第二章2：可控性

§2-2 线性系统的可控性
一、可控性的定义及判别定理
1.可控性的定义
定义2-3:若对状态空间的任一非零状态 x(t0)，都存 在一个有限时刻 t1>t0 和一个容许控制 u[t0, t1]，能在 t1时刻使状态 x(t0) 转移到零，则称状态方程
x& A(t)x B(t)u
(2 7)
在t0时刻是可控的。反之称为在 t0 时刻不可控。
1
)
e
t
1
e
t
0
f1
f2
可采用前一节介绍的方法来判断 f1 和 f2 的线性相关性。
3. 可控性的一个实用判据
为了应用定理2—4，必须计算
x&= A(t)x
的状态转移矩阵(t,t0 )，这是一件困难的工作。
假定A(t),B(t)是(n 1)次连续可微的，定义矩阵 序列 M0, M1, …, Mn1如下：
1. 注意到Φ(t0, )B( )的n行在[t0,t1]上线性无关
t1
W(t0,t1) Φ(t0, t )B(t )B* (t )Φ* (t0, t )dt
t0
(2-8)
为非奇异。
2. 对于任给的 x(t0)，构造如下控制输入
u (t ) B * (t )Φ * (t 0 ,t )W1(t 0,t1)x (t 0 )
骣ççççççççç桫--021t ÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ =
2. 可控性的一般判别准则
直接利用定义判断系统可控很不方便，故 需要研究判别系统可控性的一般准则。
定理2-4状态方程
x& A(t )x B(t )u
(2 7)
在t0可控，必要且只要存在一个有限时间 t1>t0，使 矩阵 Φ(t0, )B( ) 的 n个行在[t0, t1]上线性无关。
证明：充分性。证明是构造性的，思路如下：
证完。
例2—7 讨论如下系统的可控性：
骣 珑 珑 珑 珑 珑 珑 珑 珑 珑 桫xxx&&&213 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢 鼢= 骣 çççççççççç桫00t
1 t 0
0 0 t2
÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷
骣 çççççççç桫xxx213
÷÷÷÷÷÷÷÷÷ +
骣0 1 桫1
u
直接计算得到：
rank[M0 (t1 ) M1(t1 ) L Mn - 1(t1 )] = n
则状态方程在t0 时刻可控。 证明：
只要证明存在一个t1>t0，使得
Φ(t0,t )B(t )t [t0,t1]
行线性无关就可以了。而根据定理2-2，若能找到 一个t1>t0，使得
[F (t0,t1)B(t1)
抖F (t0,t)B(t)
矛盾。 证完。
推论2-4 状态方程（2-7）在t0可控的充分必要条件是 存在有限时刻 t1>t0 使得W(t0, t1) 为非奇异。
证明：直接利用定理2-1。 通常将式（2-8）式所定义的矩阵W(t0, t1) 称为可
控性Gram矩阵，或简称为可控性矩阵。
例：讨论如下系统在任意时刻t0的可控性:
x&
又由于方程在t0时刻可控，当取x(t0)= * 时，存在有
限时刻t1>t0和u[to, t1],使x(t1)=0，即
t1
x (t1) Φ(t1,t0 )[a * Φ(t0, t )B(t )u (t )dt ] 0
t0
t1
a Φ(t0,t )B(t )u (t )dt
t0
aa 0a 0
2. 与可控概念相反，只要存在一个非零初态 x(t0) ，无论t1取多大，都不能找到一个容许控制将这 个状态 x(t0)控制到 x(t1)=0，这时称系统在t0是 不可控的。
3. 这里所定义的可控性有时称为到达原点的可控 性。定义2-3所阐述的到达原点的可控性与状态 空间的任何状态转移到另一任意状态是等价的 （见习题2—3）。
¶t
t = t1
L
n
-
1F (t0,t)B(t ) ¶tn- 1
t
=
t1
]
= F (t0,t1)[M0(t1) M1(t1) L Mn - 1(t1)]
的秩是 n 就可以了。由
rank[M0(t1) M1(t1) L Mn - 1(t1)] = n
有 (t0, )B( )在[t0, t1]上行线性无关。
0 0
0 1
1
x
e
2t
u
(I)，
0 0 1
x& 0
1
x
e
t
u
(II)
由L1
s 0
0 1
1
s 1
(t
,
t0
)
0
0
e
(t
t 0
)
故
1
(t 0
,
t
)b1 (t
)
0
0 e (t0 t
)
1
e
2t
1
e
t
0
e
t
f1
f2
1
(t 0
,
t
)b2
(t
)
0
0 e (t0 t
t [t0,t1] (2 9)
可以证明，(2-9)式所定义的u(t)能在 t1 时刻将x(t0) 转移到 x(t1)=0。
必要性。反证法。
设在t0时刻方程可控，但对任何t1>t0, Φ(t0, )B( )
在 [t0，t1]上都是线性相关的，
a 0，a Φ(t0,t )B(t ) 0t [t0,t1]
M0(t ) = B(t)
Mk (t )
=
-
A(t )Mk - 1(t ) +
dMk - 1(t ) dt
易于验证，以上矩阵序列满足：
k = 1, 2,L , n - 1
¶ k (t0,t )B(t ) ¶tk
=
(t0,t )Mk (t )
定理2—5 设状态方程dx/dt=A(t)x+Bu中的矩阵A(t), B(t) 是(n 1)次连续可微的。若存在有限时间t1>t0,使得
M0 (t )
百度文库
=
B(t )
=
骣ççççççççç桫110 ÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷
M1(t )
=
-
A(t )M0 (t ) +
d dt
M0 (t )
=
骣çççççççççç桫---
1 t t2
÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷
M2 (t )
=
-
A(t )M1(t ) +
d dt M1(t )
=
骣珑珑珑珑çççççç桫tt224t ÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷+
例2-4: 考虑由如下网络组成的系统：
+
1 1 y
+
x
_
u_
+_
1 1
令初始时刻电容两端的电压x(t0)不为零，则网络 的对称性使得无论施加何种控制均无法在有限时
刻t1使x(t1)=0。根据以上定义，系统在t0不可控。
说明如下：
1. 定义仅要求输入 u 能在有限时间内将状态空间 中任何初态转移到零状态，至于状态遵循什么 轨迹转移则并未指定；而且对输入除了容许控 制之外也未对其幅值加以任何限制，这种不加 限制的控制称为无约束容许控制。