昆明理工大学材料力学第九章 弯曲应力及弯曲强度1解析
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1.剪力方程和弯矩方程
以梁的轴线为x轴，剪力和弯矩可表达为x的函数，
即 剪力方程： FS FS ( x)
弯矩方程： M M( x)
2.剪力图和弯矩图 以坐标(x,FS) 和(x,M)表示剪力和弯矩沿轴线变
化的图线称为剪力图和弯矩图。
x 表示梁截面的位置 。 FS和M 分别表示剪力和弯矩的大小。
FS1 l F (0 x1 a)
b M1 l Fx1 (0 x1 a)
BC段：由2-2右侧
a FS2 l F (0 x2 b)
M2
a l
Fx2
(0 x2 b)
1
2
b
x1 1
2 x2
FA l F
b
F
l
FS
ab F l
M
AC段：
FS1
b l
F
(0 x1 a)
a FB l F
b M1 l Fx1 (0 x1 a)
BC段：
aF l
a FS 2 l F
(0 x2 b)
a M2 l Fx2
(0 x2 b)
③画剪力图和弯矩图
例4. 外伸梁，写出剪力方程和弯矩方程，并画剪力 图和弯矩图。
FA
例2. 悬臂梁，已知q、l，写出剪力方程和弯矩方程， 并画剪力图和弯矩图。
mA
1 2
ql
2
A
B
FA=ql
解： ①求支反力
y0
mA 0
FA ql 0
mA
q
l
l 2
0
FA ql
mA
1 2
ql 2
mA
1 2
ql
2
A
FA=ql
1
1
x
B
②写剪力方程和弯矩方程 由1-1右侧：
FS qx M q x x 1 qx2
2
8
例3. 简支梁，写出剪力方程和弯矩方程，并画剪力 图和弯矩图。
FA
解： ①求支反力
mA 0
mB 0
FB l F a 0 F b FA l 0
FB
b FA l F
a FB l F
1
2
b FA l F
x1 1
2 x2
②写剪力方程和弯矩方程
a FB l F
AC段：由1-1左侧 b
纵向对称面 F q(x)
m
对称轴
轴线
FR1
FR2
●平面弯曲：
横向外力或外力偶作用在纵向对称面内，轴线变 成在此平面内的一条平面曲线。(对称弯曲）
二、梁的计算简图 1.梁的简化: 用梁的轴线代替实际的梁
q(x)
F
m
FR1
FR2
F q(x)
m
轴线
FR1
q(x)
F
FR2 m
FR1
FR2
2.载荷 ①集中力F(N ,kN)
2-2截面：看左侧
3 FS 2 FA 2 F
3-3截面：看右侧
l3 l3 M2 FA 2 2 F 2 4 Fl
1 FS 3 FB 2 F
M3 FB m Fl
二、剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图 描述内力的变化规律： ①数学方法—剪力方程和弯矩方程； ②几何方法—剪力图和弯矩图。
●左边向上，右边向下取“＋”，反之取“－”。 ②弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心之矩的 代数和。
●外力使梁的凹面向上取“＋”，反之取“－”。
例1. 简支梁，求指定截面（无限靠近）的剪力和弯矩。
F
m =Fl
△1
2
A1
2C
Βιβλιοθήκη Baidu
3 3B
△0
FA
l/2
l/2 FB
解： ①求支反力
mA 0 mB 0
l FB l m F 2 0
mA 0 FB l m F a 0
n
n
FA
x
FB
FA
F(l
a) l
m
FB
Fa l
m
n
n
FA
x
FB ②用截面法求内力
F
y 0 FA F FS 0
a
n M
mo 0 M F (x a) FA x 0
n
FA
x
FS
FS FA F
M FA x F ( x a)
②集中力偶 m (N·m，kN·m，N·mm）
③分布载荷
F
均匀分布力q（N∕m，kN∕m )
非均匀分布力q(x)
q(x) m
FR1
FR2
3.支座及其反力 ①固定铰
②活动铰
Fx
Fy
F
③固定端
m
Fx Fy
（1）活动铰支座或可动铰支： （2）固定铰支座：
（3）固定支座（简称固定端）：
4.梁的类型 ①简支梁 ②悬臂梁 ③外伸梁 ④连续梁
22
0 x l 0 x l
mA
1 2
ql
2
A
FA=ql
ql
FS
M
1 ql 2 2
1
1
x
1 ql2 8
③画剪力图和弯矩图
B
FS qx
x 0 FS 0（B点 ）
x l FS ql（A点 ）
M 1 qx2 2
x 0 M 0（B点）
x l M 1 ql2（A点） 2
x l M 1 ql2（中点）
l FA l m F 2 0
3 FA 2 F
1 FB 2 F
F
△1
2
A1
2C
FA=F3/2
l/2
m =Fl 3
3B
l/2
FB=F/2
②求各截面的剪力和弯矩
1-1截面：看左侧
FS 1
FA
3 2
F
M1 FA 0
F
△1
2
A1
2C
FA=F3/2
l/2
m =Fl 3
3B
l/2
FB=F/2
弯曲的一些实例
桥 梁
桥式吊车梁
一、平面弯曲的概念
受力特点： 在杆件轴线的平面内，受
横向外力或外力偶的作用。
m 变形特点：
杆的轴线由直线变成曲线。
F
梁：以弯曲变形为主的杆件。
● 梁的横截面分类： 1.有对称轴
x
x
y
2.无对称轴
y
y
纵向对称面
对称轴 轴线
●纵向对称面 由梁的一根对称轴和轴线所构成的平面。
F
a
nM
n
FA
x
FS
FS FA F
M FA x F ( x a)
FS —— 剪力 M ——弯矩
●剪力、弯矩的正负号规定：
1.剪力对保留段产生顺钟向的力矩为正，反之为负。
FS
FS
2.弯矩使梁的凹面向上为正，反之为负。
MM
2. 由外力直接求内力 ①剪力等于截面一侧所有横向外力的代数和。
● 静定梁
（1）简支梁：见图（a） （2）悬臂梁：见图（b） （3）外伸梁：见图（c）
● 超静定梁
q
墙
板梁
（a）
柱
q
（b）
行车梁
（a）
电葫芦
F
（b）
§9-2 剪力、弯矩与剪力图、弯矩图
一、梁弯曲时的内力 1.用截面法求内力
n n
x
求n-n横截面上的内力？
n
n
FA
x
FB
解： ①求支反力
mB 0 FA l m F (l a) 0
第九章 弯曲应力及弯曲强度
§9-1 平面弯曲的概念和梁的计算简图 §9-2 剪力、弯矩与剪力图、弯矩图 §9-3 剪力、弯矩与分布载荷间的微分关系 §9-4 截面图形的几何性质
§9-5 梁的弯曲正应力·正应力强度条件 §9-6 梁的弯曲切应力·切应力强度条件
§9-7 梁的合理强度设计
§9-1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
以梁的轴线为x轴，剪力和弯矩可表达为x的函数，
即 剪力方程： FS FS ( x)
弯矩方程： M M( x)
2.剪力图和弯矩图 以坐标(x,FS) 和(x,M)表示剪力和弯矩沿轴线变
化的图线称为剪力图和弯矩图。
x 表示梁截面的位置 。 FS和M 分别表示剪力和弯矩的大小。
FS1 l F (0 x1 a)
b M1 l Fx1 (0 x1 a)
BC段：由2-2右侧
a FS2 l F (0 x2 b)
M2
a l
Fx2
(0 x2 b)
1
2
b
x1 1
2 x2
FA l F
b
F
l
FS
ab F l
M
AC段：
FS1
b l
F
(0 x1 a)
a FB l F
b M1 l Fx1 (0 x1 a)
BC段：
aF l
a FS 2 l F
(0 x2 b)
a M2 l Fx2
(0 x2 b)
③画剪力图和弯矩图
例4. 外伸梁，写出剪力方程和弯矩方程，并画剪力 图和弯矩图。
FA
例2. 悬臂梁，已知q、l，写出剪力方程和弯矩方程， 并画剪力图和弯矩图。
mA
1 2
ql
2
A
B
FA=ql
解： ①求支反力
y0
mA 0
FA ql 0
mA
q
l
l 2
0
FA ql
mA
1 2
ql 2
mA
1 2
ql
2
A
FA=ql
1
1
x
B
②写剪力方程和弯矩方程 由1-1右侧：
FS qx M q x x 1 qx2
2
8
例3. 简支梁，写出剪力方程和弯矩方程，并画剪力 图和弯矩图。
FA
解： ①求支反力
mA 0
mB 0
FB l F a 0 F b FA l 0
FB
b FA l F
a FB l F
1
2
b FA l F
x1 1
2 x2
②写剪力方程和弯矩方程
a FB l F
AC段：由1-1左侧 b
纵向对称面 F q(x)
m
对称轴
轴线
FR1
FR2
●平面弯曲：
横向外力或外力偶作用在纵向对称面内，轴线变 成在此平面内的一条平面曲线。(对称弯曲）
二、梁的计算简图 1.梁的简化: 用梁的轴线代替实际的梁
q(x)
F
m
FR1
FR2
F q(x)
m
轴线
FR1
q(x)
F
FR2 m
FR1
FR2
2.载荷 ①集中力F(N ,kN)
2-2截面：看左侧
3 FS 2 FA 2 F
3-3截面：看右侧
l3 l3 M2 FA 2 2 F 2 4 Fl
1 FS 3 FB 2 F
M3 FB m Fl
二、剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图 描述内力的变化规律： ①数学方法—剪力方程和弯矩方程； ②几何方法—剪力图和弯矩图。
●左边向上，右边向下取“＋”，反之取“－”。 ②弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心之矩的 代数和。
●外力使梁的凹面向上取“＋”，反之取“－”。
例1. 简支梁，求指定截面（无限靠近）的剪力和弯矩。
F
m =Fl
△1
2
A1
2C
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3 3B
△0
FA
l/2
l/2 FB
解： ①求支反力
mA 0 mB 0
l FB l m F 2 0
mA 0 FB l m F a 0
n
n
FA
x
FB
FA
F(l
a) l
m
FB
Fa l
m
n
n
FA
x
FB ②用截面法求内力
F
y 0 FA F FS 0
a
n M
mo 0 M F (x a) FA x 0
n
FA
x
FS
FS FA F
M FA x F ( x a)
②集中力偶 m (N·m，kN·m，N·mm）
③分布载荷
F
均匀分布力q（N∕m，kN∕m )
非均匀分布力q(x)
q(x) m
FR1
FR2
3.支座及其反力 ①固定铰
②活动铰
Fx
Fy
F
③固定端
m
Fx Fy
（1）活动铰支座或可动铰支： （2）固定铰支座：
（3）固定支座（简称固定端）：
4.梁的类型 ①简支梁 ②悬臂梁 ③外伸梁 ④连续梁
22
0 x l 0 x l
mA
1 2
ql
2
A
FA=ql
ql
FS
M
1 ql 2 2
1
1
x
1 ql2 8
③画剪力图和弯矩图
B
FS qx
x 0 FS 0（B点 ）
x l FS ql（A点 ）
M 1 qx2 2
x 0 M 0（B点）
x l M 1 ql2（A点） 2
x l M 1 ql2（中点）
l FA l m F 2 0
3 FA 2 F
1 FB 2 F
F
△1
2
A1
2C
FA=F3/2
l/2
m =Fl 3
3B
l/2
FB=F/2
②求各截面的剪力和弯矩
1-1截面：看左侧
FS 1
FA
3 2
F
M1 FA 0
F
△1
2
A1
2C
FA=F3/2
l/2
m =Fl 3
3B
l/2
FB=F/2
弯曲的一些实例
桥 梁
桥式吊车梁
一、平面弯曲的概念
受力特点： 在杆件轴线的平面内，受
横向外力或外力偶的作用。
m 变形特点：
杆的轴线由直线变成曲线。
F
梁：以弯曲变形为主的杆件。
● 梁的横截面分类： 1.有对称轴
x
x
y
2.无对称轴
y
y
纵向对称面
对称轴 轴线
●纵向对称面 由梁的一根对称轴和轴线所构成的平面。
F
a
nM
n
FA
x
FS
FS FA F
M FA x F ( x a)
FS —— 剪力 M ——弯矩
●剪力、弯矩的正负号规定：
1.剪力对保留段产生顺钟向的力矩为正，反之为负。
FS
FS
2.弯矩使梁的凹面向上为正，反之为负。
MM
2. 由外力直接求内力 ①剪力等于截面一侧所有横向外力的代数和。
● 静定梁
（1）简支梁：见图（a） （2）悬臂梁：见图（b） （3）外伸梁：见图（c）
● 超静定梁
q
墙
板梁
（a）
柱
q
（b）
行车梁
（a）
电葫芦
F
（b）
§9-2 剪力、弯矩与剪力图、弯矩图
一、梁弯曲时的内力 1.用截面法求内力
n n
x
求n-n横截面上的内力？
n
n
FA
x
FB
解： ①求支反力
mB 0 FA l m F (l a) 0
第九章 弯曲应力及弯曲强度
§9-1 平面弯曲的概念和梁的计算简图 §9-2 剪力、弯矩与剪力图、弯矩图 §9-3 剪力、弯矩与分布载荷间的微分关系 §9-4 截面图形的几何性质
§9-5 梁的弯曲正应力·正应力强度条件 §9-6 梁的弯曲切应力·切应力强度条件
§9-7 梁的合理强度设计
§9-1 平面弯曲的概念和梁的计算简图