数值分析—第3章函数逼近与数据拟合法

(n 1, 2, )
(3) 奇偶性： 当n为偶数时，Pn (x)为偶函数； 当n为奇数时，Pn (x)为奇函数。 (4) Pn (x)的n个零点都是实的、相异的，且全
部在区间[-1, 1]内部。
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2．切比雪夫(Tchebyshev)多项式 称多项式
Tn ( x) cos(narc cos x)
a
b
为 f (x) 与 g (x)在 [a, b]上以 (x)为权函数的内积。 内积的性质： (1) (f, f )≥0，且 (f, f )=0 f = 0； (2) (f, g) = (g, f )； (3) (f + f , g ) = (f , g) + (f , g)； 1 2 1 2 (4) 对任意实数k，(kf, g) = k (f, g )。 设 f (x)，g(x) C [a, b] 若
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx 0
a
b
则称f (x)与g (x)在[a, b]上带权 (x)正交。
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设在[a, b]上给定函数系，若满足条件

0, j k ( j ( x ), k ( x ) Ak 0, j k
I (a0 , a1 ,, an ) ( x)[ ( x) f ( x)] 2 dx
a b
取极小值.
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I (a0 , a1 ,, an ) ( x)[ ( x) f ( x)] 2 dx a I (a0, a1, …，an)是关于a0, a1, …，an的二次函数， 利用多元函数取得极值的必要条件，
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4 埃尔米特(Hermit来自百度文库)多项式 称多项式
H n ( x ) (1) n e x
2
d n x2 n (e ), x (, )( n 0,1,2) dx
为埃尔米特多项式。 ① {Hn(x)}是在区间(-, +)上带权函数 的正交多项式序列。
( x) e
切比雪夫多项式的性质： (1) 正交性：
(1 x 1, n 0, 1, 2)
为n 次的切比雪夫多项式(第一类)。
由{ Tn (x)}所组成的序列{ Tn (x)}是在区间[-1, 的正交多项式序列。且
1]上带权 ( x)
1 1 x2

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1
1
0, 1 Tm ( x )Tn ( x )dx , 2 1 x 2 ,
x2



e
x2
mn 0, H m ( x ) H n ( x ) dx n 2 n! , m n
② 相邻的三项具有递推关系式：
H 0 ( x) 1, H 1 ( x) 2 x H n 1 ( x) 2 xH n ( x) 2nH n 1 ( x),
Span{ 0 , 1 , , n }
并称 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 是生成集合的一个基底。 设函数系{
0 ( x), 1 ( x), , n ( x) ，…}线性无关，
( x ) a j j ( x )
n
则其有限项的线性组合


0
e
x
② 相邻的三项具有递推关系式：
m n, 0, Lm ( x) Ln ( x)dx (n!) 2 , m n。
L0 ( x) 1, L1 ( x) 1 x, Ln 1 ( x) (1 2n x) Ln ( x) n 2 Ln 1 ( x), (n 1, 2, )
mn 0 1 Pm ( x )Pn ( x )dx 2 1 2n 1 m n
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(2) 递推关系 相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：
P0 ( x ) 1, P1 ( x ) x 2n 1 n Pn1 ( x ) n 1 xPn ( x ) n 1 Pn1 ( x )
1
T2 ( x1 )
T1 ( x )
1
x
1
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T3 ( x )
3 拉盖尔(Laguerre)多项式
称多项式
dn L n ( x ) e x n ( x n e x ), (0 x )( n 0, 1, 2, ) dx 为拉盖尔多项式。
① {Ln(x)}是在区间[0, +∞]上带权 (x) = e-x的正交多项式序列。
mn mn0 mn0
(2) 递推关系
相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式： T0 ( x ) 1, T1 ( x ) x (n 1, 2, ) Tn1 ( x ) 2 x Tn ( x ) Tn1 ( x ) Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, …)。

b
( x) f ( x) ( x) dx
2
则称 * ( x ) 为f (x)在区间[a, b]上的最佳平方逼近函数。
即求广义多项式 (x )
( x) a0 0 ( x) a11 ( x) an n ( x)
的系数aj(j=0,1,...,n)，使多元函数

( j , k 0, 1, )
则称函数系{k (x)}是[a, b]上带权 (x)的正交函数系， 特别地，当Ak 1时，则称该函数系为标准正交函数系。 若上式中的函数系为多项式函数系，则称为以 (x)为权的在 [a, b]上的正交多项式系。并称pn(x)是[a, b]上带权 (x)的n次 正交多项式。 一般来说,当权函数ρ(x)及区间[a,b]给定后，由函数序列 {1,x,...,xn,...}利用Gramma-Schmidt正交化方法就可构造出 正交多项式序列。
一．函数系的线性关系
若函数 0 ( x ), 1 ( x ), , n ( x ) ，在区间[a, b]上连续，如果关系式
a0 0 ( x) a11 ( x) a2 2 ( x) an n ( x) 0
当且仅当 a0 a1 a 2 a n 0 时才成立，则称函数在[a, b]上是 线性无关的，否则称线性相关。
第3章
函数逼近与数据拟合法
用简单的函数p(x)近似地代替函数f (x)，是计算数学中最 基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数f (x)称为
被逼近的函数，p (x)称为逼近函数，两者之差
R( x) f ( x) p ( x)
称为逼近的误差或余项。 如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是 函数逼近要解决的问题
j 0
称为广义多项式。
数值分析
三、函数的最佳平方逼近 对于给定的函数 f ( x) C[a, b] 如果存在 使
* ( x) Span 0 , 1 , , n } {

b
a
( x) f ( x) ( x) dx min
* 2
( x ) a
(3) 奇偶性： 切比雪夫多项式Tn (x)，当n为奇数时为奇函数；n为偶数 时为偶函数。
Tn ( x) cos[ n arccos( x)] cos(n n arccos x)
(1) n cos(narc cos x) (1) n Tn ( x)
(4) Tn (x)在区间[-1, 1]上有n 个不同的零点
连续函数在[a, b]上线性无关的充分必要条件是它们 的Gramer行列式Gn 0，其中
( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , n ) G n G n ( 0 , 1 , , n ) (1 , 0 ) (1 , 1 ) (1 , n ) ( n , 0 ) ( n , 1 ) ( n , n )
数值分析
函数逼近问题的一般提法： 对于函数类A中给定的函数f (x)，要求在另一类较简单 的且便于计算的函数类B( A)中寻找一个函数p (x)，使p (x) 与f (x)之差在某种度量意义下最小。 最常用的度量标准：
(一) 一致逼近 max 以函数f (x)和p (x)的最大误差 x[ a ,b ] f ( x) p( x)
作为度量误差 f (x) － p (x) 的“大小”的标准 在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近 (二) 平方逼近： b [ f ( x) p( x)] 2 dx 采用 a

作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近 或均方逼近。
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3.1 正交多项式
一、正交函数系的概念
考虑函数系 1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，… 此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间[- , ]上的积分 都等于0 ！ 我们称这个函数中任何两个函数在[- , ]上是正交的，并 且称这个函数系为一个正交函数系。 若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数， 使之成为： 1 1 , cos x, 2
给出的多项式序列{pn(x)}是正交多项式序列，其中
k
( xpk , pk ) ( pk , pk ) , k 0,1,, n 1 k 1 , k 1,2,, n 1 ( pk , pk ) ( pk 1 , pk 1 )
可用数学归纳法证明。
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3.2 最佳平方逼近
x k cos
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(2k 1) , 2n
(k 1, 2, , n)
(5) Tn (x) 在[-1, 1]上有n + 1个不同的极值点
xk cos k

n
(k 0, 1, 2, , n)
使Tn (x)轮流取得最大值 1 和最小值 -1。 我们把这n + 1个点x'k叫做Tn (x)在[-1, +1]上的极值点，也 称为Tn (x)的交错点组。这是Tchebyshev多项式的一个重要 性质。 y
n b I 2 ( x)[ a j j ( x) f ( x)] k ( x)dx 0 a a k j 0
b
(k 0,1, , n)
a
j 0
n
b
j a
( x) k ( x) j ( x)dx ( x) f ( x) k ( x)dx, (k 0, 1, 2, , n)
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二、常用的正交多项式 1．勒让德(Legendre)多项式
称多项式
1 dn Pn ( x ) n n [( x 2 1) n ] 2 n! dx (n 0, 1, 2, )
为n次勒让德多项式。 勒让德多项式的性质： (1) 正交性 勒让德多项式序列{Pn(x)}是在[-1, 1]上带权 (x) = 1的 正交多项式序列。
数值分析
(n 1, 2, )
以上四个正交多项式都有三项递推关系式。一般地，由 如下三项递推关系 p1 ( x) x 0 , p0 ( x) 1, k 1,2,, n 1 pk 1 ( x) ( x k ) pk ( x) k 1 pk 1 ( x),
1 sin x, , , 1 cos nx, 1 sin nx



那么这个函数系在[- , ]上不仅保持正交的性质， 而且还是标准化的(规范的).
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设f (x)，g (x) C [a, b]， (x)是[a, b]上的权函数， 则称
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx
如何证?
数值分析
二．广义多项式 设 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 是[a, b]上线性无关的连续函数 a0, a1, …, an 是任意实数，则
( x) a 0 0 ( x) a11 ( x) a n n ( x )
的全体是C[a, b]的一个子集，记为