高等数学函数一致性连续性问题研究
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２ ０ １ ３ ＮＯ ２ ６ Ｃｈ ｌ ｎａ Ｅ ｄｕ ｃａ ｔ ｉ ｏｎ ｝ ｎ ｎ ｏｖ ａｔ Ｉ ｏ Ｎ Ｈｅｒ ａｌ ｄ
科 教 研 究
高 等数 学 函数 一致 性 连 续性 问题 研究
郭 丽 娜 （ 西北 民族大 学 甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ３ ０）
摘 要： 本文首 先对 函数的一致性和连 续性进行 了 理论 分析 同时举 例应用， 然 后理论 分析 函数连 续一致性 的条件 ， 和几个函数一致性 等价 的命题 。 使 得我 们 能够 全 面理解和 认 识函数 的 一致性 与连 续 性 。 关键 词 ： 一致 性 高教 函数 连续性 中图分 类号 ： ０１ 文献 标识 码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ９ ７ ９ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ９ （ ｂ ） 一 ０ ０ ５ ２ － ０ １ 证明 ： （ 必要 性 ） 若 ｆ （ ｘ ） 在 （ ， ｂ ） 内一 致 连 续 ， 则对 ｖ ￡ ＞ ０， 函数 的 一 致 连 续 性 体 现 了 一个 连 续 函数 的 变 化 速 度 有 无 “ 突 ３ ５ ＞０， Ｖ ． ， Ｘ ｚ ∈（ ａ ， ｂ ） ， 且ｌ 一Ｘ ２ ｌ ＜６ 时， 何ｌ ／ （ ｔ ） 一 ｆ （ ｘ ！ ） ｆ ＜ ￡ ， 此 时 变” 。 它 要 求 函 数连 续性 不 仅 仅 只体 现 在 区 间上 的 每 一 点上 ， 还要 对端 点 ａ ， 当， Ｘｉ ， Ｘ２ ， 满 足 ０＜ｘ １ 一ａ＜６／ ２， ０＜ｘ ２一ｎ＜６／ ２ 时 ， 就 求 在 区 间 上所 有 点 邻 近 的 函数 有 大 致 变 化 趋 势 要 均 匀 ， 这就 是 函 有 Ｘ ｔ — Ｘ ２ ｌ ＜ Ｉ ， 一 ａ Ｉ ＋ｌ Ｘ ２ 一 ｌ ＜ ６， 于 是 ｌ ｉ ｆ ｘ ， ） 一厂 （ ｘ ２ ） ｝ ＜￡， 由扣 Ｉ 西 数的一致连续 。 ／ （ ） 存在 ， 同理 可知 ｌ ｉ ｍ ， （ ） 也存在 定义１ ： （ 函数 ｆ （ ｘ ） 区 间 ，上 连续 ） 区 间为 ，上 的 ｌ 厂 （ ） 函数， 若 对 准 则知 ， 从而／ （ ） 在 ￡ ＞ ０， 对 于 每一 点 ∈ Ｉ， 都 存 在 相 应 ５＝ ５ （ ｅ ， Ｘ ） ＞ ０， 只要 ’ ∈，， 且 （ ， ６ ） 连续， ｌ ｉ ｍ ， （ ） 与 ， （ ） 都存 往 ｌ ｘ — ’ Ｉ ＜ ５， 就有 ， （ ）ｆ （ ｘ ） Ｉ ＜ ￡， 则称 函数 ｆ （ ｘ ） 在 区 间 ，上 连 续 。
一
／ （ ｘ ） 部
推论 １ ： 函数 ＿ 厂 （ ｘ ） 在（ ａ ， ＋ ） 内 一致 连 续 的 充 分 条 件 是 ． 厂 【 ｘ ） 在
２ 函数 一致连续通 过采利用 函数一致连续 的概 念来证 明
对Ｖ ｓ ＞０， 为 了证 明 （ ＞ ０ ） 存在 。 为此 ， 把ｌ ｆ （ ｘ ’ ） 一 ｆ （ ｘ ” ） ｌ 这 个 式 子不失真发大 ， 同时要求 在放大后的式子中 ， 除 了 因子 — ” Ｉ 之
．
（ 充分 性 ） 若／ （ ） 在（ 日 ， ６ ） 内连续 ， 目 一 存在， 补 充 定义 ／ （ “ ） ＝
ｌ 厂 （ ）， ｌ 厂 （ ∞＝
ａ
ｘ
厂 （ ） 与
厂 （ ） 都
时， 有０ — ｌ ＿ｌ ：
有Ｉ 一 。
１
１．
一 ｆ Ｉ — Ｉ
ｌ ， （ ） 存在 。
， ｂ ） 连续 且
定 义２： （ 一致连续的定义） 在 区 间 ，上 定 义 的 ｆ （ ｘ ） 函数 ， 若 对 Ｖｓ ＞０ ， 存 在 （ ＞ ０ ） ， 使 得 任 意 ， 。 ∈Ｉ ， 只要 Ｉ — Ｉ ＜ ５， 就 有 ｌ ＿ 厂 （ ） 一 ｆ （ ｘ 。 ） ｌ ＜ ， 则 区 间 ，上 ， ｆ （ ｘ ） 一致连续。
Ｄ 厂
。 对Ｖ ｃ ＞ ０， 取 ５：ｃ ｓ， 该 ： ｃ ｓ， 就
区 间［ ｄ ， ６ 】 上连 续 ， 从而 ＿ 厂 （ ） 在（ ｂ ） 内一 致连 续 。 根据 定理 ｌ 容 易得 出以 下 结 论 ：
推论ｌ ： 函数 ｆ （ ｘ ） 在 ， ｂ ） 内一致连续 § ｆ （ ｘ ）
一
推论２ ： 函数ｆ（ ｘ ） 在（ ａ ， ｂ 】 内一致连续 § ｆ（ ｘ ） 在口 ， ｂ ］ 连续 且
） 存在。 致 连 续 概 念 与 连 续 概 念 中 的 ６不 同 ， 可 以通 过 具 体 的 例 子 来说 明。 函数 ｆ （ ｘ ） 在 区 间 ，上 一 致连 续 的 概 念 ， 可 以通 过 这 样 的 １ 定理２ ： 若 ／【 ） 在（ 一 ∞， ＋ ∞）内连续 ， 且 ． ， （ ｘ ） 与 个例 子 引 出 。 这 样 我 们 对 于 一 致 连 续 中 ６的 就 有 一 种 非 常 直 观 的 感受 。 这 样 对 ６的 取 法 就 相 对 的 清 楚 ， 同样 的 ， 我 们 也 可 以 加 快 对 存 在 ， 则ｆ （ ｘ ） 在（ 一 ｏ 。 ， ＋ ） 上 一致 连 续 。 致连续的理解。 由定 理 ２ 容易得到以下推论 ：
， 。
１ 高等数 学分析 中函数一致连续 的概 念 的理解
例１ ： 考 虑 函数 ｌ 厂 （ ） 在区间上［ ｃ ， ＋ ｏ ｏ ） （ ｃ ＞０ ） 的连 续 性 。
解： 对 ０ ∈ ， ＋ ∞ ）（ ｃ ＞０ ）， 存在领域 ￡ ， （ ， ５ ‘ ） ， 使 得 ∈ Ｕ（ ｘ ０ ， ５）
科 教 研 究
高 等数 学 函数 一致 性 连 续性 问题 研究
郭 丽 娜 （ 西北 民族大 学 甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ３ ０）
摘 要： 本文首 先对 函数的一致性和连 续性进行 了 理论 分析 同时举 例应用， 然 后理论 分析 函数连 续一致性 的条件 ， 和几个函数一致性 等价 的命题 。 使 得我 们 能够 全 面理解和 认 识函数 的 一致性 与连 续 性 。 关键 词 ： 一致 性 高教 函数 连续性 中图分 类号 ： ０１ 文献 标识 码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ９ ７ ９ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ９ （ ｂ ） 一 ０ ０ ５ ２ － ０ １ 证明 ： （ 必要 性 ） 若 ｆ （ ｘ ） 在 （ ， ｂ ） 内一 致 连 续 ， 则对 ｖ ￡ ＞ ０， 函数 的 一 致 连 续 性 体 现 了 一个 连 续 函数 的 变 化 速 度 有 无 “ 突 ３ ５ ＞０， Ｖ ． ， Ｘ ｚ ∈（ ａ ， ｂ ） ， 且ｌ 一Ｘ ２ ｌ ＜６ 时， 何ｌ ／ （ ｔ ） 一 ｆ （ ｘ ！ ） ｆ ＜ ￡ ， 此 时 变” 。 它 要 求 函 数连 续性 不 仅 仅 只体 现 在 区 间上 的 每 一 点上 ， 还要 对端 点 ａ ， 当， Ｘｉ ， Ｘ２ ， 满 足 ０＜ｘ １ 一ａ＜６／ ２， ０＜ｘ ２一ｎ＜６／ ２ 时 ， 就 求 在 区 间 上所 有 点 邻 近 的 函数 有 大 致 变 化 趋 势 要 均 匀 ， 这就 是 函 有 Ｘ ｔ — Ｘ ２ ｌ ＜ Ｉ ， 一 ａ Ｉ ＋ｌ Ｘ ２ 一 ｌ ＜ ６， 于 是 ｌ ｉ ｆ ｘ ， ） 一厂 （ ｘ ２ ） ｝ ＜￡， 由扣 Ｉ 西 数的一致连续 。 ／ （ ） 存在 ， 同理 可知 ｌ ｉ ｍ ， （ ） 也存在 定义１ ： （ 函数 ｆ （ ｘ ） 区 间 ，上 连续 ） 区 间为 ，上 的 ｌ 厂 （ ） 函数， 若 对 准 则知 ， 从而／ （ ） 在 ￡ ＞ ０， 对 于 每一 点 ∈ Ｉ， 都 存 在 相 应 ５＝ ５ （ ｅ ， Ｘ ） ＞ ０， 只要 ’ ∈，， 且 （ ， ６ ） 连续， ｌ ｉ ｍ ， （ ） 与 ， （ ） 都存 往 ｌ ｘ — ’ Ｉ ＜ ５， 就有 ， （ ）ｆ （ ｘ ） Ｉ ＜ ￡， 则称 函数 ｆ （ ｘ ） 在 区 间 ，上 连 续 。
一
／ （ ｘ ） 部
推论 １ ： 函数 ＿ 厂 （ ｘ ） 在（ ａ ， ＋ ） 内 一致 连 续 的 充 分 条 件 是 ． 厂 【 ｘ ） 在
２ 函数 一致连续通 过采利用 函数一致连续 的概 念来证 明
对Ｖ ｓ ＞０， 为 了证 明 （ ＞ ０ ） 存在 。 为此 ， 把ｌ ｆ （ ｘ ’ ） 一 ｆ （ ｘ ” ） ｌ 这 个 式 子不失真发大 ， 同时要求 在放大后的式子中 ， 除 了 因子 — ” Ｉ 之
．
（ 充分 性 ） 若／ （ ） 在（ 日 ， ６ ） 内连续 ， 目 一 存在， 补 充 定义 ／ （ “ ） ＝
ｌ 厂 （ ）， ｌ 厂 （ ∞＝
ａ
ｘ
厂 （ ） 与
厂 （ ） 都
时， 有０ — ｌ ＿ｌ ：
有Ｉ 一 。
１
１．
一 ｆ Ｉ — Ｉ
ｌ ， （ ） 存在 。
， ｂ ） 连续 且
定 义２： （ 一致连续的定义） 在 区 间 ，上 定 义 的 ｆ （ ｘ ） 函数 ， 若 对 Ｖｓ ＞０ ， 存 在 （ ＞ ０ ） ， 使 得 任 意 ， 。 ∈Ｉ ， 只要 Ｉ — Ｉ ＜ ５， 就 有 ｌ ＿ 厂 （ ） 一 ｆ （ ｘ 。 ） ｌ ＜ ， 则 区 间 ，上 ， ｆ （ ｘ ） 一致连续。
Ｄ 厂
。 对Ｖ ｃ ＞ ０， 取 ５：ｃ ｓ， 该 ： ｃ ｓ， 就
区 间［ ｄ ， ６ 】 上连 续 ， 从而 ＿ 厂 （ ） 在（ ｂ ） 内一 致连 续 。 根据 定理 ｌ 容 易得 出以 下 结 论 ：
推论ｌ ： 函数 ｆ （ ｘ ） 在 ， ｂ ） 内一致连续 § ｆ （ ｘ ）
一
推论２ ： 函数ｆ（ ｘ ） 在（ ａ ， ｂ 】 内一致连续 § ｆ（ ｘ ） 在口 ， ｂ ］ 连续 且
） 存在。 致 连 续 概 念 与 连 续 概 念 中 的 ６不 同 ， 可 以通 过 具 体 的 例 子 来说 明。 函数 ｆ （ ｘ ） 在 区 间 ，上 一 致连 续 的 概 念 ， 可 以通 过 这 样 的 １ 定理２ ： 若 ／【 ） 在（ 一 ∞， ＋ ∞）内连续 ， 且 ． ， （ ｘ ） 与 个例 子 引 出 。 这 样 我 们 对 于 一 致 连 续 中 ６的 就 有 一 种 非 常 直 观 的 感受 。 这 样 对 ６的 取 法 就 相 对 的 清 楚 ， 同样 的 ， 我 们 也 可 以 加 快 对 存 在 ， 则ｆ （ ｘ ） 在（ 一 ｏ 。 ， ＋ ） 上 一致 连 续 。 致连续的理解。 由定 理 ２ 容易得到以下推论 ：
， 。
１ 高等数 学分析 中函数一致连续 的概 念 的理解
例１ ： 考 虑 函数 ｌ 厂 （ ） 在区间上［ ｃ ， ＋ ｏ ｏ ） （ ｃ ＞０ ） 的连 续 性 。
解： 对 ０ ∈ ， ＋ ∞ ）（ ｃ ＞０ ）， 存在领域 ￡ ， （ ， ５ ‘ ） ， 使 得 ∈ Ｕ（ ｘ ０ ， ５）