴 德金把这一事实作为无限集合的定义。 康托尔的集合论详细分析了基数（势）和超限 （无限的）序数的阶。 集合论悖论与无限悖论产生的原因是实无限抽象 法，它把那些适用于有限集合的简明的和绝对正 确的传统逻辑的规律无条件地搬用到无限集合。
哥特洛布· 弗雷格（1848-1925）


弗雷格是德国耶拿大学数学 教授，在耶拿平静地度过一 生，主要著作有： 《概念文字》（1879）； 《算术基础》（1884）； 《算术基本法则》（第一卷， 1893；第二卷，1903）。
形式语言


《概念文字》的副标题是“一种 摹仿算术语言构造的纯思维的形 式语言”。 他认为日常语言的不完善性在于 语法关系复杂，不服从逻辑规则， 不能表达精确的意义，不能进行 严格的推理。亚里斯多德用传统 逻辑规范语言形式失败的根源在 于主谓逻辑。因此，需要发明形 式语言。
自然数的定义




弗雷格认为，自然数并不是一个类所包含的事物的数目，自然 数就是类（集合）本身，但却不是可感事物的类，也不是无条 件地等同于类，而是可以从逻辑上加以限定的类。 从逻辑上看，一切事物可以分为两大类：一类是自身相等同的 事物，另一类是与自身不相等同的事物。 弗雷格把数目0定义为“一切与自身不相等同的事物的类”， 相当于“空集”。 数目1定义为“一切与0相等同的类所组成的类”，数目2定义 为“一切与0相等同的类和一切与1相等同的类所组成的类”， 依次类推。 弗雷格的依次定义的序列设定了自然数序列的无限性，但是设 定本身却是无法证明的，称为“无限性公理”。 更为严重的是，在“等同”和“非等同”的逻辑区分被运用于 “类”的情况下，还会产生逻辑悖论。
希尔伯特旅馆


罗素的类型理论还无法消除类似“贝利悖论”的怪物：比 如“用至少15个字描述的最小整数”。另外，还要简单地 断定无限的存在，引入无限公理与选择公理，但无限概念 包含着令人费解的矛盾，当我们考虑无限集合的时候，可 能不存在明确的选择方法：罗素设想一个有钱人有无数双 袜子，他让男仆从每双袜子中都挑出一只；但男仆无法开 始，因为他无法确定要选择每一双中的哪一只。 伟大的数学家希尔伯特提出了一个关于无限数的有趣设想， 叫做“希尔伯特旅馆”。一位旅客来到希尔伯特的旅馆想 租一个房间，经理说：“客满了，不过这不是不可解决的 问题；我们能够为你腾出地方来。”他把新客人安排在1号 房，将1号房的人搬到2号房，2号房的人搬到3号房，N号 房的人搬到N+1号房等等。这个旅馆正好有无限多间房。
存在无限多个超限数

0：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …… 1：

2:
现代连续统理论



公理方法，无穷集和不可数集是现代连续统理论的关键概念。 戴德金把无穷集定义为：一个集合是无穷的，当且仅当它的 元素与其真子集的元素之间建立起一一对应的关系。 一个无穷集是可数的，当且仅当它能一一映射到自然数集上， 否则它就是不可数的。连续统就是一个不可数无穷集。 自然数极其稀疏地分布于实数中，每个自然数都被无数个超 越数包围着：“代数数[包括自然数]分布于平面上，如黑夜 中的星辰；而浓密的夜空便是超越数的疆土。”
罗素：二十世界最伟大哲学家

贝特兰•罗素（18721970）是分析哲学的 创始人，20世纪闻名 世界的哲学家与社会 活动家。他与柏格森， 加缪是获得诺贝尔文 学奖的少数专业哲学 家。
罗素悖论的发现




1900年3月，罗素在巴黎参加国际哲学家大会， 在会上接触到了皮亚诺关于自然数算术公理的 思想（与数学归纳法有关），这成为他开始探 索符号逻辑的精神转折点。 1901年6月，在运用康托尔创立的集合论解决 自然数数列问题时，罗素发现了悖论。 1902年6月16日，他写信给弗雷格，告之这一 发现。弗雷格读后大为震惊，他在即将出版的 《算术基本法则》第二卷的结尾处写道： 一个科学家的工作完成之日，也是这一建筑物 的基础倒塌之时，没有什么比这更糟糕了。当 本书即将付梓之时，罗素先生的一封信把我置 于这样的境地。
皮亚诺的算术构造


皮亚诺从不经定义的“集合”，“自然数”， “后继者”与“属于”等概念出发，提出了关 于自然数的五个公理： （1）1是一个自然数； （2）1不是任何其它自然数的后继者； （3）每一个自然数a都有一个后继者； （4）如果a与b的后继者相等，则a与b也相等； （5）若一个由自然数组成的集合S含有1，又若 当S含有任一数a时，它一定也含有a的后继者， 则S就含有全部自然数。
哥德尔定理


所谓哥德尔定理，一般是指如下的句 子：在足以包括数论的任一形式系统 中，存在着一个不可判定的公式—— 即一个公式和它的否定都是不可证明 的。（这个语句往往是指哥德尔第一 定理） 有时还在这语句中加上：不可判定的 公式是真的。 这定理的一条系定理是：足以包括数 论的形式系统的协调性在本系统中不 能得到证明（哥德尔第二定理）。
伽里略悖论与康托尔对角线法


伽里略注意到一个类似的悖论，每一个整数可以平方，由 此我们可以断言平方数与整数一样多。 1→12=1,222=4，332=9，等等。 但为何会这样，按照熟知的事实存在不是平方数的整数， 如2，3，5，6，……。 1847年，康托尔发现对角线方法，证明了无理数比有理 数的数目多得多。假如我们把0和1之间随机选择的数字按 顺序排列起来，那么就可以发现这个序列即使达到无限长， 都一定会有数字不在里面。我们能够构造一个新数：选择 第一个数的10分位的数字作为新数的第一个数字；以第二 个数字百分位数字为新数的第二个数字；如此类推，最后 得到的新数无法排列进去。
连续统假设的独立性


百度文库

1938年，哥德尔证明了， 连续统假设在标准的集合 论系统中是不可否证的。 1963年，P.柯亨证明了， 连续统假设也是不可能证 明的。 连续统假设独立于集合论 公理这一认识，象认识到 平行公设在欧氏几何中的 独立性一样，很可能成为 新发展的丰富源泉。
数学中的无限



无限概念的数学分析，不同于无限概念的哲学分 析。无限的数学分析注重形式上没有矛盾的无限 概念，无限的哲学分析注重无限的辨证性质。 德莫克利特的原子论，因为不可通约性的发现而 动摇；欧几里德的比例论是后来连续统理论的原 形；阿基米德的穷竭法，已经包含了极限概念。 微积分引入了无限小量与无限大量，柯西把“变” 量概念引入极限运算。实数理论，连续统问题， 包含着对无限的理解。
罗素悖论



弗雷格对数的定义从0开始，这一定义的前提是把一切事物 分为“与自身相等同”和“与自身不相等同”两类。如果把 这一逻辑标准应用于“类”或“集合”，那么，一切集合也 可分为“与自身相等同”（比如，由“抽象概念”组成的集 合就是一个抽象概念）和“与自身不相等同”（由“水果” 组成的集合不是一个水果）两大类。悖论就出在“一切与自 身不相等同的集合组成的集合”这一概念。 用集合论的符号表示，“属于集合”记作x，“与自身相 等同的集合”即“属于自身的集合”，记做x x，与自身不 相等同的集合”记作xx。设A{xx}，如果A A，则A A； 如果A A，则A A。 类似的悖论有“说谎者悖论”与“理发师悖论”。
布尔代数



1847年，布尔（1815-1864）提出了逻辑 代数的构想以后，符号逻辑获得了长足的 进步。 他把一个真命题的真值规定为1，假命题 的真值规定为0。否定关系（非）为~，合 取关系（且）为+，析取关系为。 于是就有：~0=1，~1=0； 0+0=0，0+1=1+0=1，1+1=1（并联电路） 00=0，01=10=0，11=1（串联电路） 所有x是y表示为x（1-y）=0 无x是y表示为xy=0 有x是y表示为xy=v 有x不是y表示x（1-y）=v。
连续统问题


康托尔-戴德金型的连续统理论产生了连续统问题： 如果是所有自然数集合{1，2，3，…}的基数， 即所有与它等价的集合之集合，那么可以表明， {1，2，3，…}的所有子集的集合的基数c也是所 有实数之集合的基数，用恰当的取幂定义来表示 就是：c=2。 康托尔用对角线论证法证明了，<c，而且他猜 测说，不存在这样一个基数x，使得<x<c。c是 继之后更高的基数这一猜测，通常称为连续统 假设。
第7讲
认知科学哲学与系统哲学
有一种比海洋更大的景象，这便是天空。 有一种比天空更大的景象，这便是人的内心活动。（雨果）
一. 数理逻辑与人工智能


数理逻辑来自于悖论的研究，一般说来，凡“似是而非”， “似非而是”的论点，都被人们称之为“悖论”。 构成一个悖论需要具备如下条件： （1）悖论都表现为两个相互矛盾的命题等价式，其一般 形式为：P↔-P； （2）悖论作为一种特殊的逻辑矛盾，具有与普通逻辑矛 盾相区别的两个特征： 第一，任一悖论都是相对于某些公认的背景知识而言的， 这些共识既可以是人们公认的明晰知识，也可以是人们不 自觉地确认的共同直觉； 第二，任一悖论都是从某些共识合乎逻辑地推导出来的。
类型理论



1906年，罗素在《数学原理》和一些论文中，提出了 解决罗素悖论的方案。他发现，一切悖论都来源于自 我指示的恶性循环，即：用已经蕴涵着整体规定性的 个体定义反过来规定整体。 整体与个体的关系有不同的层次，其逻辑形式就是类 型。罗素提出用简单类型理论处理集合与元素，集合 与子集的关系。 0级类型：个体a，b，c……等，它们是变元x的值。 1级类型：1级谓词f和0级变元构成fx。 2级类型：2级谓词F和较低级变元构成Fx和F（fx）。 一般来说，n+1级类型由n+1级谓词和n级以及n级以下 变元构成。这就是罗素简单类型理论。
《数学原理》



在所有的数学都可以还原为关于自然数学的命题 这个流行的假设下，罗素提出，这些命题也都可 以还原为形式逻辑体系的命题。 当时，他不知道弗雷格早在三十年前已经致力于 这项研究了。这项工作首先要求发现那种以纯逻 辑项来定义自然数的方法；其次要构造一种逻辑 体系，它对由它推演出来的算术命题将是足够丰 富的。 罗素在他1903年出版的《数学的原理》中试图实 现第一项要求，第二项要求的实现体现在他与先 前的数学导师怀特海合著的三卷本《数学原理》 （1910-1913）中。
数学史的三次危机



毕达格拉斯学派相信“万物皆数”，认为任何数 都可以标述为整数之比。但是根据他们提出的直 角三角形的边长关系，可以构想出单位正方形的 斜边是21/2 ，这是一个无法表示为整数之比的无 理数，带来了第一次数学危机。 第二次数学危机是牛顿，莱布尼兹创立微积分以 后，贝克莱认为微积分运算中的无限小量是个无 限趋向于0又不等于0的不可理解的量，仿佛是不 断消失的“幽灵”数。 第三次数学危机是集合论悖论的发现。
命题函项




按照传统逻辑，命题“第欧根尼是人”被分析为主 词“第欧根尼”和谓词“人”，由系动词“是”联 结而成。 按照弗雷格的分析，这个命题应被分析为命题函项 “x是人”和x的值“第欧根尼”这样两部分。 弗雷格还把自然语言的联词形式化为逻辑联词符号。 这些符号是： 1.表示析取关系（“和”）的符号· 或∩ 2.表示合取关系（“或”）的符号∪ 3.表示蕴涵关系（如果，那么）的符号→或 4.表示等同关系（“等于”）的符号=或 5.表示否定关系的符号┐ 命题的真值：正确T，错误F。 普遍量词（x）： （x）F（x）； 存在量词（x）： （x）G（x）。
康托尔的超限数

康托尔一开始定义一个无限集合为一个可以与自己 的部分建立一一对应关系的集合。他注意到每个可 以与所有整数的集合建立一一对应关系的集合必然 含有无限多个元素，他称这个数为“第一个超限基 数”，记为0。这些集合是可数的，实数的基数比 正整数的基数大。它与一条直线，一个平面或者一 个高维空间中的点的基数相同，这些不可数的集合 记为c.比0大的最小基数记作1，因此1c。实 数集的所有可能的子集的“数目”是一个更大的超 限基数2c。比1大的最小的基数记作2，因此 22c。