第八章物流管理 物流工程

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物流管理分析模型——第八章 搬运排班模型
k X ij =
p∈P k
∑x
=1
k ijp kr ip
源自文库
k θp
∀(i, j ) ∈ E k , ∀k ∈ K ∀i ∈ V k , ∀k ∈ K
Yi kr =
p∈P k
∑y
k θp
p∈P
∑θ
k
k p
∀k ∈ K ∀p ∈ P k , ∀k ∈ K
k θp ≥0
[1]
G. B. Dantzig and P. Wolfe. Decomposition principle for linear programs. Operation Research, 8:101-111,1960.
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物流管理分析模型——第八章 搬运排班模型
装载限量的情况下，资源对应于“已经装载的重量（容量） ” ，访问顾客装入货物 时资源增加，卸车时资源减少。在各顾客处资源的上限是搬运车辆装载重量（容量） 的上限，下限设定为 0。 8.1.2 输入数据
物流管理分析模型——第八章 搬运排班模型
第八章 搬运排班模型
本章考虑对于航空产业乘务员排班问题和机群分割问题， 铁路、 公共交通产业的 乘务员排班问题，卡车产业的拖头型运输问题等，一般化后的通用模型。这一模型是 将各种应用采用统一的框架， 产生了以 Dantzig-Wolfe[1]分解原理为基础的算法方面的 要求，也就是说，不仅要将各种实际应用问题统一成为通用模型，而且需要寻求统一 的通用算法。 8.1 基本模型
k ；这 RLBkri：搬运车辆 k∈K 的点 i∈Vk 中的资源 r∈Res 的数量下限（r-units） 里所谓的 r-units 表达的是资源 r 的单位量。例如，资源表示时间时，意味着日、小 时、分、秒等，表示重量（容量）时，意味着千克（立方米）等。 k 。 RUBkri：搬运车辆 k∈K 的点 i∈Vk 中的资源 r∈Res 的数量上限（r-units） kr R ij：从点 I 到点 j 搬运车辆移动时资源 r 的增加量（r-units） 。搬运车辆 k 从点 I kr 向点 j 移动时，点 j 中的资源 r 的量 Y j，在点 I 中的资源 r 的量 Ykri 的基础上，可 以如下计算：
k
∑ ∑y θ ∑ ∑x θ X = ∑x θ ∑θ = 1
k∈K p∈P k k0 d (k ) p k ijp
k p
k p k p
=1
∀t ∈ Task ∀(i, j ) ∈ E k , k ∈ K ∀k ∈ K ∀p ∈ P k , k ∈ K ∀(i, j ) ∈ E k , k ∈ K
X ∈ {0,1}
(x
k p
, yk p
)
p ∈ Pk ,k ∈ K
其中，xpk 的各分量为 xkijp，ypk 的各分量为 ykijp。 子问题 k∈K 的解 Xkij 和 Yki，可以写成为端点特征向量的凸函数：
[1]
G. B. Dantzig and P. Wolfe. Decomposition principle for linear programs. Operation Research, 8:101-111,1960.
k∈K
∑Y
k0 d (k )
采用资源变量下标改为 0 表达费用。目标函数是以各搬运车辆 k∈K 分别到大个 子目的地 d(k)的费用合计值。 任务执行条件 采用如下形式表达任务必须被执行：
( i , j , k )∈EK t
∑X
k ij
=1
2
∀t ∈ Task
物流管理分析模型——第八章 搬运排班模型
∀i ∈ N k , r ∈ Re s k , k ∈ K
这里所讨论的是依据 Dantzig-Wolfe[1]分解原理的算法。 应用 Dantzig-Wolfe 分解原理，可以将上面所讨论的数学模型分解为目标函数与 任 务 执 行 条 件 所 构 成 的 主 问 题 (master problem) 和 其 他 约 束 条 件 构 成 的 子 问 题 （subproblem） 。 子问题可以进一步按照搬运车辆 k∈K 进行分解，分解以后的单个问题成为具有资源 约束的最短路问题。现在，假设表达具有资源约束的]最短路问题的多面体是有界的。 子问题的各端点对应于从 o(k)到 d(k)的路径（满足资源约束） ，将对于子问题 k∈K k 的端点的集合写为 P ，端点的特征向量为：
出发地、目的地以外的资源量约束 表达在出发地、目的地以外的节点上的资源上下限约束。
k k RLBikr ∑ X ij ≤ Yi kr ≤ RUBikr ∑ X ij j:( i , j )∈E k j:( i , j )∈E k
8.2 算法
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物流管理分析模型——第八章 搬运排班模型
这一问题作为放松线性规划求解（或者采用 Lagrange 缓和法得到下界） ，能够得到对 应于（8.1）的对偶变量λt(t∈Task)，这时有路径变量θkp 的（被约费用？） k k0 k cp = yd ∀p ∈ P k , k ∈ K ∑ λt xijp (k ) p − ∑
搬运车辆交通流整合条件 表达搬运车辆 k 从出发地 o(k)出发，经过若干节点之后，到达目的地 d(k)，其数 学表达方式为： i = o( k ) 1 ∑ k X ijk − ∑ k X kji = 0 ∀i ∈ V k \ {o(k ), d (k )} ∀i ∈ V k , k ∈ K j:( i , j )∈E j:( i , j )∈E − 1 i = d ( k ) 搬运车辆流变量与资源变量的联系条件 表达由于搬运车辆 k 在边(I,j)上的移动所引起的资源变化。
8.3.1 任务执行条件的一般化 任务执行条件表达的是所有任务必须“正好执行一次” ，这样严格的条件在实际 应用中往往需要放松。这里，定义任务的处理次数为任意的正数，允许从确定的处理 次数的偏离作为惩罚的模型。 追加如下参数： nt：任务 t∈Task 被处理的次数。 P+t：任务 t 处理的次数超过 nt 时，超过 1 个单位增加的惩罚费用。 P-t：任务 t 处理的次数不到 nt 时，缺少 1 个单位增加的惩罚费用。 追加如变量： Ξ+t：任务 t∈Task 被处理次数的超过量。 Ξ-t：任务 t∈Task 被处理次数的缺少量。 从而有数学模型为： 目标函数： + + − − W = ∑ Ydk(0 k) + ∑ P t Ξt + P t Ξt
( i , j )∈E k t∈Task :( i , j , k )∈EK t
因此， （被约费用？）为负且满足约束要求的路径的子问题，可以针对搬运车辆 k∈K 分别独立求解，采用原有的变量 Xkij 和 Yki 可以写作为如下公式：
Min s.t. Ydk(0 k) −
k t ij ( i , j )∈E t∈Task :( i , j , k )∈EK t
k
∑
∑λ X
对于搬运车辆k ∈ K的流整合条件 对于搬运车辆k ∈ K的搬运车辆流变量与资源变量的联系条件 对于搬运车辆k ∈ K的出发地和目的地资源的上下限约束 对于搬运车辆k ∈ K的出发地和目的地以外的资源量上下限约束
子问题采用动态规划法等方法求解。 附加约束的主问题是整数规划问题， 为了寻求整数解， 通常需要采用分支定界法 等枚举方法。 在分支定界法的各子问题中， 值得推荐的是采用列生成法的分支定界法， ，该方法适用于搬运排班等多种组合优化 称为分支价格法（branch and price method） 问题。 8.3 扩展模型
θ ≥0
由于变量 Xkij 的 0-1 条件可以用路径变量θkp 的 0-1 条件所替换，上述的主问题 可以写为如下的形式：
Min s.t.
( i , j , k )∈EK t p∈P k k p
∑ ∑y ∑ ∑x
k∈K p∈P
k
k0 d (k ) p k ijp k θp =1
∀t ∈ Task ∀p ∈ P k , k ∈ K
8.1.1 集合 K：搬运车辆（Vehicle）的集合，具体含义依赖于实际应用，可以是乘务员、飞机、 卡车、船等。模型扩展到多种流问题时，搬运车辆需要与品种对应，需要引入品种 （commodity）的概念。 Task：任务的集合，在配送规划问题中，表示顾客需求；而在乘务员排班等问题中， 表示航班、车次等。也称为作业或活动。 往采用图的方式将排班问题可视化表达， 其表达方法一般可以分为： 节点活动图 式（activity-on-node diagram）和边活动图式（activity-on-arc diagram） 。搬运排班问 题同样可以采用这两种图式表达，考虑到问题的特点，多采用边活动图式。 Gk= (Vk, Ek)搬运车辆 k∈K 能够移动的网络。搬运车辆 k 的出发地为 o(k)，目的地为 d(k)，设搬运车辆 k 可能处理的任务的出发地和目的地的集合为 Nk，可能移动的节 点 Vk 为 Nk∪{o(k),d(k)}，同时，边 Ek 为节点集合 Vk 之间搬运车辆可以移动的节点 对。 任务的开始时间事前决定的话，将时间概念与空间网络组合的方法也是有效的， 由此生成的网络称为时空网络(time-space network)。网络的各节点定义为空间网络的 节点 I 和通过 I 的时刻 s，即(I,s)，搬运车辆从某一节点 I 在时刻 s 出发，于时刻 t 到 达节点 j， 表达为在节点(I,s)和节点(j,t)之间连接的有向边{(I,s),(j,t)}。 由于将时间表面 化组合进入网络，因此造成了网络大规模化的可能性，同时由于时间的不可逆性质， 决定了网络中不包含回路。 EKt：定义当搬运车辆 k 从点 I 向点 j 移动，完成任务 t∈Task 时，组合(I,j,k)包含于 集合 EKt 之中。 Resk：对于搬运车辆 k∈K 的资源集合。所谓资源是对于配送规划问题中所附加的时 间窗或装载限量约束的一般化后提出的概念。 时间窗约束的情况下， 资源对应于 “时间” ， 在顾客之间移动搬运车辆时资源 （时 间）增加。在各顾客上规定了资源（时间）的上下限，资源（时间）下限未满时，设 定为下限。这可以理解为：到达顾客之处比最早作业开始时刻还早时，需要等待直到 最早作业时刻。
kr kr Y jkr = max RLB kr + Rij j , Yi
{
}
8.1.3 变量 Xkij：搬运车辆 k 从点 I 向点 j 移动时为 1，否则为 0。下面称其为搬运车辆流变 量。 Ykri(≥0)：搬运车辆 k 的在点 I 上的资源 r 的量(r-units)，以下称为资源变量。 8.1.4 公式化 采用以上相关定义建立数学模型。 首先建立文字表达模型， 而后建立数学表达形 式。文字表达如下： 最小化 总费用 约束 任务执行条件 搬运车辆的交通流整合条件 搬运车辆流变量和资源变量联系条件 出发点、目的地的资源上下限约束 出发点、目的地以外的资源上下限约束 目标函数 设总费用为 W W =
θ ∈ {0,1}
为求解以上问题，需要事前列举所有的路径。但是，路径变量的数目非常大，往 往不可能事前列举。为此，限定具有预见可能性，相应生成路径。也就是采用所谓列 生成法（column generation method） 。对于各搬运车辆 k 路径的部分集合：
~ P k ⊆ Pk
导入如下的附加约束问题（restricted master problem）
(X
k ij
kr = 1 ⇒ Yi kr + Rij ≤ Y jkr
) (
)
∀r ∈ Re s k , (i, j ) ∈ A k , k ∈ K
出发地、目的地的资源量上下限约束
RLBikr ≤ Yi kr ≤ RUBikr ∀i ∈ {o(k ), d (k )}, r ∈ Re s k , k ∈ K
这里导入的新的变量θkp 是针对各端点（路径）定义的，所以称为路径变量(path variable)。对于主问题采用路径变量替换 Xkij 和 Ykij 之后，有如下的变形：
Min s.t.
( i , j , k )∈EK t p∈P k k ij ijp p∈P k k p k p∈P k p k ij
Min s.t.
~ ( i , j , k )∈EK t p∈P k k p
∑ ∑y ∑ ∑x
~ k∈K p∈P k
k0 d (k ) p k ijp
k θp
k θp = 1 ∀t ∈ Task
(8.1)
θ ∈ {0,1}
~ ∀p ∈ P k , k ∈ K
在这一问题中，由于 xkijp 是 0 或 1 的数，因此属于分割问题的一种特殊形式。