专升本资料3(一元函数积分学)

四川省普通高等学校“专升本”选拔 《高等数学》考试大纲（理工类）

总体要求

考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。

考试用时：120分钟

考试范围及要求

一 函数、极限和连续 二 一元函数微分学 三 一元函数积分学

（一）不定积分

（成都理工大学13：理文科—1个选3分；） （成都理工大学14：理文科—1个选3分；）

（攀枝花学院13：理科——选择3分、解答两个12分；文科——选择3分、解答一个5分；）

1. 理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的性质，了解原函数的存在定理。

（1） )(x F 是)(x f 的一个原函数 ⇔)()(x f x F ='

)(x F 是)(x f 的一个原函数 ⇔

C x F x d x f +=⎰)()(

（2） 不定积分的基本性质

①

)()(x f dx x f dx d

=⎰

， ② ⎰=dx x f dx x f d )()(， ③ ⎰+='C x F dx x F )()( ， ④ ⎰

+=C x F x F d )()]([．

例1 （攀枝花学院：理科——选择3分）设2

sec x 是()f x 的一个原函数，则 ()f x dx =⎰

.

A 、tan x C +

B 、tan tan x x x

C ++ C 、2sec x C +

D 、2sec tan x x C ++

例2 （攀枝花学院：文科——选择3分）1、若()f x '为连续函数，则

(2)f x dx '⎰等于.

（A ）

1

(2)2

f x C + （B ） ()f x C + （C ）(2)f x C + （D ） 2(2)f x C +

2. 熟练掌握基本的不定积分公式。 不定积分的基本公式是最基础的，是做一切积分题的前提，必须要能默写（13个+2个）

3. 熟练掌握不定积分第一类换元法，第二类换元积分法（限于三角代换与简单的根式代换）

（1）第一类换元法：

=⎰dx x g )(⎰'dx x x f )()]([ϕϕ

⎰=)]([)]([x d x f ϕϕ （① 凑微分）

⎰=du u f )( （② 换元， 可以省略，写到草稿纸上）

C u F +=)( （③ 用积分公式，可以省略，写到草稿纸上）

C x F +=)]([ϕ （④ 回代还原）

。 （2）第二类换元法：

主要解决：带有根式的函数的积分：n b ax +，二次式

令)(t x ϕ=，则dt t dx )(ϕ'=

⎰x d x f )(⎰'=dt t t f )()]([ϕϕ⎰=dt t g )(C t G +=)(C x G +=-)]([1ϕ

基本的三角代换：

①含有22x a -时，令t a x sin =，从而t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =． ②含有22a x +时，令t a x tan =，从而t a a x sec 22=+，tdt a dx 2

sec =．

③含有22a x -时，令t a x sec =，从而t a a x tan 22=-，dt t t a dx tan sec ⋅=．

4. 掌握不定积分的分部积分法。

主要解决：对数、反三角、五类基本初等函数中的两类相乘的积分。

⎰x d x f )(⎰=)]([)(x v d x u

⎰-⋅=)]([)()()(x u d x v x v x u

⎰'⋅-⋅=x d x u x v x v x u )()()()(

5. 会求简单的有理函数及简单的无理函数的不定积分。 先将被积函数化为：整式+真分式。

再化部分分式：将分式化为多个分式相加减。每一个分式的分母仅为一次式或不可分解的二次式。

例1（成都理工大学13：理科、文科——选择题1个3分）已知()()f x dx F x C =+⎰，则

(32)f x dx +=⎰【 】

(A)(32)F x C ++ (B)1(32)2

F x C -++ (C)1(32)2

F x C ++ (D)2(32)F x C ++

例2（成都理工大学14：理科、文科——选择题1个3分）．若1

()2

x f x dx C x +=

+-⎰，则(cos )sin f x xdx ⎰=【 】

（A ）

cos 1cos 2x C x ++- （B ）cos 1cos 2x C x +-+- （C ）12x C x ++- （D ）sin 1

sin 2

x C x ++-

例3 (1)（攀枝花学院13：理科——解答题2个12分）求下列积分 ①

2

e d x x x -⎰

； ②5

2

d (1)

x x x +⎰

；（攀枝花学院13：理科——解答题2个12分）

③ dx x

⎰

（攀枝花学院13：文科——解答题1个5分） (1)（攀枝花学院14：理科——解答题1个6分）计算2tan x xdx ⎰

例4 求下列积分

① ⎰+x d x x 12

3 ； ② ⎰+---+x d x x x x x 2

25

3232 ； ③⎰-++-x d x x x x 222224； ④

⎰++x d x x x ))(1(122 ； ⑤⎰+++x d x x x 524

32

（二）定积分