金融工程9-维纳过程与伊藤引理2011.详解
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)(T t ), T t ] • 进一步从正态分布的性质可以得到
2
2
– 这意味着： ln ST ln S ~ [(
2
ln ST ln S
• 也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变量 的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态 分布。这表明ST服从对数正态分布。 2 2 (T t ) 2 (T t ) E(ST ) Se (T t ) var(ST ) S e [e 1] • 这正好与μ作为预期收益率的定义相符。
Dr. Fan 17
保留1阶项，忽略1阶以上的高阶项
t 0
lim xt lim at bt 0
2 t 0
3 2
因此，上式可以改写为
f f 1 2 f 2 lim f t x x t 0 t x 2 x 2
Dr. Fan
18
其中（忽略高阶项）：
t 0
lim x lim[at b t ]
2 t 0 t 0 2
2 3 2
lim a 2 t 2 b 2 2 t 2abt b t
2
Dr. Fan
19
因此，可得
E(x ) E(b t ) b tE( )
2 2 2 2 2
由于
由此得到
N (0,1), 则
2 2
D( ) E[( 0) ] E ( ) 1
E(x ) b t
2 2
代入前述公式可得到伊藤引理。
Dr. Fan 20
12.5 股票价格的对数正态特性
• 对数正态分布
– 股票价格服从维纳过程 – 股票价格的分布为对数正态分布
• 公式
• 效率市场分类
– 效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。 – 弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测 证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得 超过平均收益率的收益。
Dr. Fan
5
• 半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确 地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价 格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息 都无助于挑选价格被高估或低估的证券。 • 强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而 且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此 任何信息(包括“内幕信息”)对挑选证券都没有用 处。 • 效率市场假说提出后，许多学者运用各种数据对此 进行了实证分析。结果发现，发达国家的证券市场 大体符合弱式效率市场假说。
Dr. Fan 16
证明：如前述，假设标的资产价格变动过程服从：
x a( x, t )t b( x, t )z
其中
z t
利用泰勒展开，忽略高阶项，Δ G(x,t)可以展开为
G G 1 2G 2 1 2G 2 G ( x, t ) t x 2 t 2 x t x 2 t 2 x 1 2G xt o(x, t ) 2 xt
Corr(z1 , z2 ) 0
• 维纳过程/布朗运动的特征
– 股票价格在任意时段变动的均值都为0。 – 股票价格在某一时段变动的方差等于时间的长度
9
Dr. Fan
程序：维纳过程的模拟
• % 假设初始点为0，由标准正态分布产生随机数300个，这样将1个单 位时间等分为300个等分 • rnd=random('norm',0, 1,300,1); • %建立初始的零向量，用来放置计算的结果 • w=zeros(1,300); • for i=1:299 • w(i+1)=w(i)+rnd(i+1)*(1/300)^0.5; • end • x=[1:1:300]; • w • plot(x,w) w w t , ~ iidN (0,1)
S t t S
S ~ ( t , t ) S
2 ln ST ~ ln S0 ( )(T t ), T t 2
Dr. Fan
21
关于对数正态分布
• 定义G=lnS，由于： G 1 2G 1 G ， 2 2, 0 S S S S t • 所以有： dG ( )dt dz 2 2 • 即： d ln S ( )dt dz 2
Dr. Fan 6
• 马尔可夫过程
– 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程(Markov Stochastic Process)来表述。 – 马尔科夫过程(Markov process)是一种特殊类型的随机过程。 • 未来的预测只与变量的当前值有关，与变量过去的历史和变量从 过去到现在的演变方式不相关。
Dr. Fan
23
几何布朗运动的深入分析
• 在很短的时间Δ t后，证券价格比率的变化值 为： S t t
S
•
S 可见，在短时间内，S
具有正态分布特征
S ~ ( t , t ) S • 其均值为 t ，标准差为 t，方差为 2 t 。
几何布朗运动的深入分析（2）
2
– 从自然对数lnS所遵循的这个随机过程可以得到两个 结论: 2 G ~ [( 2 )(T t ), T t ]
（1）几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布。
• 令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t 时刻（当前时刻）的证券价格，ST表示T时刻（将来时 刻）的证券价格，则在T－t期间G的变化为：
14
上证指数
2500
2000
1500
1000
500
0 19901219 19920929 19940804 19960709 19980629 20000626 20020628
15
12.4 Ito’s Lemma
• Ito’s Lemma
– 假设存在一个伊腾过程： x a( x, t )t b( x, t )z – 如果G是x和t的函数，即：G=G(x,t) – 那么： G G 1 2G 2 G
• 如果股票价格服从几何布朗运动，则可以利用 Ito引理来推导证券价格自然对数lnS所遵循的随 机过程： dG ( )dt dz 2 • 这个随机过程的特征：
2
– 普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方差率。 – 在任意时间长度T之后，G的变化仍然服从正态分布 ，均值为 ( / 2)(T t) ，方差为 2 (T t ) 。标准差仍然 可以表示为 T－t ，和时间长度平方根成正比。
• 股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性(the weak form of market efficiency)相一致：
– 一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价 格记录。 – 如果弱型市场有效性正确的话，技术分析师可通过分析股价的过 去历史数据图表获得高于平均收益率的收益是不可能的。 – 是市场竞争保证了弱型市场有效性成立。
ln ST ~ [ln S ( 2 )(T t ), T t ]
（2）股票价格对数收益率服从正态分布
• 由于dG实际上就是连续复利的对数收益率。因 此几何布朗运动实际上意味着对数收益率遵循 普通布朗运动，对数收益率的变化服从正态分 布，对数收益率的标准差与时间的平方根成比 例。 • 将t与T之间的连续复利年收益率定义为η，则
Dr. Fan 4
12.1 弱式效率市场假说与马尔可夫过程
• 效率市场假说
– 1965年，法玛(Fama)提出了著名的效率市场假说。该假说认为： – 投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬； – 证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完 全反应全部信息； – 市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而 与新信息相应的价格变动是相互独立的。
Dr. Fan
源自文库
3
期权的估值
• 欧式期权的到期收益
– Max (ST－X, 0) – ST不确定，所以期权到期的收益也不确定。 – 期权当期的价值＝？
• 风险中性估值
– 期权当期的价值＝未来收益折现后的期望值 – c＝E [Max (ST－X, 0)]
• 问题
– ST的分布是怎样的？ – 只有确定ST的分布才能确定c的价值
Dr. Fan
8
维纳过程（ Wiener Process ）
• 维纳过程（Wiener Process）
– 性质一：股票价格的变动是一个正态变量与时间的乘积 – z t （ε服从标准正态分布） – 性质二：任意两个不重叠时段的股票价格变动相互独立 – 从性质一，我们知道△z服从正态分布，性质2则隐含z遵 循马尔科夫过程。
t t 1 t t
Dr. Fan
10
股票价格的一般变动
• 一般化的维纳过程
x at bz
– 变量本身随着时间的推移会有定量的增长a×Δ t – 除了时间价值之外的变动为布朗运动
Dr. Fan
11
12.3 股票价格的一般变动
• 股票价格的变动
S St Sz
– 股票价格有随时间推移增长的稳定趋势 – 股票“实际”价格变动为布朗运动
第12章 维纳过程和伊藤引理
范 闽 金融工程研究中心
Dr. Fan
1
• 教学目的与要求 • 掌握随机变量的概念，了解马尔科夫过程的特点， 掌握维纳过程的特点和性质，掌握一般维纳过程的 特征以及其漂移率和方差率，维纳过程的均值和标 准差。掌握Ito过程的特征。
Dr. Fan
2
• 教学重点及难点 • 一、马尔科夫过程与效率市场的关系。 • 二、维纳过程、一般维纳过程与此同时 Ito 过程的 特征，漂移率和方差率，变量的均值与方差。以及 这几种过程的内在联系和变化。 • 三、Ito定理及其运用。
S 1 ln T , T-t S 2 由ln ST ln S ~ [( 2 )(T t ), T t ]可得
（T-t） ST Se ，＝
~ [( 2 ),
2
T t
]
结论
• 几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过程。
S • 但是，在一个较长的时间T后， S不再具有正态
分布的性质：
– 多期收益率的乘积问题 – 因此，尽管σ 是短期内股票价格百分比收益率的标 准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率的标准 差却不再是 。股票价格的年波动率并不是一 T 年内股票价格百分比收益率变化的标准差。
几何布朗运动的深入分析（3）
G x a t 2 x 2 b t x bz
• 期权及其他衍生证券的价格变动
– 股票价格服从维纳过程： S St Sz – 那么：
f f 1 2 f 2 2 f f S S t Sz 2 S t 2 S S
Dr. Fan
7
12.2 维纳过程（ Wiener Process ）
• 布朗运动起源于物理学中对完全浸没于液体或气体 中的小粒子运动的描述，以发现这种现象的英国植 物学家Robert Brown命名。 • 描述布朗运动的随机过程的定义是维纳 (wiener) 给 出的，因此布朗运动又称维纳过程 • 股价行为模型通常用布朗运动来描述。 • 布朗运动是马尔科夫随机过程的一种特殊形式。
Dr. Fan
12
布朗运动－股票价格
1,200
1,000
800
600
400
200
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
St Wt t
13
指数布朗运动－股票价格
600
500
400
300
200
100
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
St exp( Wt t )
2
• 显然G为一个广义维纳过程，其漂移率为常数 ( ) ， 2 2 波动率为常数 。 • 因此，lnS的变化服从正态分布，不难知道：
2
ln sT ~ N[ln S ( 2 / 2) , 2 ],
T t , t [0, T ]
Dr. Fan 22
对数正态分布
2
2
– 这意味着： ln ST ln S ~ [(
2
ln ST ln S
• 也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变量 的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态 分布。这表明ST服从对数正态分布。 2 2 (T t ) 2 (T t ) E(ST ) Se (T t ) var(ST ) S e [e 1] • 这正好与μ作为预期收益率的定义相符。
Dr. Fan 17
保留1阶项，忽略1阶以上的高阶项
t 0
lim xt lim at bt 0
2 t 0
3 2
因此，上式可以改写为
f f 1 2 f 2 lim f t x x t 0 t x 2 x 2
Dr. Fan
18
其中（忽略高阶项）：
t 0
lim x lim[at b t ]
2 t 0 t 0 2
2 3 2
lim a 2 t 2 b 2 2 t 2abt b t
2
Dr. Fan
19
因此，可得
E(x ) E(b t ) b tE( )
2 2 2 2 2
由于
由此得到
N (0,1), 则
2 2
D( ) E[( 0) ] E ( ) 1
E(x ) b t
2 2
代入前述公式可得到伊藤引理。
Dr. Fan 20
12.5 股票价格的对数正态特性
• 对数正态分布
– 股票价格服从维纳过程 – 股票价格的分布为对数正态分布
• 公式
• 效率市场分类
– 效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。 – 弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测 证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得 超过平均收益率的收益。
Dr. Fan
5
• 半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确 地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价 格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息 都无助于挑选价格被高估或低估的证券。 • 强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而 且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此 任何信息(包括“内幕信息”)对挑选证券都没有用 处。 • 效率市场假说提出后，许多学者运用各种数据对此 进行了实证分析。结果发现，发达国家的证券市场 大体符合弱式效率市场假说。
Dr. Fan 16
证明：如前述，假设标的资产价格变动过程服从：
x a( x, t )t b( x, t )z
其中
z t
利用泰勒展开，忽略高阶项，Δ G(x,t)可以展开为
G G 1 2G 2 1 2G 2 G ( x, t ) t x 2 t 2 x t x 2 t 2 x 1 2G xt o(x, t ) 2 xt
Corr(z1 , z2 ) 0
• 维纳过程/布朗运动的特征
– 股票价格在任意时段变动的均值都为0。 – 股票价格在某一时段变动的方差等于时间的长度
9
Dr. Fan
程序：维纳过程的模拟
• % 假设初始点为0，由标准正态分布产生随机数300个，这样将1个单 位时间等分为300个等分 • rnd=random('norm',0, 1,300,1); • %建立初始的零向量，用来放置计算的结果 • w=zeros(1,300); • for i=1:299 • w(i+1)=w(i)+rnd(i+1)*(1/300)^0.5; • end • x=[1:1:300]; • w • plot(x,w) w w t , ~ iidN (0,1)
S t t S
S ~ ( t , t ) S
2 ln ST ~ ln S0 ( )(T t ), T t 2
Dr. Fan
21
关于对数正态分布
• 定义G=lnS，由于： G 1 2G 1 G ， 2 2, 0 S S S S t • 所以有： dG ( )dt dz 2 2 • 即： d ln S ( )dt dz 2
Dr. Fan 6
• 马尔可夫过程
– 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程(Markov Stochastic Process)来表述。 – 马尔科夫过程(Markov process)是一种特殊类型的随机过程。 • 未来的预测只与变量的当前值有关，与变量过去的历史和变量从 过去到现在的演变方式不相关。
Dr. Fan
23
几何布朗运动的深入分析
• 在很短的时间Δ t后，证券价格比率的变化值 为： S t t
S
•
S 可见，在短时间内，S
具有正态分布特征
S ~ ( t , t ) S • 其均值为 t ，标准差为 t，方差为 2 t 。
几何布朗运动的深入分析（2）
2
– 从自然对数lnS所遵循的这个随机过程可以得到两个 结论: 2 G ~ [( 2 )(T t ), T t ]
（1）几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布。
• 令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t 时刻（当前时刻）的证券价格，ST表示T时刻（将来时 刻）的证券价格，则在T－t期间G的变化为：
14
上证指数
2500
2000
1500
1000
500
0 19901219 19920929 19940804 19960709 19980629 20000626 20020628
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12.4 Ito’s Lemma
• Ito’s Lemma
– 假设存在一个伊腾过程： x a( x, t )t b( x, t )z – 如果G是x和t的函数，即：G=G(x,t) – 那么： G G 1 2G 2 G
• 如果股票价格服从几何布朗运动，则可以利用 Ito引理来推导证券价格自然对数lnS所遵循的随 机过程： dG ( )dt dz 2 • 这个随机过程的特征：
2
– 普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方差率。 – 在任意时间长度T之后，G的变化仍然服从正态分布 ，均值为 ( / 2)(T t) ，方差为 2 (T t ) 。标准差仍然 可以表示为 T－t ，和时间长度平方根成正比。
• 股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性(the weak form of market efficiency)相一致：
– 一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价 格记录。 – 如果弱型市场有效性正确的话，技术分析师可通过分析股价的过 去历史数据图表获得高于平均收益率的收益是不可能的。 – 是市场竞争保证了弱型市场有效性成立。
ln ST ~ [ln S ( 2 )(T t ), T t ]
（2）股票价格对数收益率服从正态分布
• 由于dG实际上就是连续复利的对数收益率。因 此几何布朗运动实际上意味着对数收益率遵循 普通布朗运动，对数收益率的变化服从正态分 布，对数收益率的标准差与时间的平方根成比 例。 • 将t与T之间的连续复利年收益率定义为η，则
Dr. Fan 4
12.1 弱式效率市场假说与马尔可夫过程
• 效率市场假说
– 1965年，法玛(Fama)提出了著名的效率市场假说。该假说认为： – 投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬； – 证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完 全反应全部信息； – 市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而 与新信息相应的价格变动是相互独立的。
Dr. Fan
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3
期权的估值
• 欧式期权的到期收益
– Max (ST－X, 0) – ST不确定，所以期权到期的收益也不确定。 – 期权当期的价值＝？
• 风险中性估值
– 期权当期的价值＝未来收益折现后的期望值 – c＝E [Max (ST－X, 0)]
• 问题
– ST的分布是怎样的？ – 只有确定ST的分布才能确定c的价值
Dr. Fan
8
维纳过程（ Wiener Process ）
• 维纳过程（Wiener Process）
– 性质一：股票价格的变动是一个正态变量与时间的乘积 – z t （ε服从标准正态分布） – 性质二：任意两个不重叠时段的股票价格变动相互独立 – 从性质一，我们知道△z服从正态分布，性质2则隐含z遵 循马尔科夫过程。
t t 1 t t
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股票价格的一般变动
• 一般化的维纳过程
x at bz
– 变量本身随着时间的推移会有定量的增长a×Δ t – 除了时间价值之外的变动为布朗运动
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11
12.3 股票价格的一般变动
• 股票价格的变动
S St Sz
– 股票价格有随时间推移增长的稳定趋势 – 股票“实际”价格变动为布朗运动
第12章 维纳过程和伊藤引理
范 闽 金融工程研究中心
Dr. Fan
1
• 教学目的与要求 • 掌握随机变量的概念，了解马尔科夫过程的特点， 掌握维纳过程的特点和性质，掌握一般维纳过程的 特征以及其漂移率和方差率，维纳过程的均值和标 准差。掌握Ito过程的特征。
Dr. Fan
2
• 教学重点及难点 • 一、马尔科夫过程与效率市场的关系。 • 二、维纳过程、一般维纳过程与此同时 Ito 过程的 特征，漂移率和方差率，变量的均值与方差。以及 这几种过程的内在联系和变化。 • 三、Ito定理及其运用。
S 1 ln T , T-t S 2 由ln ST ln S ~ [( 2 )(T t ), T t ]可得
（T-t） ST Se ，＝
~ [( 2 ),
2
T t
]
结论
• 几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过程。
S • 但是，在一个较长的时间T后， S不再具有正态
分布的性质：
– 多期收益率的乘积问题 – 因此，尽管σ 是短期内股票价格百分比收益率的标 准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率的标准 差却不再是 。股票价格的年波动率并不是一 T 年内股票价格百分比收益率变化的标准差。
几何布朗运动的深入分析（3）
G x a t 2 x 2 b t x bz
• 期权及其他衍生证券的价格变动
– 股票价格服从维纳过程： S St Sz – 那么：
f f 1 2 f 2 2 f f S S t Sz 2 S t 2 S S
Dr. Fan
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12.2 维纳过程（ Wiener Process ）
• 布朗运动起源于物理学中对完全浸没于液体或气体 中的小粒子运动的描述，以发现这种现象的英国植 物学家Robert Brown命名。 • 描述布朗运动的随机过程的定义是维纳 (wiener) 给 出的，因此布朗运动又称维纳过程 • 股价行为模型通常用布朗运动来描述。 • 布朗运动是马尔科夫随机过程的一种特殊形式。
Dr. Fan
12
布朗运动－股票价格
1,200
1,000
800
600
400
200
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
St Wt t
13
指数布朗运动－股票价格
600
500
400
300
200
100
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
St exp( Wt t )
2
• 显然G为一个广义维纳过程，其漂移率为常数 ( ) ， 2 2 波动率为常数 。 • 因此，lnS的变化服从正态分布，不难知道：
2
ln sT ~ N[ln S ( 2 / 2) , 2 ],
T t , t [0, T ]
Dr. Fan 22
对数正态分布