距离之和最小

距离之和最小问题
一、教学目标
1.初步学会利用三角形、轴对称性质等知识，求线段和的最小值;
2.经历问题探究的过程，培养画示意图的习惯;
3.感受图形变换、转化、数形结合等思想方法，体验数学思考的严谨性；
4.学会用网络和信息技术手段获取知识，解决简单问题。

二、教学重难点
重点:1.求线段和的最小值；
2.感受数学思想方法。

难点:1. 网络和信息技术手段的应用；
2.理解利用轴对称的性质将折线段和的问题转化为求一条线段长的问题。

三、教学过程
1.创设情境、激发兴趣
请说出：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》头两句。

如果不熟悉，请从网络上获取。

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》头两句：白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。

诗中隐含着一个有趣的数学问题：
将军在观望烽火后从山脚下的点A出发，走到小河边的P处给马喝水后再到河岸对面的点B
拓展：将军在观望烽火后从山脚下的点A出发，走到小河边的P处给马喝水后再到河岸同侧的点B宿营，他怎么走才能使路程最短呢？
2.导入新课，明确模型
今天我们来学习如何解决中考数学中的
一类问题--距离之和最小问题.为了让大家
对距离之和最小问题有一个更充分的了解，
我们先从生活实际来感受一下这个问题的
本意。

若要在街道旁修建一个奶站，向居民
区A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，
才能使从A,B到它的距离之和最短?小聪根
据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图
Ｂ
Ａ
所示的平面直角坐标系，测得A 点的坐标为(0，3),Ｂ点的坐标为
（6,5）,求从A,B 两点到奶站距离之和的最小值。

那么，除去实际的背景，这个问题实际上可以描述为：已知两个定点A,B 和x 轴上的一个动点P ，求AP+BP 最小值问题。

3.合作探究，提炼方法
我们利用轴对称的性质以及两点之间线段最短的的性质，可将求折线段和的问题转化为求一条线段长的问题。

故我们选x 轴为对称轴，画出顶点A 的对称点 A ′，联结对称点 A ′与另一点B ，则交x 轴于点P 为所求动点。

构造Rt △BA ′D ，求BA ′的长即为AP+BP 的最小值。

原因:在x 轴上任取一点P ′，那么AP ′+BP ′必定＞A ′B(三角形两边之和大于第三边)， 只有当A ′PB 共线时，A ′P ′+BP ′=A ′B ，所以此时P 点为满足条件的点。

由此可得，BA ′2=BD 2+A ′D 2=102所以PA+PB=BA ′=10，从A,B 到奶站距离之和的最小值为10.
由此题教师引导学生总结出求线段和最小值的一般步骤:①选点P 所在直线l 为对称轴;②画出点A 的对称点A ′;③联结对称点A ′与B 之间的线段，则交直线l 于点P 即为所求。

4.构建模型，实现转化
（1）⊙O 中AB ⊥OC,P 为OC 上的动点，使PA+PD 最小
（2）N 为正方形ABCD 对角线AC 上的动点，使DN+MN 最小
（3）P 为正△ABC 的高AD 上的动点，使PE+PC 最小
（4）P 为菱形ABCD 对角线AC 上的动点，使PE+PB 最小
让学生思考，并动手画图。

5.举一反三、拓展思维
利用上面的结论，可以解决一些关联题，下面试举几例:
【例1】如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M,N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_____________.
M
B D A P N C
学生利用电子白板画图功能画出图形并解答。

以下同。

解析:利用菱形的对称性，在AD 上找出点M 关于AC 的对称点M＇(即AD 的中点)，连结M＇N 交AC 于P，则PM+PN的最小值为线段M＇N 的长，而M′,N分别为边AD、BC 的中点，故M＇N 的长等于菱形的边长5。

及菱形对称性的知识，让学生从四边形中理
解线段和最小值的求法。

【例2】如图，在直角坐标系中，
线段AB位于第一象限，在y 轴
和x轴上找两点P,Q，使A,B,P,
Q四点组成的四边形周长最小，
并说明理由。

解析:作B 关于y 轴的对称点B＇，则B＇(-5,2)，B＇P=BP。

那么，延长AB＇，交y轴于P点即为所求。

原因:在y 轴上任取一点P＇，那么B＇P＇-AP＇必定＜AB＇(三角形两边之差小于第三边)，只有当AB＇P 共线时，AP-B＇P=AB＇，所以此时P点为满足条件的点。

由此用AB的解析式就能求出P 的坐标是(-4，0)。

设计意图:通过前面例子的思考与分析，进行拓展，引导学生将四边形的另外三边看成两对折线，使学生进一步理解利用对称性求线段和最小值的问题。

【变式】以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA所在的直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，已知OA=3，OC=2，点E是AB 的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，点A落在BC边上的点F 处。

（1）直接写出点E、F的坐标; （2）在x轴，y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小?如果存在，求出周长的最小值;如果不存在，请说明理由。

解析:(1)E(3,1)，F(1,2) (2)存在点M、N，使得四边形MNFE 的周长最小.作点E关于x轴的对称点E＇，作点F 关于y 轴的对称点F＇，联结E＇F＇，分别交x轴于点M,N，则点M,N就是所求点.可求四边形MNFE的周长最小值
设计意图:通过前面例子的思考与分析，进行拓展，引导学生利用【例2】中的方法解决类似的中考题。

【拓展思维】已知点A的坐标为（-2,4），点B的坐标为（1,1），请在y轴上找到一点P，使︱PA-PB︱最大，并求出此时P点的坐标。

设计意图:通过前面例子的思考与分析，学生已基本学会利用轴对称的方法解决有关线段和最小值的问题，在此基础上，让学生进一步理解如何利用对称求线段差的最
小值，以发散学生思
6.回顾反思、加深印象
鼓励学生畅所欲言，总结本节课的知识内容，并谈谈在本节课中的收获及体会。

设计意图:经过上述教学活动，学生所获得的知识往往是零散的、不完整的，教师应让学生对本节课所学知识进行归纳小结，这便于学生形成自己的数学体系。

另外教学中注重培养学生的反思能力，不但能提高学生的学习效果，而且对学生以后的发展也能起到举足轻重的作用。

7.反馈练习，自我检测
正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC 上一动点.连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC 对称.连结ED交 AC于P，则PB+PE的最小值是多少？
8.布置作业，及时巩固
必做题:
1. ∠AOB=45°，P是∠AOB 内一点， PO=10，Q,R 分别是OA,OB上的动点，求△PQR周长的最小值。

2.在笔直的公路MN同旁有两个开发区A,B,已知AB=10 千米，直线AB与公路MN的夹角∠AON=30°，开发区B 到公路MN的距离 BC=3千米。

(1)求新开发区A 到公路MN的距离; (2)现从MN上某点P处向新开发区A,B修两条公路PB,PA,使点P到A,B的距离之和最短，请用尺规作图找出点P 的位置(不用证明，不写作法，保留作图痕迹)，并求出此时PB+PA的值。

3.已知:平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(-1，0)，（3,0），（0,3），过此三点的抛物线的对称轴为直线l,D为对称轴上一动点(1)求抛物线的解析式; (2)求当AD+CD最小时点D 的坐标;
选做题：
已知:平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，2），
（3,1），（1）求以A为顶点且经过B点的抛物线的解析式; (2)在x 轴，y轴上是否存在点C,D使得四边形ABCD的周长最短? 如果存在求出它的最短的周长，不存在说明理由。