高等数学下册习题课件：TK13三重积分

o
2
d
4 d
1 rcosr 2sindr x
1
0
00
1y
2
d
4sincosd
1 r 3dr2 1 1 .
0
0
0
44 8
4．计算三重积分 I ( x2 y2 )dV ，其中 是由
曲线
y2
2z
绕
z
轴旋转一周所成曲面与平面z2
，
x0 z8 所围成的区域。
z
解法 1：旋转曲面的方程为
z w 1
100 J ( x, y,z) 0 1 0 1 。
(u,v,w) 001
I ( x y z)2dxdydz(uvw3)2dudvdw
(u2 v2 w2 )dudvdw 2(uvvwuw)dudvdw
6(uvw)dudvdw 9dudvdw
(u2 v2 w2 )dudvdw12R3
解：设 D( x,0) ，B( x, y( x)) ，
y
y y(x)
B
A
即 AB 的方程为 y y( x) 。
o
Dx
又设旋转体为 ，密度 为 常数，则有
xdV
x
dV
，
而
dV
x
y
2
(
x
)dx
，
0
x
xdV0 xdx
dydz
x
xy
2
(
x)dx
，
0
D( x)
由题设知
x
xy
2
(
x
)dx
0
x
y
2
(
x
)dx
4 5
x
，
0
5 xty2(t)dt4x x y2(t)dt ，
8
x2 y22z ，
D( z )
{( x,y,z) 2z8, x2 y22z } ，
2
O
y
x
I
( x2 y2 )dV
8
dz
( x2 y2 )dxdy
2
D(z)
8 2
dz d
2z2d2
8
z
2dz336.
20
0
2
解法 2： I ( x2 y2 )dV
2
d
0
43d
0
8
2 dz
I
3 dx
3
3 x 2
dy
3x2
4x2 y2
x2 y2
f ( x, y,z)dz.
3
z
z 4 x2 y2
1
o
3
x
x2 y23z
y
3
（2）在柱面坐标系下，
{(,,z)
02, 0
2 3, z
42 },
3
I 02d0
3
4 2
d2
f
(cos ,sin,z )dz
。
3z
z 4 x2 y2
1
o
3
习题课二十七
1．设 I f ( x, y,z)dV ，其中是由 x2 y2 z24
பைடு நூலகம்
和 x2 y23z 围成的区域，试在直角坐标系、柱面坐
标系和球面坐标系下分别将 I 化为三次积分。
z
z 4 x2 y2
1
o
3
x
x2 y23z
y
3
解：（1）在直角坐标系下，
在 xoy 面上的投影区域为 Dxy {( x, y) x2 y2 3} 。
00
0
z
z 3( x2 y2 )
在球面坐标系下的三次积分为
o
x
I
d
0
2d
6
sin
sin f (r)r 2sindr 。
0
x2 y y2
1y
3．计算三重积分 I ( xz)dV ，其中 是由曲面
z x2 y2 与 z 1 x2 y2 所围成的区域。 z
解： I(xz)dV xdVzdV
1
zdV
R z(R2z2 )dz
h
0
R2h2 1R4 .
2
4
由 zdv0 ，得 R2h2 1R4 0h 2 R.
2
4
2
故当 h 2 R 时，整个球柱体的重心恰好落在球心上。 2
8. 求曲线 AB 的方程，使图形 OABD 绕 x 轴旋转所生
成的旋转体的形心的横坐标等于曲线上任一点 B 的
横坐标的4 。 5
2d
0
2
s
3
3cos
ind sin2 0
f
(rs incos,rs ins in,rcos)r 2dr
2．将直角坐标系下的三次积分
1
I dy
y y2
dx
3( x2 y2 )
f(
x2 y2z2 )dz ，
0 y y2 0
分别化为柱面坐标系和球面坐标系下的三次积分。
解：对应的三重积分区域
2
2
I
d
V
2
2
d0d03
a
2
si
ncos
abcr2
s
indr
1 3
a3bc
22cosd0s
in2
d
1a3bc2 a3bc.
3
23
7．在密度为 1 的半球体0 z R2x2 y2 的底面接上 一个相同材料的柱体：h z0 ， x2 y2 R2(h0) ，
试确定 h 的值，使整个球柱体的重心恰好落在球心上。
解：设整个球柱体Ω的重心为( x, y, z ) ， z
由对称性知 x y0 。
zdv
令 z
0,
dv
o
y
x
得 zdv zdv0.
0
R
zdvh dz zdxdy0 dz zdxdy
x2 y2R2
x2 y2R2z2
0
R
zdz h
dxdy0 zdz
dxdy
x2 y2R2
x2 y2R2z2
0
zR2dz
y2 b2
z2 c2
)2
ax
（ a 0,b 0,c 0
）
所围成的体积 V。
xarsincos
解：作广义球面坐标变换
y
brs
ins
in
，
J abcr 2sin ，
zcrcos
曲面方程
(
x2 a2
y2 b2
z2 c2
)2 ax
化为r 4 a2rsincos
，
r 3 a2sincos.
由 cos0 。
02d
0 s
ind0Rr
4dr1
2R3
4 5
R5
12R3
.
或由轮换对称性知
u2dudvdw v2dudvdw w2dudvdw,
故 (u2 v2 w2 )dudvdw3 w2dudvdw
3RRw2dw dudv D(w)
3RRw
2
(
R2
w
2
)dw
4R5 5
.
6．利用广义球面坐标变换计算曲面
(
x2 a2
:( x, y,z) y y2 x y y2, 0 y1, 0 z 3( x2 y2 ),
上顶为锥面 z 3( x2 y2 ) ，
下底为平面z0 上的圆，
侧面为圆柱 x2 y y2 即 x2( y 1 )2( 1 )2 。 22
在柱面坐标系下的三次积分为
sin
I d d
3
f(
2 z2 )dz ；
x
x2 y23z
y
3
（3）在球面坐标系下，12 ，
1 {(r,,)
02,
0 , 3
0 r 2}
3cos
2 {(r,,)
02,
, 32
0r sin2 }
I f ( x,y,z)dV f ( x, y,z)dV f ( x,y,z)dV
1
2
02d03sind02 f (rsincos,rsinsin,rcos)r 2dr
2
d
0
23d
0
2
2 dz
2
2
336.
解法 3： I ( x2 y2 )dV
2
d
0
43d
2
8
2 dz
2
d
0
2
3d
0
8
dz
2
2
28848336.
5．求 I ( x y z)2dV ，其中
：( x1)2 ( y1)2 (z1)2 R2 。
xu1
解：令
yv1
，则
：
u2
v
2
w
2
R2
，