高考数学(理)二轮专题练习：函数与导数(含答案)

函数与导数

1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．

对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．

[问题1] 函数y 的定义域是________．

答案 ⎝⎛⎦

⎤0，14 2．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．

[问题2] 已知f (cos x )＝sin 2x ，则f (x )＝________.

答案 1－x 2(x ∈[－1,1])

3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．

[问题3] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

e x ，x <0，ln x ，x >0，则

f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1e ＝________. 答案 1e

4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．

[问题4] f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2

是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．

答案 奇

解析 由⎩⎪⎨⎪⎧

1－x 2>0，|x －2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)， f (x )＝lg (1－x 2)－(x －2)－2＝lg (1－x 2)－x

. ∴f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数．

5．弄清函数奇偶性的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．

(2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．

(3)若奇函数f (x )的定义域中含有0，则必有f (0)＝0.

故“f (0)＝0”是“f (x )为奇函数”的既不充分也不必要条件．

[问题5] 设f (x )＝lg ⎝⎛⎭

⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( ) A ．(－∞，＋∞)上的减函数

B ．(－∞，＋∞)上的增函数

C ．(－1,1)上的减函数

D ．(－1,1)上的增函数

答案 D

解析 由题意可知f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0，

解得a ＝－1，

故f (x )＝lg 1＋x 1－x

，函数f (x )的定义域是(－1,1)， 在此定义域内f (x )＝lg

1＋x 1－x ＝lg(1＋x )－lg(1－x )， 函数y 1＝lg(1＋x )是增函数，函数y 2＝lg(1－x )是减函数，故f (x )＝y 1－y 2是增函数．选D.

6．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．

[问题6] 函数f (x )＝1x

的减区间为________． 答案 (－∞，0)，(0，＋∞)

7．求函数最值(值域)常用的方法：

(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数．

(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数．

(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数．

(4)导数法：适合于可导函数．

(5)换元法(特别注意新元的范围)．

(6)分离常数法：适合于一次分式．

(7)有界函数法：适用于含有指数函数、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．

[问题7] 函数y ＝2x

2x ＋1

(x ≥0)的值域为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，1

解析 方法一 ∵x ≥0，∴2x ≥1，∴y 1－y

≥1，

解得12

≤y <1. ∴其值域为y ∈⎣⎡⎭⎫12，1.

方法二 y ＝1－

12x ＋1，∵x ≥0，∴0<12x ＋1≤12， ∴y ∈⎣⎡⎭⎫12，1.

8．函数图象的几种常见变换

(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x 而言)；上下平移——“上加下减”．

(2)翻折变换：f (x )→|f (x )|；f (x )→f (|x |)．

(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；

②函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；

③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0 (y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称．

[问题8] 函数y ＝|log 2|x －1||的递增区间是________．

答案 [0,1)，[2，＋∞)

解析 ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧

|log 2(x －1)|(x >1)，|log 2(1－x )|(x <1)， 作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞)．

9．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f (x )＝f (x ＋a )(a >0)，则f (x )的周期T ＝a ；(2)f (x ＋a )＝1f (x )

(f (x )≠0)或f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的周期T ＝2a . [问题9] 对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x ＋2)＝－1f (x )

，若当2

答案 －25

10．二次函数问题

(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．

(2)二次函数解析式的三种形式：

①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；

②顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)；

③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．

(3)一元二次方程实根分布：先观察二次系数，Δ与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间