第四节、隐函数求导

称此为由参数方程所确定的函数. 称此为由参数方程所确定的函数.
x = 2t, x 例如 消去参数 t t= 2 y = t , 2 2 x2 x 1 2 ∴y = t = ( ) = ∴ y′ = x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消去参数时如何求导? 问题: 消参困难或无法消去参数时如何求导
sec4 t sec t d ( tant ) 1 = = = 2 dx 3acos t sin t 3asint dt
2
dt
dy x = arctan t 例4 设 确定函数y = y( x), 求 . 2 t dx 2 y t y + e = 5
解
dy dy dt 2 dy = (1 + t ) = dt dx dx dt
1 ∴ y′ = y(cos x ln x + sin x ) x sin x sin x ) = x (cos x ln x + x
一般地
f ( x) = u( x)v( x) (u( x) > 0)
∵ ln f ( x) = v( x) lnu( x)
上式两边对x 上式两边对 求导得
注意 d 1 d ln f ( x) = f ( x) dx f ( x) dx
二,对数求导法
( x + 1)3 x 1 , 观察函数 y = 2 x ( x + 4) e
方法: 方法: 先在方程两边取对数, 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. 方法求出导数 --------对数求导法 对数求导法 适用范围: 根式函数, 适用范围: 根式函数,
y = xsin x .
代入上式 y + x dy e x + e y dy = 0
dy e x y 解得 , 由原方程知 x = 0, y = 0, = y dx x + e dy ex y = 1. ∴ x=0 = x=0 dx x + e y y=0
dx dx
例2 设曲线 的方程为x3 + y3 = 3xy,求在C上 C 3 3 ( , C 点 , )的切线方程 并证明曲线 在该点的法 2 2 线通过原点. 解 方程两边对 求导 3x2 + 3 y2 y′ = 3 y + 3xy′ x ,
dx 1 , = 2 dt 1 + t
用第二个方程用隐函数求导法求
dy dt
dy dy 2 2 ( y + t 2y ) + et = 0, dt dt
dy ( y e )(1 + t ) . = dx 2(1 t y)
2 t 2
dy y2 et = , dt 2(1 t y)
2
d y 课外练习: 求 2 . dx
第四节 隐函数及由参数方程所确 定的函数的导数 相关变化率
一,隐函数的导数 二,对数求导法 三,由参数方程所确定的函数的导数 四,相关变化率 五,小结 思考题
一,隐函数的导数
为显函数. y = esin x 为显函数. 称形如 y = ln(1 + 1 x ) ,
2
其特点是:方程左边是因变量, 其特点是:方程左边是因变量,而右边则是含 有自变量的一个表达式. 有自变量的一个表达式.
由原方程知 x = 0时, y = 1,
dy dy 1 ) = 0 + 0 (0 + + cos 0 dx x=0 dx x=0 0 +1
dy =1 dx x=0
d2 y 1 5 例 求由方程 x y + sin y = 0所确定的隐函数的二阶 导数 2 . 2 dx
解 方程两边对 求导得 注意 y = y (x) x
∴ y′
33 ( , ) 22
y x2 = 2 y x
33 ( , ) 22
= 1.
3 3 所求切线方程为 y = ( x ) 即 x + y 3 = 0. 2 2 3 3 显然通过原点. 法线方程为 y = x 即 y = x, 显然通过原点 2 2
例3 设 x4 xy + y4 = 1, 求 ′′在点(0,1)处的值. y 解 方程两边对 求导得 x
数 多个函数相乘和幂指函 u( x)
源自文库
v( x)
的情形.
1 (ln | x + a | )′ = 1 . 一个有用的公式: 一个有用的公式: (ln | x | )′ = , x +a x
( x + 1)3 x 1 例1 设 y = , 求y′. 2 x ( x + 4) e
解 等式两边先取绝对值,再取对数得 等式两边先取绝对值,
dy a sin t sint dy dt = 解 = = dx dx a a cos t 1 cos t dt π sin dy 2 = 1. = ∴ π dx t =π 2 1 cos 2 π π 当t = 时, x = a( 1), y = a. 所求切线方程为 2 2
y a = x a( 1) 2
x + y3 1 = 0 而方程
同样 e y + x y e = 0 称之为隐函数
确定了一个 y 关于 x 函数 也确定了一个 y 关于 x 函数
一般地, 一般地,由方程 F( x, y) = 0 在一定条件下所确定 的函数 y = y (x),称之为隐函数. ,称之为隐函数.
有些隐函数可以显化,如方程 有些隐函数可以显化,
( x +1)3 x 1 ( x +1) x 1 ln | y | =ln| |, | y | =| |, 2 x 2 x ( x + 4) e ( x + 4) e
3
1 ln | y |= ln | x +1| + ln | x 1| 2ln | x + 4 | x 3 d ln | y | d ln | y | dy 1 dy 上式两边对x 上式两边对 求导得 注意: = =
f ′( x) v( x)u′( x) ∴ = v′( x) ln u( x) + f ( x) u( x)
∴ f ′( x) = u( x)
v( x )
v( x)u′( x) [v′( x) lnu( x) + ] u( x)
三,由参数方程所确定的函数的导数
x = (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系, y =ψ (t )
1 1 代入 x = 0, y = 1, y′ x=0 = 得 y′′ x=0 = . 16 4 y=1 y=1
dy 4 例 设 ln( x + y) = x y + sin x, 求 dx x=0
2 3
解 方程两边对 求导得 x
1 d dy ( x2 + y) = 3x2 y + x3 + cos x 2 dx x + y dx 1 dy dy (2x + ) = 3x2 y + x3 + cos x 2 dx dx x +y
例1 求由方程 xy e x + e y = 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
解
x=0
.
x , 方程两边对 求导 注意 y = y (x) d d d ( xy) e x + e y = 0 dx dx dx d dy d x d y d y dy x y dy (xy ( xy) = y + x , e =e , e = (e ) =e dx dx dx dx dy dx dx
dy 1 ( x 1)( x 2) 1 1 1 1 [ ] ∴ = + dx 2 ( x 3)( x 4) x 1 x 2 x 3 x 4
例3 设 y = xsin x ( x > 0), 求y′. 解 等式两边取对数得 ln y = sin x ln x
x 上式两边对 求导得
1 1 y′ = cos x ln x + sin x y x
ψ ′′(t )′(t ) ψ ′(t )′′(t ) 1 = dx ′2 (t )
dt
ψ′′(t )′(t ) ψ′(t )′′(t ) 1 = 2 ′ (t ) ′(t )
d 2 y ψ′′(t )′(t ) ψ′(t )′′(t ) . 即 = 2 3 dx ′ (t )
π x = a(t sint ) 例1 求摆线 在t = 处的切线方程. 2 y = a(1 cos t )
4x3 y xy′ + 4 y3 y′ = 0
代入 x = 0, y = 1得
1 y′ x=0 = ; 4 y=1
(1)
x 将方程(1)两边再对 求导得
12x2 y′ ( y′ + x y′′) + 4(3y2 y′ y′ + y3 y′′) = 0
12x2 2 y′ xy′′ + 12 y2 ( y′)2 + 4 y3 y′′ = 0
π
即 y = x + a(2 ) 2
π
x = acos3 t 例2 求由方程 . 表示的函数的二阶导数 3 y = asin t dy dy dt 3a sin2 t cos t = = = tant 解 2 dx dx 3a cos t( sin t ) dt d 2 y d dy = d (tant ) = d ( tant ) dt = ( ) 2 dx dt dx dx dx dx
解 等式两边取对数得
1 ( x 1)( x 2) ln y = ln 2 ( x 3)( x 4)
1 = [ ln | x 1 | + ln | x 2 | ln | x 3 | ln | x 4 | ] 2 dln y d ln y dy 1 dy 上式两边对x 上式两边对 求导得 注意: = = dx d y dx y dx 1 dy 1 1 1 1 1 = [ ] + y dx 2 x 1 x 2 x 3 x 4
x = (t ) , 在方程 中 设 x = (t ), y =ψ (t ) 都可导 , y =ψ (t )
且′(t ) ≠ 0 .
设函数x = (t )具有单调连续的反函数 t = ( x),
1
∴ y =ψ (t), t = 1( x). y =ψ[ 1( x)]
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ψ ′(t ) = = = dx dt dx dt dx ′(t ) dt
dy dy dt 即 = dx dx dt
x = (t ) , 若函数 二阶可导 y = ψ(t )
d ψ′(t ) dt d ψ ′(t ) d 2 y d dy )= ( ) = ( )= ( 2 dt ′(t ) dx dx ′(t ) dx dx dx
x + y3 1 = 0
y = 3 1 x
有些则不能, 有些则不能,如方程 e y + x y e = 0 问题:隐函数不易显化或不能显化时如何求导 问题 隐函数不易显化或不能显化时如何求导? 隐函数不易显化或不能显化时如何求导 隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
dy 1 dy x + cos y = 0 dx 2 dx dy 2 = dx 2 cos y
注意: 注意:
解得
dsin y ≠ cos y. dx dsin y dsin y d y = dx d y dx dy = cos y dx
求导, 上式两边在对 x 求导,得
d(2 cos y) d cos y 2 2 2 d y dx dx = = 2 2 dx (2 cos y) (2 cos y)2 dy 2 sin y dx = 4 sin y = (2 cos y)3 (2 cos y)2
四,相关变化率
设x = x(t )及 y = y(t )都是t 的可导函数, 而变量x与 y之间存在某种关系 : F( x, y) = 0 dx dy 从而它们的变化率 与 之间也存在一定关系, dt dt 这样两个相互依赖的变 化率称为相关变化率 .
相关变化率问题: 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率
dx dy 1 dy 1 1 1 2 = + 1 y dx x + 1 3 x 1 x + 4 dx
y dx
dy ( x +1)3 x 1 1 1 2 [ ∴ = + 1] 2 x dx x +1 3( x 1) x + 4 ( x + 4) e
( x 1)( x 2) dy 例2 设 y = ,求 . ( x 3)( x 4) dx