最新北师大版九年级数学上册全套PPT课件
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A D
O
B
C
练习
2.已知:如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,
与BC相交于点E,EF//AB,与AD相交于点F.
求证:四边形ABEF是菱形.
A
F D
B
EC
练习
3.已知如图，在△ABC,∠ACB=900，AD是角平分线， 点E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EF∥BC。
求证：四边形CDEF是菱形
A
D
∴ ∠ABC= ∠DCB，AB=CD.
在△ABC和△DCB中, AB=DC
∵ ∠ABC= ∠DCB BC=CB
B
C
∴ △ ABC≌△DCB(SAS)
∴ AC=BD.
矩形的特殊性质 性质1、矩形的四个角都是直角． 性质2、矩形的两条对角线相等．
几何语言: ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
用 勾股定理 解决.
B
C
议一议
如图，设矩形的对角线AC与BD相交 于点E，那 么BE是Rt△ABC中的一条怎样的特殊线段？它与AC 有什么大小关系？为什么？
A
D
E
B
C
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半
练习：
A
D 1. 已知：如左图，矩形
O
ABCD的两条对角线相交 于点O，∠AOD=120°，
证明 ∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AE∥FC ∴∠1＝∠2 ∵EF平分AC ∴AO＝OC 又∵∠AOE＝∠COF＝90°
∴ EO＝FO ∴ 四边形AFCE是平行四边形 又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形
∴△AOE≌△COF
想一想
对于一个一般的四边形，能否也可以找到判定它是不是菱形的 方法呢？由菱形的另一条性质“四条边都相等”，
练习1：
3、如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，
AB=3cm，BC=4cm 则AC= 5 cm，BO= 2.5cm，
矩形的周长为 14 cm,
矩形的面积为 12 cm2
矩形的两条边和对角线构成
A
D 一个 直角 三角形， 对角线 是 斜边.
求矩形的边长和对角线的问
O
题可转化为直角三角形，利
动手做做
如下图，你还可以作一个两条对角线互相垂直的平行 四边形．
和你的同伴交换一下，看看是否成了一个菱形．
由此可以得到判定菱形的一种方法：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
议一议
如下图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂 直，我们可以证明： 四边形ABCD是菱形．
证明
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA＝OC
又∵AC⊥BD
∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线
∴ AB＝BC ∴ 四边形ABCD是菱形
议一议
例如下图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交
于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形．
分析：要证四边形AFCE是菱形，由已知条件可知EF⊥AC，
所以只需证明四边形AFCE是平行四边形，又EF垂直平分 AC，所以只需证OE＝OF．
第一章 特殊平行四边形
1.菱形的性质与判定—判定
想一想
1.菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的特征
菱形是一个轴对称图形
3.菱形的性质 （Ａ）菱形的四条边都相等 （Ｂ）菱形的对角线互相垂直
我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除 此之外，还能找到其他的判定方法吗？
想一想
菱形的性质“两条对角线互相垂直平分”中，“对角线 互相平分”是平行四边形所具有的一般性质，而“对角线 垂直”是菱形所特有的性质。
AC = BD
矩形的性质
边的性质： 矩形的对边平行且相等.
角的性质： 矩形的四个角都是直角.
对角线的性质： 矩形的对角线相等，且互相平分.
练习1：
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是
（A ）
A.对角线相等
B.对边相等
C.对角相等
D.对角线互相平分
2.下面性质中，矩形不一定具有的是（ D ） A.对角线相等 B.四个角相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
想一想
菱形的判定方法 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3.四条边都相等的四边形是菱形
练习
1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的
（ C ）．
Ａ. AC⊥BD ，AC与BD互相平分 Ｂ. AB=BC=CD=DA Ｃ. AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD Ｄ. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
平行四边形是中心对称图形.
平行 四边形
四边形
两组对边 分别平行
平行 一个角 四边形 是直角
矩形
∟
矩形的定义：有形一叫个做角矩是形直. 角的平行四边
A
D 矩形是轴对称图形
吗？如果是，那么
B
C
有几条对称轴？
轴对称图形
探究新知
一、矩形与平形四边形之间的关系 平行四边形 矩形
即：矩形是一种特殊的平行四边形
由此，可以得到一个猜想：“如果一个平行四边形 的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是一个菱 形。”
动手做做
如下图，取两根长度不等的细木棒，让两个木 棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个 端点的连线。我们知道，这样得到的四边形是一个平行 四边形．若转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两 个木棒之间的夹角等于90°时，得到的图形是什么图形 呢？
A
F O2 E
1
B
CD
练习
4.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在BD上，且
BF=DE.
A
D
求证：四边形AECF是菱形.
OE
F
B
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一章 特殊平行四边形
2.矩形的性质与判定—性质
四边形
两组对边 分别平行
平行四边形的性质有： 边： 对边平行且相等
角：对角相等；邻角互补 对角线：对角线互相平分
矩形有哪些性质？ 具有平行四边形的所有性质
边：矩形的对边平行且相等
角：矩形对角相等；邻角互补 对角线：矩形对角线互相平分
矩形还有哪些特殊性质？
A
D
矩形的特殊性质：
B
C
性质1、矩形的四个角都是直角．
性质2： 矩形的对角线相等．
已知：如图，矩形ABCD. 求证：AC=BD.
证明： ∵四边形ABCD是矩形,
你可能会想到： 如果一个四边形的四条边都相等，那它会不会 一定是菱形？试着画一画，与周围的同学讨论，猜一猜结论是否 成立．
由此我们得到了判定菱形的又一种方法：
四条边都相等的四边形是菱形．
其实，这个结论同样是正确的．这里的条件能否再减少一些呢？ 能否类似对矩形的讨论那样，有三条边相等的四边形就是菱形了 呢？猜一猜，并试着画一画，你就会知道，这个结论是不成立 的．
O
B
C
练习
2.已知:如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,
与BC相交于点E,EF//AB,与AD相交于点F.
求证:四边形ABEF是菱形.
A
F D
B
EC
练习
3.已知如图，在△ABC,∠ACB=900，AD是角平分线， 点E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EF∥BC。
求证：四边形CDEF是菱形
A
D
∴ ∠ABC= ∠DCB，AB=CD.
在△ABC和△DCB中, AB=DC
∵ ∠ABC= ∠DCB BC=CB
B
C
∴ △ ABC≌△DCB(SAS)
∴ AC=BD.
矩形的特殊性质 性质1、矩形的四个角都是直角． 性质2、矩形的两条对角线相等．
几何语言: ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
用 勾股定理 解决.
B
C
议一议
如图，设矩形的对角线AC与BD相交 于点E，那 么BE是Rt△ABC中的一条怎样的特殊线段？它与AC 有什么大小关系？为什么？
A
D
E
B
C
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半
练习：
A
D 1. 已知：如左图，矩形
O
ABCD的两条对角线相交 于点O，∠AOD=120°，
证明 ∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AE∥FC ∴∠1＝∠2 ∵EF平分AC ∴AO＝OC 又∵∠AOE＝∠COF＝90°
∴ EO＝FO ∴ 四边形AFCE是平行四边形 又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形
∴△AOE≌△COF
想一想
对于一个一般的四边形，能否也可以找到判定它是不是菱形的 方法呢？由菱形的另一条性质“四条边都相等”，
练习1：
3、如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，
AB=3cm，BC=4cm 则AC= 5 cm，BO= 2.5cm，
矩形的周长为 14 cm,
矩形的面积为 12 cm2
矩形的两条边和对角线构成
A
D 一个 直角 三角形， 对角线 是 斜边.
求矩形的边长和对角线的问
O
题可转化为直角三角形，利
动手做做
如下图，你还可以作一个两条对角线互相垂直的平行 四边形．
和你的同伴交换一下，看看是否成了一个菱形．
由此可以得到判定菱形的一种方法：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
议一议
如下图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂 直，我们可以证明： 四边形ABCD是菱形．
证明
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA＝OC
又∵AC⊥BD
∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线
∴ AB＝BC ∴ 四边形ABCD是菱形
议一议
例如下图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交
于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形．
分析：要证四边形AFCE是菱形，由已知条件可知EF⊥AC，
所以只需证明四边形AFCE是平行四边形，又EF垂直平分 AC，所以只需证OE＝OF．
第一章 特殊平行四边形
1.菱形的性质与判定—判定
想一想
1.菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的特征
菱形是一个轴对称图形
3.菱形的性质 （Ａ）菱形的四条边都相等 （Ｂ）菱形的对角线互相垂直
我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除 此之外，还能找到其他的判定方法吗？
想一想
菱形的性质“两条对角线互相垂直平分”中，“对角线 互相平分”是平行四边形所具有的一般性质，而“对角线 垂直”是菱形所特有的性质。
AC = BD
矩形的性质
边的性质： 矩形的对边平行且相等.
角的性质： 矩形的四个角都是直角.
对角线的性质： 矩形的对角线相等，且互相平分.
练习1：
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是
（A ）
A.对角线相等
B.对边相等
C.对角相等
D.对角线互相平分
2.下面性质中，矩形不一定具有的是（ D ） A.对角线相等 B.四个角相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
想一想
菱形的判定方法 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3.四条边都相等的四边形是菱形
练习
1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的
（ C ）．
Ａ. AC⊥BD ，AC与BD互相平分 Ｂ. AB=BC=CD=DA Ｃ. AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD Ｄ. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
平行四边形是中心对称图形.
平行 四边形
四边形
两组对边 分别平行
平行 一个角 四边形 是直角
矩形
∟
矩形的定义：有形一叫个做角矩是形直. 角的平行四边
A
D 矩形是轴对称图形
吗？如果是，那么
B
C
有几条对称轴？
轴对称图形
探究新知
一、矩形与平形四边形之间的关系 平行四边形 矩形
即：矩形是一种特殊的平行四边形
由此，可以得到一个猜想：“如果一个平行四边形 的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是一个菱 形。”
动手做做
如下图，取两根长度不等的细木棒，让两个木 棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个 端点的连线。我们知道，这样得到的四边形是一个平行 四边形．若转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两 个木棒之间的夹角等于90°时，得到的图形是什么图形 呢？
A
F O2 E
1
B
CD
练习
4.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在BD上，且
BF=DE.
A
D
求证：四边形AECF是菱形.
OE
F
B
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一章 特殊平行四边形
2.矩形的性质与判定—性质
四边形
两组对边 分别平行
平行四边形的性质有： 边： 对边平行且相等
角：对角相等；邻角互补 对角线：对角线互相平分
矩形有哪些性质？ 具有平行四边形的所有性质
边：矩形的对边平行且相等
角：矩形对角相等；邻角互补 对角线：矩形对角线互相平分
矩形还有哪些特殊性质？
A
D
矩形的特殊性质：
B
C
性质1、矩形的四个角都是直角．
性质2： 矩形的对角线相等．
已知：如图，矩形ABCD. 求证：AC=BD.
证明： ∵四边形ABCD是矩形,
你可能会想到： 如果一个四边形的四条边都相等，那它会不会 一定是菱形？试着画一画，与周围的同学讨论，猜一猜结论是否 成立．
由此我们得到了判定菱形的又一种方法：
四条边都相等的四边形是菱形．
其实，这个结论同样是正确的．这里的条件能否再减少一些呢？ 能否类似对矩形的讨论那样，有三条边相等的四边形就是菱形了 呢？猜一猜，并试着画一画，你就会知道，这个结论是不成立 的．