航空齿轮传动的可靠性优化设计

收稿日期: 2000201205 修订日期: 2001203223 基金项目: 上海市教委发展基金项目 (802738)
作者简介: 樊俊星 (1978 ～ ) , 男, 江西南昌人, 硕士生, 主要从事机械可靠性优化的研究.
上 海 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版) 第 7 卷 ・ 2 0 6・
co s x 6 ( x 1
x 2) -
x 2 ) ≤ 0,
( 16) co s x 6 ( x 1 0. 25 ≤ 0. ( 17) 1. 3. 5 齿面胶合强度约束条件
第 3 期 樊俊星, 等: 航空齿轮传动的可靠性优化设计
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G 8 (X ) = S in l = Η sin l Η in l ≥ S B m in ,
( 18)
分量上均有两个相邻的离散值, 这样便可以组合出
2n 个离散点 . 当 n 值较大时, 显然其校核计算量是
式中, S B m in 为胶合强度最小安全系数, S in l 为胶合安 全系数, Η . sin l 为临界胶合温度, Η in l 为齿面平均温度 综上所述, 数学模型可表示为求
X = [ x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ] ,
航空齿轮在航空飞行器中被广泛应用, 其可靠 性如何直接影响飞行安全, 故设计问题非常重要. 齿 面接触应力和强度、 齿根弯曲应力和强度均为随机 变量, 必对齿轮参数设计产生影响. 此外, 由于转速 高、 齿面压力大、 温度高、 润滑效果差, 齿面胶合失效 已成为不能忽视的失效形式. 为此, 须考虑诸多因 素, 合理地选择设计参数, 以获得较好的设计方案. 近几年来, 国内外对普通齿轮传动的优化设计 已经研究了很多, 并有很大的发展. 但是在强度计算 的可靠度上, 大多数的优化设计是按照常规的设计 准则和规范, 把设计变量变化对可靠度的影响处理 成确定型因素, 建立常规的数学模型, 这种常规的优 化设计难以反映产品运行的真实工况, 影响优化效 果 . 可靠性设计是将设计中的有关变量看成是随机 变量, 依据数理统计理论, 按照可靠性设计准则, 建
文章编号: 100722861 ( 2001) 0320205204
Ξ
航空齿轮传动的可靠性优化设计
樊俊星, 邓召义
( 上海大学 机械电子工程与自动化学院, 上海 200072)
摘要: 将可靠性设计和优化设计结合起来, 对航空齿轮传动进行可靠性优化设计, 以得到最佳的设计方案. 在求优 化解的过程中, 运用 M DCP 法, 得到离散的优化解. 关键词: 优化设计; 可靠性; 航空齿轮; M DCP 中图分类号: TH 132. 4 文献标识码: A
G 3 (X ) = Z R F - R F 2 ≤ 0.
λFS i - ln Ρ λF i ln Ρ 2 1 2, (C 2 ΡFS i + C ΡF i )
( 11)
( 13)
1. 3. 3 模数约束
传递动力的齿轮, 模数一般在 [ 1 ～ 20 ] 范围内, 则有约束函数: ( 14) G 4 (X ) = 1 - X 2 ≤ 0,
G 2P、 DM C 等整型优化方法求混合变量优化都不尽
如人意.
M DCP 是一种具有多功能搜索技术的组合型
即
Hale Waihona Puke Baidu
F (x ) = Π m n co s Β
1 + u2 (1 + u ) 2 ( 8)
方法, 适用于工程设计中的混合离散变量, 即设计中 的连续变量、 整型变量和离散变量. 本文在齿轮传动 的优化设计中, 把 M DCP 和可靠性设计结合起来, 以体积最小或重量最轻为目标函数, 得到了可靠度 高的优化解.
Abstract: T he p ap er d iscu sses the com b ina t ion of reliab ility design and op t im iza t ion design lead ing to the reliab ility op t im iza t ion design of avia t ion gea rs t ran sm ission fo r an op t im iza t ion p ro ject. M DCP is u sed in the p rocess of find ing an op t im a l so lu t ion. Key words: op t im iza t ion; reliab ility; avia t ion gea rs; M DCP
Rel iab il ity O pti m iza tion D es ign of Av ia tion Gears Tran sm iss ion
FAN J un 2x ing, D EN G Zhao 2yi
(Schoo l of M echan ica l and E lectron ic Engineering and A u tom a tion, Shangha i U n iversity, Shangha i 200072, Ch ina )
T
m in F ( x ) , s. t. G i (X ) ≤ 0 ( i = 1, 2, …, 7, 8).
( 19)
相当惊人的[ 4 ]. 本文设计采用M DCP 算法, 该算法是以一种以 离散复合形的离散搜索为基础, 兼有多种辅助功能 的组合型混合离散变量的优化方法, 在算法中采用 了改进的一维离散搜索技术、 二次加速技术、 复合形 重构、 贴边技术、 重新启动技术和反射技术等 . 本文 因数据的要求, 选用了其中的一维离散搜索技术、 复 合形重构、 重新启动技术 . 本程序适应工程优化设计 问题的能力强, 解题效率较高, 使用简便, 可自动接 受非可行初始点, 被一些用户认为是目前较优秀的 离散变量优化程序之一 . 其计算框图见图 2.
1. 3. 2 齿根弯曲疲劳强度的可靠度约束 ( 10)
1 可靠性优化设计的数学模型
1. 1 确定设计变量
根据设计要求, 在满足强度与可靠度等条件下, 尽量减少体积, 减轻质量; 而影响体积、 质量和齿轮 承载能力的主要参数有: 齿数 z 1、 模数 m n、 小齿轮的 变位系数 x 1、 大齿轮的变位系数 x 2、 小齿轮齿宽 b、 分度圆螺旋角 Β, 故设计变量为 T X = [ z 1 , m n , x 1 , x 2 , b, Β ]
= [ x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ] , 1. 2 建立目标函数
T
( 1)
由文献 [ 2 ] 知, 齿轮的弯曲疲劳强度极限和弯曲 应力均服从对数正态分布, 故可靠性指数由联结方 程得
ZH =
航空齿轮的特点是要求质量最轻, 齿轮的质量 正比于它的体积和材料密度, 齿轮传动的质量正比 于共轭齿轮的总体积. 齿轮的质量可用式 ( 2) 表示: 2 ( 2) M = ∗ R,c Θ Π d b 4, 式中, ∗ R , c 为结构完善系数, 它考虑回转体, 即齿圈 材料的覆盖程度, Θ为材料密度. 材料定了, Θ 也就确定了, 所以为了研究分模 型, 不用质量而是用与质量成正比的共轭齿轮的体 积来评价. 如果用分度圆柱近似地代替共轭齿轮, 那么, 它 们的总体积可用式 ( 3) 表示: 1 + u2 2 ( 3) V = Π a b, (1 + u ) 2 式中, u 为传动比, 其相应的齿数组合, a 为啮合的 中心距, b 为齿轮的齿宽, 且 (z 1 + z 2 ) ( 4) a = m n co s Β , ’ 2co s Α t co s Α t ( 5) tan Α , t = tan Α n co s Β
G 5 (X ) = X
2
- 20 ≤ 0.
( 15)
1. 3. 4 齿宽系数的约束
当齿轮为硬齿面悬臂布置时, 0. 2 ≤7 d ≤0. 25, 则有约束函数: G 6 (X ) = 0. 2 - x 5
G 7 (X ) = x 5
在很多航空发动机的减速器和传动系统中大多 3 3 采用 Α = 25° 、 . 将式 ( 4 ) 、 h a = h f = 1. 0 的原始齿廓 ( 5) 、 ( 6) 代入式 ( 3) , 整理得目标函数 F ( x ) , 2 (z 1 + z 2 ) 1 + u2 V = Π ’ b, 2 m n co s Β (1 + u ) 2 co s Α t co s Α t ( 7)
第 7 卷 第 3 期 上
海 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版) V o l.
7, N o. 3
2001 年 6 月 JOU RNAL O F SHAN GHA I U N I V ER S IT Y (NA TU RAL SC IEN CE ) J une 2001
航空齿轮传动一般采用斜齿圆柱齿轮传动, 各 计算公式中的有关系数均参考文献 [ 3 ] 确定, 为了便 于编程和计算机计算, 将文献 [ 3 ] 中有关这些量的线 图采用最小二乘法拟合成计算式进行计算, 按拟合 公式进行计算的误差不超过 1◊ .
2 优化方法、 计算实例及结果
2. 1 优化方法
该数学模型包含了离散型变量 ( 如齿数、 模数) 和连续变量 ( 如齿宽、 螺旋角等). 在优化过程中, 以 往多数采用一种权宜的办法, 即先将全部变量都视 为连续变量, 待求得它的最优解, 再圆整到邻近的离 散值或整数值上. 这种方法虽然简单, 但实际上却蕴 含着很大的危险性. 因为最优解 X 3 一般总是在约 束的边界上, 圆整得到的离散最优解很可能落在约 束可行域之外, 成为不可行解, 如图 1 所示. 当 X 3 点处于多个约束面的交集上时, 这种情况更易出现. 纠正这个缺点的一种较为简便可靠的方法是用拟离 散求解方法, 即按一定的规则校核 X 3 点附近所有 的离散点, 从中挑选出一个最好的可行点作为离散 最 优解. 但是在n 维离散空间中 , 在X 3 点的每一个
2 (z 1 + z 2 ) . ’ b 2 co s Α t co s Α t
1. 3 确定约束条件 1. 3. 1 齿面接触疲劳强度的可靠度约束
由文献 [ 2 ] 知, 齿轮的接触疲劳强度极限和接触 应力均服从对数正态分布, 故可靠性由联结方程得 λH S - ln Ρ λH ln Ρ ( 9) ZH = , 2 2 (C ΡH S + C ΡH ) 1 2 λH S 为接触疲劳极限均值, λ 式中, Ρ ΡH 为接触应力均 值, C ΡH S 为接触疲劳变异系数, C ΡH 为接触应力变异 系数 . 若设计要求的可靠度为 R H , 与之相对应可靠性 指数 Z R H 可由正态分布表查得, 则约束函数 G 1 (X ) = Z R H - R H ≤ 0.
’ inv Α . ( 6) t = inv Α t + 2 ( x 1 + x 2 ) z 1 + z 2 tan Α n
λFS i 为第 i 个齿轮的弯曲疲劳极限均值, Ρ λF i 为 式中, Ρ 第 i 个齿轮的弯曲应力均值, C ΡFS i 为第 i 个齿轮的弯 曲疲劳变异系数, C ΡF i 为第 i 个齿轮的弯曲应力变异 系数 . 若设计要求的可靠度为 R F , 与之相对应可靠性 指数 Z R F 可由正态分布表查得 . 此时则有约束函数: ( 12) G 2 (X ) = Z R F - R F 1 ≤ 0,
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立概率数学模型 . 这种处理反映了各变量的随机变 化对可靠度的影响, 符合工程实际情况 . 若将两者结 合起来, 组成可靠性优化设计, 即能定量回答产品在 运行中的可靠度, 又能使产品的功能参数获得优化 解, 是一种更具工程实用价值的综合设计方法[ 1 ]. 国内外的大多优化方法都以假定设计变量是连 续的为前提, 但机械优化设计中有许多问题是混合 设计变量问题, 即数学模型中同时存在连续设计变 量、 整型设计变量和离散设计变量 . 例如齿轮传动的 优化设计, 直齿轮的齿数或斜齿轮的当量齿数是一 个整数, 而模数是在标准模数中选取的离散变量, 变 位系数可以看作连续变量 . 解决这类问题仍然是先 把所有的设计变量都看作连续变量, 用连续变量优 化方法求得连续最优解, 再圆整为离散最优解, 如可 变容差法、 惩罚函数法等 . 另一些 GR G P、 GR G 法、