自动控制原理详解

法则2：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点或无穷远。6
例4-2 已知控制系统的开环传递函数为
G
s
H
(s)
s
s
K
1 s
5
试确定根轨迹的分支数、起点和终点，实轴上的根轨迹段，
渐近线与实轴的交点及夹角。
j
p3
5
p2 p1
2 1 0
图4-5 例4-2题图
7
法则6：根轨迹的分离点和会合点。
若两条根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，称该点为
K 0 2
K 0.5 K 0
1
0
K 1
1
K 2.5
2
K
图4-2 上述系统的根轨迹
2
4.1.2 根轨迹方程
根轨迹方程
m
(s zi )
G(s)H (s) K*
i 1 n
1
(s pj )
j 1
R(s)
-
G(s) C(s) H(s)
幅值方程为：
m
K* s zi
i 1 n
1
ห้องสมุดไป่ตู้
s pj
n 1 0
i1 d pi 9
法则7：根轨迹与虚轴的交点。 求解根轨迹与虚轴交点的方法： 设与虚轴相交的闭环极点为
s, j
代入闭环特征方程得：
1 G(s)H(s) 0 1 G( j)H( j) 0
解方程即可得到 K值 和 值。
例4-3 在例4-2中，试确定根轨迹的分离点或会合点、分离角以
及其与虚轴的交点，并概略绘制根轨迹图。
G
s
H
(s)
s
s
K
1 s
5
10
j
K 30 5
p3
5
p2
2 1
p1 0
0.47
5 K 30
图4-6 例4-3图
11
例4-4 已知系统开环传递函数为
G
s
H
(s)
K s s 1s
3 2
，试绘制系统的概略根轨迹。
j
4.41
z1 p2
p1
3 2 1
1.59
0
图4-7 例4-4题图
12
法则8：根轨迹的出射角和入射角。 (1)出射角：
根轨迹的分离点或会合点。
(1) 求解分离点或会合点方法 现假设系统的开环传递函数为：G(s)H (s) KB(s)
A(s) A' (s)B(s) A(s)B' (s)
求解根轨迹的分离点或会合点。
(2) 分离点(或会合点)处根轨迹的切线与正实轴的夹角 d
d
180 l
其中，l 为相分离的根轨迹分支数。
j1
i 1
nm
5
4.2 根轨迹绘制的基本法则
4.2.1 绘制根轨迹的基本法则
法则1：开环极点之和与闭环极点之和在
n
n
即
sj pj
j 1
j 1
式中 s表j 示闭环极点， p j 表示开环极点。
条件下相等。
例4-1
已知系统的开环传递函数：
Gs
H (s)
s
s
K
1 s
2
根轨迹与虚轴的交点为
试求其相应的第三个闭环极点，并求交点处的临界根轨迹增益K。
第4章 线性系统根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念 4.2 根轨迹绘制的基本法则
1
4.1 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹的概念
根轨迹简称根迹,它是开环系统某一参数从零变到无穷时,
闭环系统特征方程的根(即闭环极点)在 s 平面上运动的轨迹。
Rs
-
K
C s
s0.5s 1
j
K
K 2.5
2
K 1
1
图4-1 系统结构图
(2)入射角：
特殊：在实轴上的根轨迹的出射角与入射角为00或±1800
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开环零、极点分布及相应的根轨迹图例
j
j
j
0
0
0
j
0
j
0
j
0
j
0
j
0
j
j
j
j
0
0
0
0
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4.2.2 闭环系统零、极点与时间响应性能的关系 在根轨迹图中，可以得出以下闭环零极点与时间响应性能的关系：
注意:求解的结果需判断是否在根轨迹上,若不是,应舍去.
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法则6* ：根轨迹的分离点和会合点。
分离点的坐标 d 是下列分离方程的解
m
1
n
1
i1 d z j1 d p
i
j
式中 , zi为各开环零点的数值 ; pj为各开环极点的数值 .
一般用试凑法从上式中求取 d .
注意 :如果开环系统无有限零点 , 则分离方程 变为
3. 根据系统开环零、极点在s平面上的分布，按照根轨迹绘图 法则，便可概略绘制系统的根轨迹。
4. 由根轨迹图可以比较直观地分析闭环系统的性能。根据根
轨迹，既可以了解系统参数的变化对性能的影响，又能按
照指定的K值，求得相应的闭环极点；还能按照系统的性
能指标要求，确定对应的闭环极点和K值。
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j 1
图4-3 系统结构图
相角方程为：
m
(s
zi
)
n
(s
pj
)
(2k
1)
(k 0, 1, 2,L )
i 1
j 1
3
法则3：根轨迹对称于实轴；n阶系统有n条根轨迹。
法则4：实轴上的根轨迹段。
对于实轴上零、极点之间的某一区域，其右侧实轴上所有
的开环零、极点个数之和是奇数，则该区域一定是实轴上的
根轨迹段。
z2
j
2
p2
2
4
1
p4
z1
1
s1
p 1
3
3
p3
z3
4
图4-4 系统的开环零、极点分布
法则5：根轨迹的渐近线。
当 n 时 m，有 条n根 m轨迹趋于无穷远处，
其渐近线由下面两式确定：
渐近线与实轴的夹角：
(2k 1)
nm
(k 0,1, 2,L , n m 1)
渐近线与实轴的交点：
n
m
pj zi
(1)稳定性 (2)运动形式 (3)超调量 (4)调节时间 (5)实数零、极点的影响 (6)主导极点
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本章小结
1. 所谓根轨迹是指开环传递函数中的某一参数从零变化到无 穷时,闭环系统特征方程的根(闭环极点)在 s 平面上运动的 轨迹。
2. 根轨迹方程是绘制根轨迹图的依据。幅值方程是求解根轨 迹的充分条件，相角方程是求解根轨迹的充分必要条件。