高数 第二章 第一节 数列极限课件

二、数列极限的运算法则
数列运算法则：
如果lim n
an
A,
lim
n
bn
B,则有:
(1) nlim(an
bn )
lim
n
an
lim
n
bn
A
B;
(2) nlim(an
• bn )
lim
n
an
•
lim
n
bn
A• B;
(3) lim(C n
•
an )
C
lim
n
an
C
•
A(C为常数）;
(4) lim
an
lim
n
an
A (B
0).
n bn
lim
n
bn
B
法则（1）（2)可以推广到有限个 具有极限的数列的情形。
【例
2】已知
lim
n
an
3，lim n
bn
8.求：
（1）nlim（3an
5b
n
)（ ; 2）lim n
an
an • bn . 2bn 5
【解】
（1）nlim（3an
5bn )
lim
n
3an
lim
n
2n
（3）当n无限增大时，an=n2 也无限增大，不能趋近于个确定 的常数，因此，这个数没有极限。
常数的极限为本身：
注意！
不是任何无穷数列都有极限。
如数列｛2n｝，当n无限增大时，2n也无限增大，不能无限地趋近于一个确定 的常数，因此，这个数列没有极限。
又如，数列｛(-1)n｝,当n无限增大时，(-1)n 在1与-1两个数上来回跳动，不 能无限地趋近于一个确定的常数，因此，这个数列也没有极限。
n
5bn
3
lim
n
an
5
lim
n
bn
33 5 (8) 49.
（2）lim an • bn
nlim(an • bn )
n an 2bn 5 nlim(an 2bn 5)
lim
n
an
•
lim
n
bn
3 (8) 24 4 .
lim
n
an
lim
n
2bn
lim 5
n
3 2 (8) 5
hn
的值将趋于0.
1 2 n 1
两个数列例子：
1
观察数a列n
1 n
（当n→∞）的变化趋势 ：
an
1
1 2
1 3
11 45
1 6
从图上可以看出，当n增大时，点（n , an）从横轴
上方无限接近于直线an=0，这表明当n无限增大时，
数列通项
1
an = n
的值无限趋近于零。
…… → 0
a
n
2. 0, 3 , 2 , 5 ,，n (1)n ,
18
3
【例3】 求下列极限：
（1）lim（2 n
3 n
4 n2
)（ ; 2）lim ( 1 n 2an
1) 2 ;
（3）li m n
n 1 （ ; 4）lim
3n 2
n
6n 5 2n2 n
4
.
【解】
（1）lim（2 n
3 n
4 n2
)
lim
n
2
lim
n
3 n
lim
n
4 n2
（2）lim( 1 1)2 [lim( 1 1)]2 [lim 1 lim1]2 =（ 0 +1）2 = 1
数f(x)当x→∞时的极限，记作
取负值而绝对值无限增大（记作
lim f ( x) A, 或当x 时，f ( x) A x
x→-∞）。但有的时候x 的变化趋 势只能取这两种变化中的一种情
况。
定义 如果当x→+∞（或x→-∞）时，函数f(x)无限趋近地确定的常数A，那么A就叫做函
数f(x)当x→+∞（或x→-∞）时的极限，记作
第一节 数 列 的 极 限
在数列｛an｝中，现在我们来考虑当n无限增大时，无穷数列｛an} 的变化趋势。
例 一个篮球从距 地面1m高处自由下落，受地心引力及空气阻力作用，每次触地后 又反弹到前一次高度的1/2处，于是，可得到表示篮球高度的一个数列
1,
1 2
,
1 22
,
1 23
，，21n-1
我们知道，篮球最终会停在地面上，即反弹高度h=0 ，这说明，随着反弹次数n的无限增大，数列通项
a 在数列｛ n}中我们可以把它看成n(n∈N+) 的函数 an= f(n) ，因此，数列
的极限可以看成函数的极限的特殊情形。
一、当x→∞时函数f(x)的极限
注意！
这里“x→∞”表示x既取正值而无
定义 如果当x→∞时，函数f(x)无限趋近地确定的常数A，那么A就叫做函 限增大（记作x→+∞），同时也
liman A或an A(当n ) n
读作 “当n趋向于无穷大时，数列｛an｝的极限等于A ” .
根据定义，上面的几个数列的极限可分别记作：
lim n
1 2n1
0；
lim n
1 n
0；
lim n (1)n
1.
n
n
【例1】 判断下面的数列是否有极限，如果有，写出它的极限。
(1) 2,2,2,,2,；
n 2an
n 2an
n 2an n
（3）lim n 1 n 3n 2
1 1 lim n
n 3 2
1 0 30
1 3.
n
（4）lim n
6n 5 2n2 n
4
lim
n
6 n 2
5 n2
1 n
4 n2
0 0 0 0. 200 2
课堂练习 P21 习题 2-1
第二节 函数 的 极 限
an
234
n
从图上可以看出，当n增大时，点（n , an）从上下 两
侧无限接近于直线an=1，这表明当n无限增大时，
数列通项
an = n (-1) n
n
的值无限趋近于数1。
上述两个例子的变化趋势具有相同的特点：当n无限增大时，数列的项an无
限地趋近于某个常数A。
定义 1
如果无穷数列｛an｝的项数n无限增大时，an无限趋近于一个确定的常数A, 那么A就叫做数列｛an｝的极限（limit）.记作：
lim f ( x) A, 或当x 时，f (x) A
lim x
(
f ( x) A, 或当x 时，f ( x) A)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
【例2】 如图 利用图像考察当x→∞时， 函数 f (x) 1 的变化趋势。
x
【解】
从图上可以看出，当x的绝对值无限增大时，函数f(x)的值无限趋近于常数零。
第二章 极 限 与 连 续
在解决一些实际问题时，需要研究变量的变化趋势，例如当自变量无限接近于某个常数时， 函数无限接近于什么？这就是需要极限理论，极限理论是高等数学的基础，也是高等数学的 基本推理工具。
在这一章将主要介绍极限与连续的基本概念，以及它们的一些性质，这为进一步学好微积 分打下基础。
一、数列极限的定义
(3)1,4,9,16,, n2 ,；
(2)
1 , 1 , 1 , 1 , (1)n 2 4 8 16
1 22
,.
【解】 （1） 这个数列是常数数数列，通项an=-2，数列的极限是-2，即
lim(2) 2； n
（2）这个数列是公比q= - 1/2 的等比数列，通项是
an
(1)n
1 2n
，
lim 可以看出，当n无限增大时，(1)n(211n )无n 限1 趋近0 于0，即