第十二章 弯矩-曲率关系

3. 开裂阶段的受力分析
ct
xn=n h0 h0 h As
ct c
C yc xn
y
M
s cb
b
线性分布，需要进 行积分计算（略）
M较大时， c按曲
sAs
M 0
1 1 M 0.5 ct b n h02 (1 n ) s As h0 (1 n ) 3 3
数据采集系统
H
h b
台座
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
1. 基本假定
P
平截面假定----平均应变意义上
L/3 L/3 L
As’ dy y As
as’
c
h
t c
s’ nh0
(1-n)h0
s
as
cb
b
忽略剪切变形对梁、柱构件变形的影响
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
sAs
cb
（E-1）As 用材料力学的方法求解
s t
Es s E s s t E t Ec
T s As E As t
将钢筋等效成混凝土
五、受弯构件正截面受力分析
2. 弹性阶段的受力分析
当cb =tu时，认为拉区混凝土开裂并退出工作（约束受拉）
1 c0 C c 0b n h0 (1 ) t 3 c 1 1 c0 t 2 12 c yc n h0 (1 ) 1 c0 1 3 ct
2
应用积分
五、受弯构件正截面受力分析
4. 破坏阶段的受力分析
ct= c0 ct
b
t c
s
t0 cb= tu
sAs
2 E As 1 h bh xcr E As 2 1 bh
对一般钢筋混凝土梁 As / bh 0.5 ~ 2%,
xcr 0.5h
E 6 ~ 7
五、受弯构件正截面受力分析
2. 弹性阶段的受力分析
xn=n h0 h0 h
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
截面的物理方程（对物理方程的处理）
As
ci c ( ci )
ci c ( ci )
( ci 0) ( ci 0)
as h/2as h h/2as as b 1 i Zi 截面中心线 n As
“拉伸硬 化”现象
三、截面尺寸和配筋构造
1. 梁
c c25mm d h h0=h-60 c b 净距25mm 钢筋直径d b h h0=h-35 c 净距30mm 钢筋直径d
净距30mm 钢筋直径d
h 2 ~ 3.5(矩形截面) b 2.5 ~ 4.0(T形截面)
d 10 ~ 20mm(桥梁中14 ~ 40mm)
ct
c
ct
C M Tc xn=xcr
M 0
As
s
b
t0 cb= tu
sAs
h xcr 2 xcr M cr f t b(h xcr )( ) 2 3 A 设h0 0.92h, 令 A 2 E s xcr bh 2 E f t As (h0 ) 3
N (kN) 200
150
混凝土：fc=30.8MPa; ft=1.97MPa; Ec=25.1103MPa. 钢筋： fy=376MPa; fsu=681MPa; Es=205103MPa; As=284mm2.
100 N 915 裸钢筋 50 混凝土中的钢筋 N 152 平均应变 0 0.001 0.002 0.003 0.004 152
c1
s ci
N
sAs
M
ci

s
s s ( s ) s s ( s )
sAs
对钢筋混凝土柱， 有时也可能会出现 s < 0
s s ( s )
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
截面的平衡方程
As as h/2as h h/2as as b 1 i Zi 截面中心线 n As
P
L/3 L
L/3

(c’<u)
c
c
c
c
(Mu) MIII fyAs
c
MI
Mcr
MII
My
sAs t<ft t=ft(ct =tu)
sAs s<y
sAs s=y
fyAs
s>y
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
结论
•适筋梁具有较好的变形能力，超筋梁和少筋梁的破坏具有突然性，设计
yc C
对适筋梁，达极限状态 时， t c cu 0.0033, s f y
xn=nh0 M
c0
sAs（fyAs）
X 0 M 0
n 1.253 s
fy
c0
M f y As h0 (1 0.412 n ) c 0bh0 n (0.798 0.329 n )
c
fc
当应力较小时，如 c 0.3 f c时，可取
c Ec c
n c c f c 1 1 0
c
o
0
u
0 0.002 0.5 f cu 5010 5 0 0.002时，取 0 0.002
解一元二次方程
sAs（fyAs）
C T
n f ( n )
n
yc
Mu
六、受弯构件正截面简化分析
1. 压区混凝土等效矩形应力图形（极限状态下）
cu
xn=nh0 h0 h As Mu xn=nh0 C xn=nh0 Mu
t c c
y n h0
t c
X 0
0.5 ct b n h0 s As Es s As Es E 1n
(1 n )h0 t c As n h0
n
ct As
n2 2 E n 2 E 0
五、受弯构件正截面受力分析
时应予避免
•在适筋和超筋破坏之间存在一种平衡破坏。其破坏特征是钢筋屈服的同
时，混凝土压碎
•界限配筋率、最小配筋率是区分适筋破坏、超筋破坏和少筋破坏的定量
指标
五、受弯构件正截面受力分析
1. 基本假定
平截面假定----平均应变意义上
L/3 L/3 L P
As’ dy y As
as’
c
h
t c
s’ nh0
截面的相容关系
As as h/2as h h/2as as b 1 i Zi 截面中心线 n As
c1
s ci
N
sAs
M
ci

s
sAs
ci Z i
h s ' ( as ' ) 2 ( h a ) s s 2
三、截面尺寸和配筋构造
1. 板
分布钢筋 h0 c15mm d h
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d 8 ~ 12mm
h0 h 20
板厚的模数为10mm
四、受弯构件的试验研究
1. 试验装置
荷 载 分 配梁 P 外加荷 载 应 变 计 h L/3 L 位 移 计 L/3 b As 数据采集 系统 As
试 验 梁
As s bh0
2
五、受弯构件正截面受力分析
4. 破坏阶段的受力分析
ct= c0 ct
yc C
对超筋梁，达极限状态 时， ct cu 0.0033
C c 0b n h0 (1
xn=nh0 M
c0
1 0.002 ) 0.8 c 0b n h0 3 0.0033 (1 n )h0 t 1 n T s As Es s As Es c As 0.0033Es As n h0 n
五、受弯构件正截面受力分析
4. 破坏阶段的受力分析
ct
xn=n h0 h0 h As
ct c
C yc xn xn=nh0 M
ct= c0
yc C
ct c0
y
M
s cb
b
sAs
sAs（fyAs）
c 0。当f cu 50Mpa时，
t c
n 2, c 0 0.002, cu 0.0033
ct
xn=n h0 h0 h As
c
ct
C M Tc xn=xcr 为了计算方便用矩形应力 分布代替原来的应力分布
s
b
t0 cb= tu
ft
sAs

tu
h xcr


t c
xcr

s
h0 xcr
Ec c s Es s
t c
t
ft
f t 0.5 Ec tu
u 0.0033 f cu 5010 5 u 0.0033时，取 u 0.0033
五、受弯构件正截面受力分析
1. 基本假定
混凝土受拉时的应力-应变关系
t
ft
t=Ect
o t0
t
五、受弯构件正截面受力分析
1. 基本假定
钢筋的应力-应变关系
s
fy
s=Ess s su
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理
P P
曲率

平均应变分布
即使在纯弯段也只可能在几个截面上出现裂 缝,裂缝间混凝土的拉应变不相等
?
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理--Considère(1899)试验
M cr 0.292(1 2.5 A ) f t bh 2
五、受弯构件正截面受力分析
3. 开裂阶段的受力分析
ct
xn=n h0 h0 h As
ct c
C yc xn
M较小时， c可以认为 是按线性分布，忽略拉 区混凝土的作用
y
M
s cb
b
sAs
y c Ec c E n h0
第二章
钢筋混凝土梁柱截面的 弯矩-曲率关系
同济大学土木工程学院建筑工程系 顾祥林
一、概述
荷载分配梁 试验梁 P 外加荷载 数据采集系统 As 应变计 h 位移计 L/3 L L/3 b
M 超筋 平衡 III II 最小配筋率 I O 适筋
As

外加荷载 带定向滑 轮的千斤 顶 N 柱的竖向荷载 位移计 P As 试验柱
y
五、受弯构件正截面受力分析
2. 弹性阶段的受力分析
ct c
xn h0 h M
s
As b
sAs
cb
采用线形的物理关系
c c E c
t t E c
s s E s
五、受弯构件正截面受力分析
2. 弹性阶段的受力分析
ct c
xn h0 h M
s
As b
t
o t0 2t0
五、受弯构件正截面受力分析
2. 弹性阶段的受力分析
ct
xn=n h0 h0 h As
c
ct
C M Tc xn=xcr
X 0
0.5 bxcr 0.5 Ec tu (h xcr ) s As
设 E Es , 近似认为 s tu Ec
n
二、骨架曲线的弯矩-曲率关系
2. 短期荷载下的弯矩-曲率关系
拉区混凝土开裂后的处理
As as h/2as h h/2as as b 1 i Zi 截面中心线 n As
c1
s ci
N
sAs
M
ci

s
sAs
ci > t0
该条带混 凝土开裂
ci > tu
该条带混凝 土退出工作 ci = 0
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
适筋破坏
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
超筋破坏
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
超筋破坏
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
平衡破坏（界限破坏，界 限配筋率）
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
最小配筋率
四、受弯构件的试验研究
2. 试验结果
M 超筋 平衡 III II I O 少筋 最小配筋率 适筋
c1
s ci
N
sAs
M
ci

s
sAs
n
X 0,

i 1
' ' A A ci i s s s As N 0
M 0,
h h M ci Ai Z i s As ( a s ) s As (a s )＝0 2 2 i 1
(1-n)h0
s
as
cb
b
ct c s ' s n h0 y n h0 as ' (1 n )h0
五、受弯构件正截面受力分析
1. 基本假定
混凝土受压时的应力-应 变关系
1 n 2 ( f cu 50),当n 2时，取n 2 60