网络控制系统中时延的稳定性分析_尹峥
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T T
其中 ，A∈R ，B∈R
n×n
n×m
是常数矩阵 ，K∈R
m×n
为状态反馈控
制增益 ，ψ 为系统初始状态函数 ，x∈Rn 是系统状态 ，h （t ） 为 系 统 的时延 。 当时延为固定时延 h （t ）＝h 时对时延进行黄金分割 ， 得 到与时延相关但和时延变化率无关的保守性较小的渐近稳定性 判据 。
4 * X22 X23 X＝4 * * X33 4 * 4
* *
4 X24 4 ≥0 X34 4 4 X44 4
乙
t
t－0．382h
觶 （s ）ds＝0 x
那么 ， 对于任意具有合适维数矩阵 Ni（i＝1 ，2 ，3 ，4 ） 都有 ：
2 （x （t ）N1 ＋x （t－h ）N2 ＋x （t－0．618h ）N3 ＋x （t－0．382h ）N4 ） × x （t ）－x （t－0．382h ）－
所以 ， 当条件 （4 ）、（5 ） 成立时 ， 则有充分小 ε ， 有 V （x ）＜－ε‖ x （t ） ‖ 2， 那 么 由 李 雅 普 诺 夫 稳 定 性 理 论 可 知 ， 固 定 时 延 系 统 (3) 的平衡点 x （t ）≡0 是渐近稳定的 。 即定理证毕 。 3 结束语 本文将网络控制系统中存在网络时延的问题 ， 把系统等价 成时滞系统 ， 通过对固定时延进行黄金分割 ， 基于李雅普诺夫稳 定性理论以及改进自由权矩阵方法 ， 给出一种讨论时延系统稳
2
固定时延的稳定性分析 对于固定时延 （h （t ）＝h ）， 可给出以下定理 。 定理 ： 给定标量 h＞0 和状态反馈增益 K∈Rm×n， 若 存 在 正 定
乙
T
t
t－0．618h
觶 （s ）Z x （s ）ds＋xT （t－0．618h ）Q x （t－0．618h ） x 1 2
T
T
－x （t－h ）Q2 x （t－h ）＋0．382h （Ax （t ）＋BKx （t－h （t ））） Z2 （Ax （t ） ＋BKx （t－h （t ）））－
图1
网络控制系统的结构图
本文针对网络控制系统中存在网络时延的问题 ， 把系统等 价成时滞系统 ， 对固定时延进行研究 ， 通过对时延进行黄金分 割 ， 基于李雅普诺夫稳定性理论以及改进自由权矩阵方法 ， 给出 一种讨论时延系统稳定性的新方法 。 本文考虑如下线性时延系统 ：
觶 （t ）＝Ax （t ）＋Bu （t ） x x （t ）＝ψ （t ），坌t∈ ［－hm ，0 ］
T
THale Waihona Puke Baidu
－x （t－h ）Q2 x （t－h ）＋0．382h （Ax （t ）＋BKx （t－h （t ））） Z2 （Ax （t ）
（5 ）
＋BKx （t－h （t ）））－
T
乙
t
t－0．382h T
觶 （s ）Z x （s ）ds＋2 （xT （t ）N ＋xT （t－h ）N x 2 1 2
T
＋x （t－0．618h ）N3 ＋x （t－0．382h ）N4 ） × x （t ）－x （t－0．382h ）－
由定义 1－4 可知 ， 长时 延 不 是 指 网 络 诱 导 时 延 一 定 大 于 一 个采样周期 ， 而是指网络诱导时延的分布区间的上界大于一个 采样周期 。 网络诱导时延的存在使得系统的分析非常复杂 ， 虽然时延 系统的分析和建模近年来取得很大进展 ， 但 NCS 中可能存在多 种 不 同 性 质 的 时 延 （ 常 数 、 有 界 、 随 机 时 变 等 ）， 使 得 现 有 的 方 法 一般不能直接应用 。 网络诱导时延的存在给网络控制系统的稳定性带来很大的 影响 ， 和长期以来控制界研究的时延系统一样 ， 网络控制系统中 的时延将大大降低控制系统性能 ， 例如上升时间增大 、 超调量增 大 、 稳定时间变长等 ， 更严重的情况会使控制系统不稳定 。 即使 系统仍然保持稳定 ， 稳定区域也会显著减小 。 所以 ， 在网络控制 系统的建模和控制器设计问题中 ， 以及在网络调度和网络传输 协议设计问题的研究中 ， 如何处理网络诱导时延的问题都是非 常基本和重要的问题 。 图 1 为网络控制系统的结构图 。
觶 （s ）Z x 觶 dsdθ 乙 乙x
－0．618h t＋θ 1 2 0 t T
Abstract To study the stability of time－delay networked control systems,Fixed delay this case for the system delay．By the time－ delay golden cutting and introduction of the improved free－weighting matrices,based on the Lyapunov stability theory,a new method of discussing the stability of networked control system is presented． Keywords:network control system,time－delay,stability
网 络 控 制 系 统 （Networked Control Systems ，NCS ） 是 指 通过网络形成闭环的反馈控制系统 。 NCS 的概念在 20 世纪 90 年 代 初 被 提 出 ， 现 已 引 起 人 们 的 广 泛 关 注 ［1］。 在 网 络 控 制 系 统 中 ， 传感器 、 执行器 、 控制器等系统组件作为网络节点 ， 直接作用 在网络上 ， 通过共享的有线或无线通信网络进行传感和控制信 息的交换 。 这种网络化的控制模式具有信息资源共享 、 连接线数 减少 、 易于扩展 、 高效率 、 高可靠性及灵活等优点 ， 是未来控制系 统的发展模式 。 然而 ， 由于网络带宽的限制以及传输机制的影 响 ， 网络控制系统不可避免的存在信号时延 、 数据包丢失及多包 传输等问题 ， 这些问题都会导致系统性能下降甚至失稳 。 因此 ， 如何利用有限的带宽资源 ， 尽量减少网络对系统稳定性的影响 是目前应关注的主要问题 。
T T T T
（4 ）
－x （t－0．618h ）Q1 x （t－0．618h ）＋0．618h （Ax （t ） ＋BKx （t－h （t ））） Z1 （Ax （t ）＋BKx （t－h （t ））） －
T
乙
T
t
t－0．618h
觶 （s ）Z x （s ）ds＋xT （t－0．618h ）Q x （t－0．618h ） x 1 2
T T T T T
乙
乙 乙
t
t
t－0．382h
觶 s ）d s x
乙
T
（9 ）
由式 （6 ） 和 （9 ） 推出 ：
觶 （x ）≤ηT （t ）Ωη （t ）－ V 1 1
T t－0．382h
η2 （t ，s ）Φη2 （t ，s ）ds
T
T T T η2 ＝ ≤ 觶 （s ） ≤ xT （t ），x （t－h ），x （t－0．618h ），x （t－0．382h ），x
82
网络控制系统中时延的稳定性分析
网络控制系统中时延的稳定性分析
Analysis of Delay in Network Control System Stability
尹 峥 （大 连 交通大学 电 气 信息学院 ，辽 宁 大 连 116028）
摘 要
对 时 延 网络 控 制 系统的 稳 定 性 进 行研究 ， 针 对系统 时 延 中 固 定 时 延这 种 情 形 ， 通 过对 时 延 黄 金 分 割 以 及 引入 改 进 自 由 权 矩 阵 ， 基 于 李 雅 普 诺夫 稳 定 性理论 ， 给 出 一 种 讨 论 时 延 网络 控 制 系统 稳 定 性的 新 方 法 。 关键词 ： 网络 控 制 系统 ， 时 延 ， 稳 定 性
乙
t
T
矩阵 P∈Rn×n， 正定矩阵 Zi∈Rn×n （i＝1 ，2 ）， 半正 定 矩 阵 Qi∈Rn×n （i＝1 ，2 ）， 以及 ：
X11 X12 X13 X14 4
t－0．382h
觶 （s ）Z （s ）ds x 2
（7 ）
根据牛顿 － 莱布尼茨公式 ， 可得 ：
x （t ）－x （t－0．382h ）－
觶 （t ）＝Ax （t ）＋Bkx （t－h （t ）） x
（3 ）
83
那么 ，v （x ） 沿着系统 (3) 的轨线导数为 ：
觶 （x （t ））＝2x （t ）T P （Ax （t ）＋BKx （t－h （t ）））＋xT （t ）Q x （t ） V 1 －x （t－0．618h ）Q1 x （t－0．618h ）＋0．618h （Ax （t ） ＋BKx （t－h （t ））） Z1 （Ax （t ）＋BKx （t－h （t ））） －
T T T T
（Xij，Nj 从分别是任意具有合适维数的矩阵 ，i ，j＝1 ，2 ，3 ，4 ）， 使得如下矩阵不等式成立 ：
乙
T
乙
t
t－0．382h
觶 （s ）ds ＝0 x
乙
（8 ）
所以 ， 由式 （7 ）、（8 ） 得到 ：
觶 （x （t ））＝2x （t ）T P （Ax （t ）＋BKx （x－h （t ）））＋xT （t ）Q x （t ） V 1
1
网络系统中具有时延问题的描述 时延是通信网络服务质量的一个重要指标 。 时延表示网络
中两个节点间传输一位数据所需的时间 ， 用秒或几分之一秒表 示 。 计算机在网络中所处的位置不同 ， 时延将有所不同 。 工程上 ， 通常指最大时延和平均时延 ［2］。 网 络 诱 导 时 延 本 身 就 是 通 信 网 络的一个重要性能指标 ， 在通信领域一直都是常见的研究课题 ； 而从控制角度来看 ， 主要是研究不同网络在不同负载条件下网 络诱导时延的统计特性 ， 相关研究包括网络诱导时延的组成 、 建 模和测量等等 。 在影响网络控制系统性能的所有因素中 ， 最主要的因素之 一是网络诱导时延 。 时延会降低系统的性能 ， 使系统的稳定范围 变 小 ，甚 至 使 系 统 不 稳 定 ，在 网 络 控 制 系 统 的 分 析 与 设 计 中 ，是 不可忽略的重要因素 。 定义 1 ［3］：NCS 中 ， 将传感器采样到某数据的 时 刻 起 至 该 数 据开始被控制器处理的这段时间称为传感器到控制器时延 τsc。 定义 2 ［3］：NCS 中 ， 将控制器产生某控制信号 的 时 刻 起 至 该 控制信号使执行器产生相应动作的这段时间 ， 称为控制器到执 行器时延 τcα。 定义 3 ： 若网络诱导时延在区间 [0 ，a] 分布 ， 且 a≤T ， 则 称 这 样的网络诱导时延为短时延 。 定 义 4 ： 若 网 络 诱 导 时 延 在 区 间 [0 ，a] 分 布 ， 且 a＞T ， 则 称 这 样的网络诱导时延为长时延 。
11 ＝PA＋A P＋Q1 ＋N1 ＋N1 ＋0．618hA Z1 A＋0．382hA Z2 A＋hX11 12 ＝PBK＋0．618hA Z1 BK＋0．382hA Z2 BK＋N2 ＋hX12 14 ＝N4 ＋hX14 22 ＝－Q2 ＋0．618h （BK ） Z1 BK＋0．382h （BK ） Z2 BK＋hX22 24 ＝－N2 ＋hX24 33 ＝－Q1 ＋Q2 ＋hX33 34 ＝－N3 ＋hX34 44 ＝－N4 －N4 ＋X44
（1 ） （2 ）
其中 ， 系 统 （1 ） 通 过 状 态 反 馈 控 制 律 u （t ）＝Kx （t ） 来 控 制 ， 由 于系统中存在网络时延 ， 因此 ， 实际状态反馈控制律是 u （t ）＝Kx （t－h （t ））， 可以得到如下闭环网络控制系统 。
《 工业控制计算机 》2013 年第 26 卷第 5 期
4 11 ≥ * Ω＝ ≥ * ≥ * 4 X11 ≥ ≥ * ≥ Φ＝ * ≥ * ≥ * 4
12 N3 ＋hX13 14 4 22 * * hX23 33 * 24
T
X12 X13 X14 X22 X23 X24 * * *
T
X33 X34 * X44
T
* *
4 ＜0 4 34 4 44 4 N1 4 N2 4 N3 4 ≥0 4 N4 4 Z1 ＋Z2 4
其中 ，A∈R ，B∈R
n×n
n×m
是常数矩阵 ，K∈R
m×n
为状态反馈控
制增益 ，ψ 为系统初始状态函数 ，x∈Rn 是系统状态 ，h （t ） 为 系 统 的时延 。 当时延为固定时延 h （t ）＝h 时对时延进行黄金分割 ， 得 到与时延相关但和时延变化率无关的保守性较小的渐近稳定性 判据 。
4 * X22 X23 X＝4 * * X33 4 * 4
* *
4 X24 4 ≥0 X34 4 4 X44 4
乙
t
t－0．382h
觶 （s ）ds＝0 x
那么 ， 对于任意具有合适维数矩阵 Ni（i＝1 ，2 ，3 ，4 ） 都有 ：
2 （x （t ）N1 ＋x （t－h ）N2 ＋x （t－0．618h ）N3 ＋x （t－0．382h ）N4 ） × x （t ）－x （t－0．382h ）－
所以 ， 当条件 （4 ）、（5 ） 成立时 ， 则有充分小 ε ， 有 V （x ）＜－ε‖ x （t ） ‖ 2， 那 么 由 李 雅 普 诺 夫 稳 定 性 理 论 可 知 ， 固 定 时 延 系 统 (3) 的平衡点 x （t ）≡0 是渐近稳定的 。 即定理证毕 。 3 结束语 本文将网络控制系统中存在网络时延的问题 ， 把系统等价 成时滞系统 ， 通过对固定时延进行黄金分割 ， 基于李雅普诺夫稳 定性理论以及改进自由权矩阵方法 ， 给出一种讨论时延系统稳
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固定时延的稳定性分析 对于固定时延 （h （t ）＝h ）， 可给出以下定理 。 定理 ： 给定标量 h＞0 和状态反馈增益 K∈Rm×n， 若 存 在 正 定
乙
T
t
t－0．618h
觶 （s ）Z x （s ）ds＋xT （t－0．618h ）Q x （t－0．618h ） x 1 2
T
T
－x （t－h ）Q2 x （t－h ）＋0．382h （Ax （t ）＋BKx （t－h （t ））） Z2 （Ax （t ） ＋BKx （t－h （t ）））－
图1
网络控制系统的结构图
本文针对网络控制系统中存在网络时延的问题 ， 把系统等 价成时滞系统 ， 对固定时延进行研究 ， 通过对时延进行黄金分 割 ， 基于李雅普诺夫稳定性理论以及改进自由权矩阵方法 ， 给出 一种讨论时延系统稳定性的新方法 。 本文考虑如下线性时延系统 ：
觶 （t ）＝Ax （t ）＋Bu （t ） x x （t ）＝ψ （t ），坌t∈ ［－hm ，0 ］
T
THale Waihona Puke Baidu
－x （t－h ）Q2 x （t－h ）＋0．382h （Ax （t ）＋BKx （t－h （t ））） Z2 （Ax （t ）
（5 ）
＋BKx （t－h （t ）））－
T
乙
t
t－0．382h T
觶 （s ）Z x （s ）ds＋2 （xT （t ）N ＋xT （t－h ）N x 2 1 2
T
＋x （t－0．618h ）N3 ＋x （t－0．382h ）N4 ） × x （t ）－x （t－0．382h ）－
由定义 1－4 可知 ， 长时 延 不 是 指 网 络 诱 导 时 延 一 定 大 于 一 个采样周期 ， 而是指网络诱导时延的分布区间的上界大于一个 采样周期 。 网络诱导时延的存在使得系统的分析非常复杂 ， 虽然时延 系统的分析和建模近年来取得很大进展 ， 但 NCS 中可能存在多 种 不 同 性 质 的 时 延 （ 常 数 、 有 界 、 随 机 时 变 等 ）， 使 得 现 有 的 方 法 一般不能直接应用 。 网络诱导时延的存在给网络控制系统的稳定性带来很大的 影响 ， 和长期以来控制界研究的时延系统一样 ， 网络控制系统中 的时延将大大降低控制系统性能 ， 例如上升时间增大 、 超调量增 大 、 稳定时间变长等 ， 更严重的情况会使控制系统不稳定 。 即使 系统仍然保持稳定 ， 稳定区域也会显著减小 。 所以 ， 在网络控制 系统的建模和控制器设计问题中 ， 以及在网络调度和网络传输 协议设计问题的研究中 ， 如何处理网络诱导时延的问题都是非 常基本和重要的问题 。 图 1 为网络控制系统的结构图 。
觶 （s ）Z x 觶 dsdθ 乙 乙x
－0．618h t＋θ 1 2 0 t T
Abstract To study the stability of time－delay networked control systems,Fixed delay this case for the system delay．By the time－ delay golden cutting and introduction of the improved free－weighting matrices,based on the Lyapunov stability theory,a new method of discussing the stability of networked control system is presented． Keywords:network control system,time－delay,stability
网 络 控 制 系 统 （Networked Control Systems ，NCS ） 是 指 通过网络形成闭环的反馈控制系统 。 NCS 的概念在 20 世纪 90 年 代 初 被 提 出 ， 现 已 引 起 人 们 的 广 泛 关 注 ［1］。 在 网 络 控 制 系 统 中 ， 传感器 、 执行器 、 控制器等系统组件作为网络节点 ， 直接作用 在网络上 ， 通过共享的有线或无线通信网络进行传感和控制信 息的交换 。 这种网络化的控制模式具有信息资源共享 、 连接线数 减少 、 易于扩展 、 高效率 、 高可靠性及灵活等优点 ， 是未来控制系 统的发展模式 。 然而 ， 由于网络带宽的限制以及传输机制的影 响 ， 网络控制系统不可避免的存在信号时延 、 数据包丢失及多包 传输等问题 ， 这些问题都会导致系统性能下降甚至失稳 。 因此 ， 如何利用有限的带宽资源 ， 尽量减少网络对系统稳定性的影响 是目前应关注的主要问题 。
T T T T
（4 ）
－x （t－0．618h ）Q1 x （t－0．618h ）＋0．618h （Ax （t ） ＋BKx （t－h （t ））） Z1 （Ax （t ）＋BKx （t－h （t ））） －
T
乙
T
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t－0．618h
觶 （s ）Z x （s ）ds＋xT （t－0．618h ）Q x （t－0．618h ） x 1 2
T T T T T
乙
乙 乙
t
t
t－0．382h
觶 s ）d s x
乙
T
（9 ）
由式 （6 ） 和 （9 ） 推出 ：
觶 （x ）≤ηT （t ）Ωη （t ）－ V 1 1
T t－0．382h
η2 （t ，s ）Φη2 （t ，s ）ds
T
T T T η2 ＝ ≤ 觶 （s ） ≤ xT （t ），x （t－h ），x （t－0．618h ），x （t－0．382h ），x
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网络控制系统中时延的稳定性分析
网络控制系统中时延的稳定性分析
Analysis of Delay in Network Control System Stability
尹 峥 （大 连 交通大学 电 气 信息学院 ，辽 宁 大 连 116028）
摘 要
对 时 延 网络 控 制 系统的 稳 定 性 进 行研究 ， 针 对系统 时 延 中 固 定 时 延这 种 情 形 ， 通 过对 时 延 黄 金 分 割 以 及 引入 改 进 自 由 权 矩 阵 ， 基 于 李 雅 普 诺夫 稳 定 性理论 ， 给 出 一 种 讨 论 时 延 网络 控 制 系统 稳 定 性的 新 方 法 。 关键词 ： 网络 控 制 系统 ， 时 延 ， 稳 定 性
乙
t
T
矩阵 P∈Rn×n， 正定矩阵 Zi∈Rn×n （i＝1 ，2 ）， 半正 定 矩 阵 Qi∈Rn×n （i＝1 ，2 ）， 以及 ：
X11 X12 X13 X14 4
t－0．382h
觶 （s ）Z （s ）ds x 2
（7 ）
根据牛顿 － 莱布尼茨公式 ， 可得 ：
x （t ）－x （t－0．382h ）－
觶 （t ）＝Ax （t ）＋Bkx （t－h （t ）） x
（3 ）
83
那么 ，v （x ） 沿着系统 (3) 的轨线导数为 ：
觶 （x （t ））＝2x （t ）T P （Ax （t ）＋BKx （t－h （t ）））＋xT （t ）Q x （t ） V 1 －x （t－0．618h ）Q1 x （t－0．618h ）＋0．618h （Ax （t ） ＋BKx （t－h （t ））） Z1 （Ax （t ）＋BKx （t－h （t ））） －
T T T T
（Xij，Nj 从分别是任意具有合适维数的矩阵 ，i ，j＝1 ，2 ，3 ，4 ）， 使得如下矩阵不等式成立 ：
乙
T
乙
t
t－0．382h
觶 （s ）ds ＝0 x
乙
（8 ）
所以 ， 由式 （7 ）、（8 ） 得到 ：
觶 （x （t ））＝2x （t ）T P （Ax （t ）＋BKx （x－h （t ）））＋xT （t ）Q x （t ） V 1
1
网络系统中具有时延问题的描述 时延是通信网络服务质量的一个重要指标 。 时延表示网络
中两个节点间传输一位数据所需的时间 ， 用秒或几分之一秒表 示 。 计算机在网络中所处的位置不同 ， 时延将有所不同 。 工程上 ， 通常指最大时延和平均时延 ［2］。 网 络 诱 导 时 延 本 身 就 是 通 信 网 络的一个重要性能指标 ， 在通信领域一直都是常见的研究课题 ； 而从控制角度来看 ， 主要是研究不同网络在不同负载条件下网 络诱导时延的统计特性 ， 相关研究包括网络诱导时延的组成 、 建 模和测量等等 。 在影响网络控制系统性能的所有因素中 ， 最主要的因素之 一是网络诱导时延 。 时延会降低系统的性能 ， 使系统的稳定范围 变 小 ，甚 至 使 系 统 不 稳 定 ，在 网 络 控 制 系 统 的 分 析 与 设 计 中 ，是 不可忽略的重要因素 。 定义 1 ［3］：NCS 中 ， 将传感器采样到某数据的 时 刻 起 至 该 数 据开始被控制器处理的这段时间称为传感器到控制器时延 τsc。 定义 2 ［3］：NCS 中 ， 将控制器产生某控制信号 的 时 刻 起 至 该 控制信号使执行器产生相应动作的这段时间 ， 称为控制器到执 行器时延 τcα。 定义 3 ： 若网络诱导时延在区间 [0 ，a] 分布 ， 且 a≤T ， 则 称 这 样的网络诱导时延为短时延 。 定 义 4 ： 若 网 络 诱 导 时 延 在 区 间 [0 ，a] 分 布 ， 且 a＞T ， 则 称 这 样的网络诱导时延为长时延 。
11 ＝PA＋A P＋Q1 ＋N1 ＋N1 ＋0．618hA Z1 A＋0．382hA Z2 A＋hX11 12 ＝PBK＋0．618hA Z1 BK＋0．382hA Z2 BK＋N2 ＋hX12 14 ＝N4 ＋hX14 22 ＝－Q2 ＋0．618h （BK ） Z1 BK＋0．382h （BK ） Z2 BK＋hX22 24 ＝－N2 ＋hX24 33 ＝－Q1 ＋Q2 ＋hX33 34 ＝－N3 ＋hX34 44 ＝－N4 －N4 ＋X44
（1 ） （2 ）
其中 ， 系 统 （1 ） 通 过 状 态 反 馈 控 制 律 u （t ）＝Kx （t ） 来 控 制 ， 由 于系统中存在网络时延 ， 因此 ， 实际状态反馈控制律是 u （t ）＝Kx （t－h （t ））， 可以得到如下闭环网络控制系统 。
《 工业控制计算机 》2013 年第 26 卷第 5 期
4 11 ≥ * Ω＝ ≥ * ≥ * 4 X11 ≥ ≥ * ≥ Φ＝ * ≥ * ≥ * 4
12 N3 ＋hX13 14 4 22 * * hX23 33 * 24
T
X12 X13 X14 X22 X23 X24 * * *
T
X33 X34 * X44
T
* *
4 ＜0 4 34 4 44 4 N1 4 N2 4 N3 4 ≥0 4 N4 4 Z1 ＋Z2 4