欧拉图和哈密顿图

例如，由定理可知，下图 (a)图为欧拉图，本图 既v成圈8 可圈画v6之v以在1并(看vc2)(成v中为3 圈v)清。4 vv晰1将5v起v2(6av见v)87分v，v1解8，将v成1v与42若个v圈3干圈vv42个画vv24边在，v6不(vb4v)8重v中5v2的v)之6，圈v并也4，的(可两v并6看个v7 不是(a)图特有性质，任何欧拉图都有这个性质。
尽管讨论哈密顿通路和哈密顿回路在形式上与欧
拉通路和欧拉回路非常相似，但遗憾的是到目前为止， 仍然没有找到一个合适的条件来作为判断哈密顿通路 或哈密顿回路存在的充要条件。不过，可以给出哈密 顿通路和哈密顿回路存在的充分条件或必要条件。
定理9.2.1设无向图G=<V, 的任意非空子集，则
E>是哈密顿图，V1是V
下面给出一些哈密顿图的充分条件。
定理9.2.2设G=<V, E>是具有n个节点的简单无向图，若
对任意的u, v∈V均有
deg(v) +deg(u) ≥n－1
则G中存在哈密顿通路。
容易看出，定理9.2.2中的条件对图中是否存在哈密顿路 是充分而不必要的。
如图9.2.6所示的六边形G，虽然任意两个节点度数之和 等于4<6-1(n=6)，但G中却显然有哈密顿路（实际上G是哈密 顿图）。
只要数一下图中节点的度数即可。
❖ 9.1.4 欧拉图的应用 一笔画问题 所谓“一笔画问题”就是画一个图形，笔不离纸，每条 边只画一次而不许重复地画完该图。“一笔画问题”本质上 就是一个无向图是否存在欧拉通路（回路）的问题。如果该 图为欧拉图，则能够一笔画完该图，并且笔又回到出发点； 如果该图只存在欧拉通路，则能够一笔画完该图，但笔回不 到出发点；如果该图中不存在欧拉通路，则不能一笔画完该 图。
在下图中，它所对应的无向图中含完全图K5， 由定理9.2.5知，图中含有哈密顿通路。事实上，通 路v3 v5 v4 v2 v1是一条哈密顿通路。
v1
v2
v5
v3 v4
这里介绍一种特殊的有向图——竞赛图的哈密顿问题。 定义9.2.3 完全图的有向图称为竞赛图。
（a）
（b）
（c）
（d）
图 9.2.15
规定：平凡图是欧拉图。 以上定义既适合无向图，又适合有向图。 例9.1.1 判断下图的6个图中，是否是欧拉图？是否存在欧拉通路。
v1
v4
v1
v4v1v4v2 Nhomakorabeav3
(a)
v1
v4
v2
v3
(b)
v1
v4
v2
v3
(c)
v1
v4
v2 (d) v3
v2 (e) v3
v2 (f) v3
分析：如果说图中存在欧拉通路（回路）， 具体找出一条经过图中每边一次且仅一次的通路 (回路)即可；如果说图中不存在欧拉通路(回路)， 则要试遍了边的所有全排列，它们都不能构成通 路（回路）。
9.2 哈密顿图
❖ 9.2.1 哈密顿图的引入和定义
1859年威廉哈密顿爵士发明了一个小玩具，这 个小玩具是一个木刻的正十二面体，每面系正五角 形，三面交于一角，共有20个角，每角标有世界上 一个重要城市，如图9.2.1所示。他提出一个问题： 要求沿正十二面体的边寻找一条路通过20个城市， 而每个城市只通过一次，最后返回原地。哈密顿将 此问题称为周游世界问题。
在这样的比赛中，总可以排出一个次序， 使得第一名打败第二名，第二名打败第三名。
❖ 9.2.3 哈密顿图的难点
对于哈密顿图，需要注意以下几点：
1．仅有哈密顿通路而无哈密顿回路的图不是哈密顿图。
2. 还没有判断图中是否存在哈密顿通路、哈密顿回路的简
单判定定理，只能对节点较少的图凭经验判定。
3. 在哈密顿图中有些定理仅是判别的必要条件，必要条件 正方面的叙述无法用来判断一个图是否是哈密顿图，此时该 定理是毫无用处的，但必要条件的等价逆否命题却非常重要， 可以用来判断一个图不是哈密顿图。
这一定理启发引进下述定义，即所谓G的闭包。 定义9.2.2 G具有个n顶点，在G中，逐一连接其度数之 和至少是n的非邻接顶点对，直到不再有这样的顶点对时为 止，这样得到的图称为G的闭包，记作C(G)。 可以证明G的闭包是唯一的。
图9.2.7给出了从G构造C(G)的过程。
图 9.2.7
定理9.2.4 无向图G=<V, E>是哈密顿图，当且仅当G的 闭包C(G)是哈密顿图。
9.2.4 哈密顿图的应用 1. 巡回售货员问题 巡回售货员问题也称为货郎担问题。有一个售货员，从
他所在城市出发去访问n－1个城市，要求经过每个城市恰好
一次，然后返回原地，问他的旅行路线怎样安排才最经济 （即线路最短）？
v5 v6
v7
v2
v3
例9.2.2 证明图9.2.4(a)中不存在哈密顿回路。
a
a
d
igh
igh
e
f
b
c
b
c
（a ）
（b）
图 9.2.4
分析：利用定理9.2.1的逆否命题，寻找V的某个非空子
集满V足1使要得求p。(G－V1)>|V1|，则G不是哈密顿图。找到V1={d, e, f}
证明：在图9.2.4(a)中，删除节点子集{d, e, f}，得图 9.2.4(b)，它的连通分支为4个，由定理9.2.1知，图9.2.4(a)不 是哈密顿图，因而不会存在哈密顿回路。
图9.2.3
(2) 定理9.2.1在应用中它本身用处不大，
但它的逆否命题却非常有用。经常利用定理
9.2.1的逆否命题来判断某些图不是哈密顿图， 即：若存在V的某个非空子集V1使得 p(G-V1) >|V1|，则G不是哈密顿图。
例如在下图中取V1={v1, v3}，则p(G-V1)= 4>|V1|=2，因而该图v1 不是哈v4密顿图。
对于图中有没有哈密顿通路（回路）虽然没有 很有效的判别方法，但对于一些较为简单或特殊的 图，人们还是积累了一些可行的方法。
关于有向图的哈密顿通路，只给出一个充分条 件。
定理9.2.5 设G=<V, E>是有n(n>2)个节点的简 单有向图。如果忽略G中边的方向所得的无向图中 含生成子图Kn，则有向图G中存在哈密顿通路。
定理9.1.2 设G=<V, E>是有向弱连通图，则 （1）当且仅当G的每个顶点的入度等于出度时， G是欧拉图。 （2）当且仅当G除两个顶点外，其它顶点的入度 等于出度，而除外的两个顶点，一个的入度比出度 多1，另一个的入度比出度少1时，G有欧拉通路。
定理9.1.1和定理9.1.2提供了欧拉通路与欧拉回 路的十分简便的判别准则。
1
2
3
5
4
6
图 9.1.5
例9.1.2 图G如图9.1.5所示。问图G是否 为欧拉图？若是，求出其欧拉圈。
由于G中的六个节点均为偶顶点且G连通， 根据欧拉定理可知G为欧拉图。
在图9.1.5中任意找一简单圈C：(1, 2, 3, 1)；发 现还有七条边不在此圈中，边(3, 4)不在C中且在圈 中的节点3相关联，由节点3出发经过边(3, 4)可得到 一简单圈C ’(3, 4, 5, 3)，将C ’并入C得到了一个新的 更长的简单圈C：(1, 2, 3, 4, 5, 3, 1)。
p(G－V1) ≤|V1| 其中，p(G－V1)是从G中删除V1（删除V1中各个顶点及
关联的边）以后所得的连通分支数。
注意： (1) 定理9.2.1给出的是哈密顿图的必要条件，但非充分
条件。即，满足此条件的图也未必就是哈密顿图。然而，可 以利用该定理判断某些图不是哈密顿图。
满足p如(G图-V91.)2.≤3所|V1示|，的但彼它得不森是图哈，密对顿V图的。任意非空子集V1，均
图 9.2.6 推论9.2.2 设G=<V, E>是具有n个节点的简单无向图， n≥3。如果对任意v∈V，均有deg(v)≥n/2，则G是哈密顿图。
定理9.2.3设G=<V, E>是具有n个节点的简单无向图，如 果对任意两个不相邻的节点u，v∈V，均有
deg(v) +deg(u) ≥n 则G中存在哈密顿回路。
离散数学
第四篇 图 论
第九章 欧拉图和哈密顿图
❖ 9.1 欧拉图 ❖ 9.2 哈密顿图
9.1 欧拉图
9.1.1 欧拉图的引入和定义 18世纪中叶，在东普鲁士哥尼斯堡城，有一条
贯穿全城的普雷格尔河，河中有两个岛，通过七座 桥彼此相连，如图9.1.1(a)所示。
（a）
b1 A
b3
图 9.1.1
D
b5
v1
v2
v3
v8
v4
v1 v2 v2 v3
v8
v4
v8
v4
v1
v2
v3
v2
v8 v8
v4 v4
v6
v7
v6
v5
（a）
（b） v7 v6 v6 v5
v7 （vc6 ） v5
定理9.1.3 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连 通的且为若干个边不重的圈的并。
❖ 9.1.3 欧拉图的难点 对于欧拉图，需要大家注意以下几点： 1．仅有欧拉通路而无欧拉回路的图不是欧拉图。 2. 图中是否存在欧拉通路、欧拉回路的判定非常简单，
推论9.2.4 设G是无向简单图，n≥3。若C(G)是完 全图，则G是哈密顿图。
例9.2.3 某地有5个风景点，若每个风景点均有2 条通道与其它点相通。问游人可否经过每个风景点恰 好一次而游完这5处？
分析：利用定理9.2.2即可。
解：将5个风景点看成是有5个节点的无向图， 两风景点间的道路看成是无向图的边，因为每处均 有两条通道与其它节点相通，故每个节点的度数均 为2，从而任意两个不相邻的节点的度数之和等于4， 正好为总节点数减1，故知图中存在一条哈密顿通路。 因此游人可以经过每个风景点恰好一次而游完这5处。
此时仍有四条边不在圈C中，边(4, 6)不在C中 且与节点4相关联，由节点4出发经过边(4, 6)又可得 到一个简单圈C ’ ’ ：(4, 6, 5, 2, 4)，将C ’ ’并入C得 到一个更长的简单圈C：(1, 2, 3, 4, 6, 5, 2, 4, 5, 3, 1)。 可以看到，G中所有的边已全在C中了，故知此圈C 即为G中的一条欧拉圈。
1
2
20 13 12 19 18 14 15 11
5
6
17 7
16
8
10 9
3
4
图 9.2.1
上述周游世界问题可用图论语言描述为：能否在图9.2.1所 示的图中找到一条包含所有节点的基本回路。按照图中所给城 市的编号，容易找到一条从节点1到2，再到3，到4，……， 最后到达20，再回到1的包含图中每个节点的基本回路，即周 游世界是可行的。
解：在6个图中，图 (a)和(d)是欧拉图；图 (b) 和(e)不是欧拉图，但存在欧拉通路；图 (c)和(f)不 存在欧拉通路。
9.1.2 欧拉图的判定 判断一个图（无向图或有向图）是否有欧拉通
路（回路），要考察所有边的所有全排列，几乎是 不可能的，所幸已有简单的判别法。
定理9.1.1 设无向图G=<V, E>是连通的，则 （1）当且仅当G的每个顶点都是偶顶点时，G是 欧拉图。 （2）当且仅当G除两个顶点是奇顶点外，其它 顶点都是偶顶点时，G有欧拉通路。
b2 b6
C
b4
b7
B（b）
定义9.1.1 设G是无孤立节点的图，若存 在一条通路(回路)，经过图中每边一次且仅一 次，则称此通路(回路)为该图的一条欧拉通路 (回路)。若存在一个圈，此圈通过G中每条边 一次且仅一次，则此圈成为欧拉圈。具有欧
拉回路的图称为欧拉图，具有欧拉通路但无 欧拉回路的图称为半欧拉图。
证明：在构造C(G)的过程中，逐次使用推论9.2.2就得到 这一定理。
注意定理9.2.4形式上给出了判断G是不是哈密顿图的一 个充要条件，但因C(G)不一定是完全图，所以在一般情况下 判断C(G)是不是哈密顿图的问题仍然没有解决。
如图9.2.8的闭包还是此图。
图 9.2.8
因为至少有三个顶点的完全图是哈密顿图，故由 定理9.2.4可得下面推论。
图9.2.15中的(a)、(b)、(c)、(d)分别表示了具有四个节点
的竞赛图。
定理9.2.6 设G=<V, E>是一个竞赛图，| V|= n，则G中必有
一条哈密顿通路。
在一个竞赛图中，将n个节点代表n个羽毛 球运动员，如节点vi到vj间有一条有向边，则 表示vi打败了vj。那么竞赛图表示了这n个羽毛 球运动员间进行的单循环赛的战绩。由上述 定理可以知道：
将这个问题加以推广，即在任意连通图中是否 存在一条包含图中所有节点的基本通路或基本回路。
定义9.2.1 通过图中每个顶点一次且仅一次的 通路（回路）称为哈密顿通路（回路）。一个具有 哈密顿回路的图称为哈密顿图。
规定：平凡图为哈密顿图。
另外，以上定义既适合无向图，又适合有向图。
❖ 9.2.2 哈密顿图的判定