2.2.2椭圆的简单几何性质(优秀经典公开课比赛课件)

y2 a2

x2 b2
1(a

b

0)
A2 y
F2
B2
B1 O x
F1
A1
|x|≤b, |y| ≤ a
关于两轴即原点对称
(±b,0), (0,±a) 长轴2a, 短轴2b
F1(0,-c),F2(0,c) 2c
e=c/a, 0<e<1
例1、如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋 转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面） 的一部分。过对称轴的截口ABC是椭圆的一部分， 灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个 焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过 旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。已知 ACF1F2，|F1A|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm,求截口 ABC所在椭圆的方程。 y
关于两轴即原点对称
(±b,0), (0,±a) 长轴2a, 短轴2b
F1(0,-c),F2(0,c) 2c
e=c/a, 0<e<1
三、小结作业
本节重点： 1、范围； 2、对称性； 3、顶点、长半轴长、短半轴长、半焦距； 4、离心率； 5、已知两点求椭圆的标准方程； 作业： P49 3、4、5 B组3
离心率为0.6 ；
焦点坐标为(-3,0),(3,0)
Y
顶点坐标为
(-5,0)，(5,0)， (0,4)，(0,-4)
O
X
例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2); (2)长轴的长等于20,离心率等于0.6
（1）解：易知a=3，b=2 又因为长轴在x轴上,
所以椭圆的标准方程为 x2 y2 1 94
O
A2 x
从而：A1(-a,0),A2(a,0) 同理：B1(0, -b),B2(0, b)
B1
2c叫焦距，c 叫半焦距.
线段 A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.
它们的长度分别等于2a和2b，a和b分别叫 做椭圆的长半轴长和短半轴长.
4、离心率 动画演示
如何刻画椭圆
的扁平程度？
概念：椭圆焦距与长轴长之比.
(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6
(2)由已知, 2a=20,e=0.6
∴a=10,c=6 ∴b=8 因为椭圆的焦点可能在x轴上,也可能
在y轴上,所以所求椭圆的标准方程为
x2
y2 1 或
y2
x2 1
100 64
100 64
练习1、求适合下列条件的椭圆的标准方程

(1)经过点P(2,0) Q(1,1); x2 y2 1
A1(0,-a), A2(0,a) B1(-b,0), B2(b,0)
离心率
例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短 轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并 画出它的图形.
解：把方程化为标准方程:
x2 y2 1
25 16
所以: a = 5 ,b = 4
c = 25 16 3
所以，长轴长2a=10,短轴长2b=8 ；
思考：教材
定义式：e c a
y P46探究
范围：0 e 1
考察椭圆形状与e的关系：
o 1、当e接近1时；
x
2、当e接近0时；
特别地，当a=b时，c=0，这时 方程是什么呢？
两个焦点重合，图形变为圆。
两种标准方程的椭圆性质的比较
方程 图形 范围
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
一、复习回顾
1、椭圆的定义、焦点、焦距；
2、椭圆的标准方程；
3、a、b、c的关系及其几何意义；
4、待定系数法求椭圆的标准方程；
通常分B三1 步： （1）确b 定a焦点的位置； （F22 ）设出c 椭F圆1 A的1 标准方程；
（3）求a、b的值，写出椭圆的标准方程.
二、学习新课
我们知道，解析几何研究的主要问题是： （1）根据已知条件，求曲线的方程； （2）通过曲线的方程，研究曲线的性质.
y B2
O A1 F1
F2 A2 x
B1
a x a,b y b
y2 a2

x2 b2
1(a
b
0)
A2 y
F2
B2
B1
O
x
F1
A1
a y a,b x b
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
顶点
A1(-a,0), A2(a,0) B1(0,-b), B2(0,b)
44
可直接设为：x2

y2
1(m

0, n
3
0,且m

n)
mn
(2)与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距,且离心
率为0.8.
x2
y2

1
或
y2
x2

1
125 45
125 45
16 16
16 16
小结
标准方程
图象
范围 对称性 顶点 两轴长 焦点 焦距 离心率
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
B2 y
O A1 F1
F2 A2 x
B1
|x|≤a, |y| ≤ b
关于两轴及原点对称
(±a,0), (0,±b) 长轴2a，短轴2b
F1(-c,0),F2(c,0) 2c
e=c/a, 0<e<1
y2 a2

x2 b2
1(a

b

0)
A2 y
F2
B2
B1 O x
F1
A1
|x|≤b, |y| ≤ a
1
即 | y | b
y
横坐标的范围：
B2
-a x a
A1
纵坐标的范围：
F1 O
A2
F2
x
-b y b
B1
2、对称性 动画演示
在曲线方程里，如果以-x代x方程不变，那么曲
线关于y轴对称； 这说明当点P(x,y)在椭圆
在曲线方程里，如上果时以，-它y代关y方于程y轴不的变对，称那么 曲线关于x轴对称； 点P′(-x,y)也在y 椭圆上.
在曲线方程里，
椭圆关于y轴对称.
如果同时以-x代x，
以-y代y方程不变，
F1 O
F2
x
那么曲线关于原点 结论：坐标轴是椭圆的对称
对称；
轴，坐标原点是椭圆的对称
中心，也叫椭圆的中心。
3、顶点 椭圆与对称轴的交点. y
在 x2 y2 1(a b 0)
B2
a2 b2
中令y=0，
A1
可得x= a
下面，我们通过椭圆的标准方程
来研究椭圆的性质：
x2 a2

y2 b2
1(a
b
0)
观察图形，你能看
1、范围 出它的范围吗？
由标准方程 x2
得： x 2
a2
a2 1即
y2 b2
|x
1(a
| a

b

0)
结论：椭圆位 于直线x=±a 和y=±b所围 成的矩形框内.
同理可得： y2 b2
小结
标准方程
图象
范围 对称性 顶点 两轴长 焦点 焦距 离心率
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
B2 y
O A1 F1
F2 A2 x
B1
|x|≤a, |y| ≤ b
关于两轴及原点对称
(±a,0), (0,±b) 长轴2a，短轴2b
F1(-c,0),F2(c,0) 2c
e=c/a, 0<e<1