数学(理)一轮教学案第七章第4讲 基本不等式 Word版含解析

第讲基本不等式

考纲展示命题探究

基本不等式)

基本不等式及有关结论

()基本不等式：如果>，>，则

≥

，当且仅当

时，等号成立，即正数与的算术平均数不小于它们＝

的几何平均数．

∈

，则＋

()重要不等式：

∈

，

时，等号成立．

＝

，当且仅当

≥

()几个常用的重要结论

①＋≥(与同号，当且仅当＝时取等号)；

②＋≥(>，当且仅当＝时取等号)，＋

≤

(<，当且仅当＝－时取等号)；

－

③≤(，∈，当且仅当＝时取等号)；

④≤≤≤(，>，当且仅当＝时取等号)．

利用基本不等式求最值

已知>，>，则

()如果积是定值，那么当且仅当＝时，＋有最小值

(简记：积定和最小)．()如果＋是定值，那么当且仅当＝时，有最大值

(简记：和定积最大)．

注意点基本不等式的使用条件

()求最值时要注意三点：“一正”“二定”“三相等”．所谓

“一正”指正数，“二定”是指应用定理求最值时，和或积为定值，

“三相等”是指等号成立．

()连续使用基本不等式时，要注意等号要同时成立.

．思维辨析

()函数＝＋的最小值是.( )

()≤成立的条件是>.( )

()当≥，≥时，≥.( ) ()两个不等式＋≥与≥成立的条件是相同的．( )

答案()×()×()√()×．当>时，关于函数()＝＋，下列叙述正确的是( )

．函数()有最小值

．函数()有最大值

．函数()有最小值

．函数()有最大值

答案

解析∵>，∴－>，∴()＝＋＝－＋＋≥＋＝，等号成立的条件

为当且仅当－＝，即＝.

．已知，∈＋，且满足＋＝，则的最大值为．

答案

解析∵>，>且＝＋≥，∴≤.当且仅当＝时取等号．即＝，＝时，

取得最大值.

[考法综述]

高考中对基本不等式的考查，主要是利用基本不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识进行综合考查，同时运用基本不等

式的性质求参数范围、证明不等式等也是热点．

命题法利用基本不等式求最值

典例()若(＋)＝，则＋的最小值是( )

．＋．＋

．＋．＋