1.5 极限运算法则

x→ x0
limΒιβλιοθήκη BaiduQ( x)
x→ x0
= P(x0 ) Q( x0 )
= f ( x0 ).
注意：若Q( x0 ) = 0, 则上述商的运算法则不能用。
例2
求
lim
x→1
x2
4x −1 + 2x −
3
.
解 lim( x 2 + 2x − 3) = 0, x→1
又
lim(4
x→1
x
−
1)
=
3
≠
0,
什么？
在某个过程中，若 f ( x) 有极限，g( x) 无极限，那么f ( x) + g( x)是否有极限？为
什么？
思考题解答
没有极限．
假设 f ( x) + g( x) 有极限， f ( x)有极限，
由极限运算法则可知：
g( x) = [ f ( x) + g( x)]− f ( x) 必有极限，
第五节 极限运算法则
• 一、极限运算法则 • 二、求极限方法举例 • 三、小结 思考题
一、极限的四则运算法则
定理1 设 lim f ( x) = A, lim g( x) = B, 则 (1) lim[ f ( x) ± g( x)] = lim f ( x) ± lim g( x) = A ± B (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = lim f ( x) ⋅ lim g( x) = AB (3) 若 B ≠ 0, 则 lim f ( x) = lim f ( x) = A
o
y = x2 +1 x
定理（复合函数的极限运算法则）设函数 u = ϕ ( x)
当 x → x0 时的极限存在且等于 a， 即 lim ϕ ( x) = a，
x→ x0
但在点 x0 的某去心邻域内
ϕ ( x) ≠ a，
又 lim
u→a
f (u) =
A，
则复合函数 f [ϕ ( x)]当 x → x0 时的极限也存在 ，
且 lim f [ϕ ( x)] = lim f (u) = A.
x→ x0
u→a
意义：
lim f [ϕ ( x)]
x→ x0
令 u = ϕ(x) a = lim ϕ ( x)
x→ x0
lim f (u)
u→a
例8 求 lim x2 + x sin 1 + 1 .
x→0
x
解 令 f (u) = u , u = g( x) = x2 + x sin 1 + 1, x
lim
x→ x0
f (x)
=
a0
lim
x→ x0
xn
+ a1
lim
x→ x0
x n−1
+ + an
=
a0
(
lim
x→ x0
x)n
+
a1 (
lim
x→ x0
x ) n−1
+
+
an
= a0 x0n + a1 x0n−1 + + an = f ( x0 ).
即当 f (x) 是一个关于 x 的多项式时，有
x ≥ 0 x→0
解 x = 0是函数的分段点, 两个单侧极限为
lim f ( x) = lim (1 − x) = 1,
x→0−
x→0−
lim f ( x) = lim ( x 2 + 1) = 1,
x→0+
x→0+
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x) = 1. x→0
y y =1− x
1
∴ lim x 2 + 2x − 3 = 0 = 0.
x→1 4x − 1
3
商的法则不能用
由无穷小与无穷大的关系,得
lim
x→1
x2
4x −1 + 2x −
3
=
∞.
x2 −1
例3
求
lim
x→1
x2
+
2x
−
3
.
解 x → 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
先约去不为零的无穷小因子x − 1后再求极限.
小结:当a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m和n为非负整数时有
lim
x→∞
a0 xm b0 x n
+ +
a1 b1
x x
m−1 n−1
+ +
+ +
am bn
=
0ab,00当,当n n>
=m m,
,
∞,当n < m,
例5
求
1
lim(
n→∞
n
2
+
2 n2
++
n n2
).
解 n → ∞时,是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
1
lim(
n→∞
n
2
+
2 n2
++
n n2 )
=
lim 1 +
n→∞
2+ +
n2
n
1 n(n + 1)
= lim 2 n→∞
n2
=
lim 1 (1 + n→∞ 2
1) n
=
1. 2
sin x 例6 求 lim .
x→∞ x
y = sin x x
解 lim sin x x→∞ x = lim 1 ⋅ lim sin x x→∞ x x→∞
推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数, 则 lim[cf ( x)] = c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果 lim f ( x)存在,而n是正整数, 则 lim[ f ( x)]n = [lim f ( x)]n.
说明： （1）上述关于函数极限的四则运算法则 对数列极限同样成立。
= 22 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
∴ lim x→2
x3 −1 x2 − 3x + 5
=
lim x 3 − lim1
x→2
x→2
lim( x 2 − 3x + 5)
=
23 − 1 3
=
7. 3
x→2
小结: 1. 设 f ( x) = a0 x n + a1 x n−1 + + an ,则有
lim
x→ x0
f (x) =
f ( x0 )
2. 设 f ( x) = P( x) , 其中 Q( x)
P( x) = a0 xn + a1 xn−1 + + an Q( x) = b0 xm + b1 xm−1 + + bm 且Q( x0 ) ≠ 0
则有
lim P( x)
lim f ( x) = x→ x0
与已知矛盾，
故假设错误．
× = 0⋅ lim sin x = 0 x→∞
因为 lim sin x 不存在
x→∞
正解: lim 1 = 0, x→∞ x
∴ 当x → ∞时, 1 为无穷小, x
而 sin x 是有界函数. ∴ lim sin x = 0. x→∞ x
例7
设
f (x) =
1 − x,
x
2
+
1,
x<0 ,求 lim f ( x).
)
先 用x 3去 除 分 子 分 母, 分 出 无 穷 小, 再 求 极 限.
lim
x→∞
2x3 7x3
+ +
3x2 4x2
+ −
5 1
=
lim
x→∞
2 7
+ +
3 x 4 x
+ −
5
x3 1
x3
= 2. 7
无穷小分出法:以分子和分母中自变量的最高次 幂除分子, 分母, 以分出无穷小, 然后再求极限.
由于 lim g( x) = lim( x2 + x sin 1 + 1)
x→0
x→0
x
=
lim x2
x→0
+ lim x sin x→0
1 x
+1
=1
所以 lim x2 + x sin 1 + 1 = lim u = 1 = 1
x→0
x
u→1
复合函数极限运算法则的其它几种形式：
设 y = f (u) , u = g(x)，
x→∞
u→ ∞
三、小结
1、极限的四则运算法则及其推论; 2、极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
3、复合函数的极限运算法则
作业 习题五：二
思考题1
在某个过程中，若 f ( x) 有极限，g( x) 无极限，那么f ( x) + g( x)是否有极限？为
(1) 若 lim g( x) = ∞, 而 lim f (u) = A, 则
x→ x0
u→ ∞
lim f [g( x)] = lim f (u) = A
x→ x0
u→ ∞
(2) 若 lim g( x) = ∞, 而 lim f (u) = A, 则
x→∞
u→ ∞
lim f [g( x)] = lim f (u) = A
lim
x→1
x2
x2 −1 + 2x −
3
=
lim
x→1
(x (x
+ +
1)( x 3)( x
− −
1) 1)
= lim x + 1 = 1 . x→1 x + 3 2
(消去零因子法)
2x3 + 3x2 + 5
例4
求
lim
x→∞
7x3
+
4x2
−
1
.
解
x
→
∞时,
分子,分母的极限都是无穷大.(
∞ ∞
型
g( x) lim g( x) B
定理 设 lim f ( x) = A, lim g( x) = B,则 (1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A ⋅ B; (3) lim f ( x) = A , 其中B ≠ 0. g(x) B
（2）上述运算法则可推广到多个函数的情形.
二、求极限方法举例
x3 −1
例1
求
lim
x→2
x2
−
3x
+
5
.
解 lim( x 2 − 3x + 5) = lim x 2 − lim 3x + lim 5
x→2
x→2
x→2
x→2
= (lim x)2 − 3 lim x + lim 5
x→2
x→2
x→2