第六章定积分的几何应用

a
计算时应注意积分限在换元中应保持与原积
分限相对应。
例3
求椭圆
x a cos
y
b sin
(0 2 )的面积
解 由对称性 面积A等于椭圆在第一象限内的 部分的面积的4倍
a
即 A 4 ydx
0
0
4 absin2d ab 2
例4 设 f ( x ) 在 [ a ,b ] 上连续，在 ( a, b ) 内有
所围成的图形的面积
解 为确定图形的存在区间
由联立方程组解得交点 A（-1，1） B（1，1）
故
x
A
[1,1]
1
(
1
2 x2
x 1
2 2
1
x
x2 )dx
2
(2arctan
x
1 3
x
3
)
1 1
2 3
例2 计算 y2 2x y x 4 所围图形的面积
解 首先定出图形所在的范围
y2 2 x 解得交点为（2，-2）和（8，4） y x4
定积分的几何应用
一、平面图形的面积
1 直角坐标系 作为一般情况讨论，设平面图形由 [ a , b ]
上连续的两条曲线 y = f ( x ) 与 y = g ( x ) ( f (x) g(x)) 及两条直线 x =a ,x =b 所围成 在 [a ,b ] 上任取典型小区间 [ x ,x+dx ]
而是由射线 与 及曲线r r( )
所围成的称为曲边扇形的区域
由于曲边扇形的面积分布 与有关 当d很小时 r( )的变化不大
A 可用半径为 r( ) 圆心角为 d
的圆扇形的面积来近似 故面积元素为
dA 1 r 2( )d
2
A 1 r 2( )d 2
d r r( )
d
y
设曲线弧为 y f (x)
(a x b)，其中 f (x)
在[a, b]上有一阶连续导数
dy
取积分变量为x ，在[a,b] 上任取小区间[ x, x dx]，
o a x x dxb x
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长 (dx)2 (dy)2 1 y2dx
弧长元素 ds 1 y2dx 弧长 s b 1 y2dx. a
与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量dA
当 dx 很小时
dA 可用高为f (x) g(x)
底为 dx 的矩形面积
近似表示 即
dA [ f (x) g(x)]dx
b
故 A [ f (x) g(x)]dx
a
y f (x)
y g(x)
x x dx
a
b
例1
求两曲线
y
2 x2
1
y x2
a
故由零点定理知
(a,b)
使F ( ) 0
又
F(t) f (t)(t a 3b 3t) f (t)(b a 2(b t)) 0
故 唯一
2 极坐标系
某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的
若曲线由极坐标方程 r r( ),( ) 给出
极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形
个端点，在弧上插入分点
A M0 , M1,Mi ,
M2 M1
M n1 B Mn
, Mn1, Mn B
A M0
o
x
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目
无限增加且每个小弧段都缩向一点时，
n
此折线的长 | M i1M i |的极限存在，则称此极限为
i 1
曲线弧AB 的弧长.
①直角坐标情形
例
7
计算曲线
y
2
3
x 2上相应于
x
从a到b
3
的一段弧的长度.
解
y
1
x2,
ds
1
(
x
1 2
)2
dx
所求弧长为
s
b
a
1 xdx
2[(1
3
b)2
(1
3
a)2 ].
3
a
b
x
例 8 计算曲线 y n n sin d 的弧长(0 x n). 0
x 1 y2, x y 4
2
A
4 ( y 4 1 y2 )dy 18
2
2
由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体
特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使 计算简化
上述问题的一般情况是
d
平面区域由 [c,d] 上连续的曲线y dy
x ( y), x ( y)
y
(( y) ( y))
若取 x 为积分变量 在 [x,x+dx] 上取部分量
则对于 x 的不同值 局部量的位置不同 其 上、下曲边有多种情况运用上述公式计算 较为复杂
如下图
但若将这一面积看作是分布在区间 [ -2，4] 上 以 y 为变量计算将会简单
在[-2,4] 上任取一小区间 [ y, y dy]
其上相应的窄条左、右曲边分别为
S2 S1
令
t
F(t) [ f (t)
b
f ( x)]dx 3[ f ( x)
f (t)]dx
a
t
t
b
则F(t) f (t)(t a) f ( x)dx 3 f ( x)dx 3 f (t)(b t)
b
a
t
F (a) 3[ f ( x) f (a)]dx 0
a b
F (b) [ f (b) f ( x)]dx 0
例 5 求双纽线 2 a2 cos 2 所围平面图形
的面积.
解 由对称性知总面 积=4倍第一象限 部分面积
A 4A1
A 4 4 0
1 a2 cos2d
2
a2.
y x
2 a2 cos 2
例 6 求心形线r a(1 cos )所围平面图形的
面积(a 0).
d
解 dA 1 a2(1 cos )2d
2
利用对称性知
A 2 1 a2 (1 cos )2d 20
a2
(1 2cos cos2 )d
0
a
2
3
2
2 sin
1 sin 2
4
0
3 a2. 2
通过以上几例可见在实际计算中应
充分利用所求量的对称性和等量关系来 简化计算。
二、平面曲线弧长的概念
设 A、B 是曲线弧上的两 y
f (x) 0 证明 存在唯一的 (a,b)
使曲线 f（x ）与两直线 x a y f ( )
所围图形的面积 S1 是 y = f ( x ) 与两直线 x b y f ( ) 所围图形面积 S2 的3倍
证
S1 [ f ( ) f (x)]dx
f ( )
a b
S2 [ f (x) f ( )]dx
及直线y = c ,y = d 所围成
c x (y)
d
则其面积为 A [ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y) ( y)]dy
c
x ( y)
当直角坐标系下的平面区域的边界曲线
由参数方程的形式给出时，只须对面积计算 公式作变量代换即可。
x (t)
y
(t
)
( t )
b
A ydx | (t)(t)dt |