不等式性质应用的典型分类讲解

不等式性质应用的典型分类讲解

一．运用不等式的基本性质解答不等式问题

运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。

例1：若0<

A ．b a 11>

B ．a

b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。

（1）若0<

（3）0<

011<③b a <； ④02<-ab a 中，正确的不等式有

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 二．不等式性质在不等式等价问题中的应用

例3：下列不等式中不等价的是（ ）

（1）2232>-+x x 与0432>-+x x （2）1

38132++>++x x x 与82>x （3）357354-+>-+x x x 与74>x （4）023>-+x

x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3）

三．利用不等式性质证明不等式

利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的八条性质并注意在解题中灵活准确地加以应用。

例4：若0>>b a ，0<

b e

c a e ->-。 例5、若,,,a b c

d 四个数满足条件：()()()1;2;3d c a b c d a d b c >+=++<+，则（ ）

.Ab c d a >>> .B a d c b >>> .C d b a c >>> .D b d c a >>> 练习2、若01,a <<给出下列四个不等式，其中正确的是 ○

1 ()1log 1log 1a a a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭ ○2()1log 1log 1a a a a ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭ ○31

11a a a a ++< ○41

11a a a a ++<

练习3、如果,0a b ab <是满足的实数，则（ ）

.A a b a b +>- .B a b a b

-<- .C a b a b -<+ .D a b a b +<+

练习4．若a>b>c ，a ＋b ＋c ＝0，则下面不等式中恒成立的是（ ）

A ．ab>ac

B ．ac>bc

C ．a ｜b ｜>｜b ｜c

D ．a 2>b 2>c 2

四 ．利用不等式性质求范围

利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径。

例6：若二次函数)(x f 图像关于y 轴对称，且2)1(1≤≤f ，4)2(3≤≤f ，求)3(f 的范围。

练习5、若()11,23,a b c a b c -<<<-<<-则的取值范围是

练习6、设23

2

4,38,49,x x x y xy y y ≤≤≤≤为实数，且满足则的取值范围是 练习7、（1）设2

23,43,,,,,a b a b a b a b ab b a

<<-<<-+-求的取值范围。 练习8、设()()()311,223,f x y f f -≤≤-≤≤二次函数的图像关于轴对称，且求

()3f 的

最大值和最小值。 练习9、已知①11≤+≤-b a ；②31≤-≤b a ，求：b a -3的取值范围．

五．利用不等式性质，探求不等式成立的条件

不等式的性质是不等式的基础，包括五个性质定理及三个推论，不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化才能正确地加以运用，利用不等式的性质，寻求命题成立的条件是不等式性质的灵活运用。 例7：已知三个不等式：①0>ab ；②b

d a c >；③ad bc >。以其中两个作条件，余下一个作结论，

则可组成_____________个正确命题。

例8：已知b a >，b

b a a 11->-同时成立，则ab 应满足的条件是__________。 练习10．设a ，b ∈R ，给出下列条件：

①a ＋b ＞1②a ＋b ＝2③a ＋b ＞2④a 2＋b 2＞2⑤ab ＞1其中能推出“a ，b 中至少有一个数大于1”的条件是（ ）

A ．②③

B ．①②③

C ．③④⑤

D ．③

练习11．设a ＝sin15°＋cos15°，b ＝sin16°＋cos16°，则下面不等式中正确的是（ ）

A ．a<

22

2b a +

222b a +C ．b

1(+x （12++x x ）的大小． 例10、 设R x ∈，比较

x +11与x -1的大小．