第五章频域分析法

B (s) B (s) A(s) (s - s1 )(s - s 2 ) (s - s n )
若输入：r ( t ) A sin(t ) A（cos s sin ) A（cos s sin ) R(s) 2 2 s ( s j )(s j )
• 说明输出稳态分量由s=±jω 决定,则有：
j
j
• 系统输出响应稳态分量由s=±jω 决定,则有：
C s (s) s 1 ( s j ) R ( s )G ( s ) s j j 1 ( s j ) R ( s )G ( s ) s j j A c os j sin G ( j ) j 2j A c os j sin G ( j ) j 2j
稳定系统频率特性等于输出和输入的傅氏 变换之比这正是频率特性的物理意义。频率特 性与微分方程、传递函数一样，表征系统的运 动规律。它们之间可以相互转换。
微分方程
（以 t为变量）
d s dt
传递函数
（以 s为变量）
s j
频率特性
（以 ω为变量）
控制系统数学模型之间的转换关系 以上三种数学模型以不同的数学形式表达系 统的运动本质，并从不同的角度揭示出系统的内 在规律，是经典控制理论中最常用的数学模型。
第五章 线性系统的频域分析法
控制系统中的信号可以表示为不同 频率正弦信号的合成。 控制系统的频率特性反映正弦信号 作用下系统响应的性能。 应用频率特性研究线性系统的经典 方法称为频域分析法。
频域分析法的特点 频域分析法是一种图解的分析方法，它不必直
接求解系统输出的时域表达式，不需要求解系统的
闭环特征根，具有较多的优点。如： ①根据系统的开环频率特性能揭示闭环系统的
微分方程：
duo T u0=ui dt
初始条件：u0(0)=uo0,输出的拉氏变换为：
1 1 A U 0(s)= Ui(s) Tuo0 ( 2 Tuo 0 ) 2 Ts+1 Ts+1 s
对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式：
AT t / T A u0(t)= uo0 e sin(t arctan T ) 2 2 2 2 1 T 1 T
即a( )和c( )为的偶函数 b( )和d ( )为关于的奇次幂实系数多项式 ， 即b( )和d ( )为的奇函数， s s 例如：若G ( s) 3 2 s s s ( j ) 2 j 2 j G ( j ) 3 2 ( j ) ( j ) j 2 j ( 3 )
j
• 代入式5-11：
e A cos j sin C s (s) G ( j ) s j 2j A cos j sin G ( j ) s j 2j j e
A e jG ( j ) C s (s) G ( j ) e ( s j ) 2 j A e jG ( j ) G ( j ) e ( s j ) 2 j 整理得： A G ( j ) e j ( G ( j )) A G ( j ) e j ( G ( j )) Cs (s) s j 2j s j 2j 规则 5 j (t G ( j )) j (t G ( j )) e e c s ( t ) A G ( j ) 2j A G ( j ) sint G ( j )
• s 1、s2、„sn、±jω 为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ环特征方程特征根。 • 若系统稳定，则s1、s2、„sn位于s左半平面，微 分方程的通解由方程特征根决定：
无重根： c0 (t ) c1e
1t t
c2 e
2 t
cn e
n t
多重根： c0 (t ) c1te c2t e t 共轭复根 j：c0 (t ) e (c1 cos t c2 sin t )
B( s) A（cos s sin ) C ( s ) G ( s ) R(s) ( s s1 ) ( s sn ) ( s j )( s j )
B( s) A（cos s sin ) C ( s ) G ( s ) R(s) ( s s1 ) ( s sn ) ( s j )( s j )
2
a( ) jb( ) jG ( j ) G ( j ) G ( j ) e c( ) jd ( ) a ( ) b ( ) G ( j ) ( 2 ) 2 c ( ) d ( ) b( )c( ) a( )d ( ) G ( j ) arctan a( )c( ) d ( )b( )
2. 频率特性的几何表示法
系统 ( 或环节 ) 的频率响应曲线的表示方法 很多,其本质都是一样的,只是表示的形式不同 而已。 1．幅相频率特性曲线 2. 对数频率特性曲线 3. 对数幅相频率特性曲线
频率特性曲线通常采用以下三种表示形式：
（1） 幅相频率特性曲线（幅相曲线）
绘制幅相曲线的坐标系以横轴为实轴，纵轴 为虚轴。对于任一给定ω，频率特性值为复数。
• 当t →∞时， s 1、s2、„sn 组成的运动模态→0
• 当特征根为±jω ，系统稳态输出？？
2 t
• 当特征根为±jω ，系统输出？？
ct 0 ( t ) c1e c2e c1 (cos j sin ) c2 (cos j sin ) (c1 c2 ) cos j (c1 c2 ) sin t ct 0 ( t ) 0
示例：如图所示一阶 RC 网络， ui(t)与 uo(t)分别为 输入与输出信号，输入信号为一正弦信号，即
ui(t)=Asin t
• A与分别为输入信号的振幅与角频率。
微分方程：
R i(t) ui(t) C
duo T u0=ui dt
u0(t)
其中 T=RC，为电路的时间 常数，单位为s。
RC网络
e jx cos x j sin x e
jx
j
j
e jx e- jx cos x j sin x sin x 2j
cs (t ) A G( j) sint G( j)
• 与式（5-5）RC电路稳态输出对比
uos (t )
A
1 T A A( ) sin t ( ) A( ) G ( j ) 得： ( ) G ( j )
A(ω)
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 2 3 4 5 0 -20 -40 -60 -80 0
式（5-7）
Φ(ω)
ωT
1
2
3
4
5
ωT
• RC 电路幅频特性
• RC 电路相频特性
• 稳定系统的频率特性可以实验方法确 定，即在系统输入端施加不同频率的 正弦信号，然后测量系统输出的稳态 响应，再根据幅值比和相位差作出系 统的频率特性曲线。 • 对于不稳定系统，因为输出稳态分量 含有由系统不稳定极点产生的呈发散 或振荡发散的分量，所以不稳定系统 的频率不能通过实验方法确定。
幅值之比：A( ) A G ( j ) A 相位之差： ( ) G ( j )为相频特性 G ( j ) 为幅频特性
系统的频率特性指数形 式表达式：G ( j ) A( )e j ( )
RC电路的频率特性曲线： 1 j arctanT G ( j )= e 1 T 2 2
对于任一给定的频率 ω ，频率特性 G（ jω） =A（ω）· ej为复数。 可以表示为实数和虚数和的形式，实部为实轴 坐标值，虚部为虚轴坐标值。
也可以表示为复指数形式，则为复平面上的向 量，该向量的长度为频率特性的幅值A（ω），与 正实轴的夹角为频率特性的相位（ω）。
前面已经指出，系统的幅频特性与实频特 性是ω 的偶函数，而相频特性与虚频特性是 ω 的奇函数，即G（jω ）与G（-jω ）互为共轭。


s s s


其中：R(s)
A（cos s sin ) ( s j )(s j ) A（cos j sin ) A（cos j sin ) ( s j ) R( j ) ( j j ) 2j
设：
a( ) jb( ) G ( j ) G ( j ) e jG ( j ) c( ) jd ( ) G (s)的分子和分母多项式为 实系数，故 a( )和c( )为关于的偶次幂实系数多项式 ，
• 输入和稳态输出
U 0(s) 1 • 设RC网络的传递函数： = G(s)= Ui(s) Ts+1
取s j , 有 1 1 jT 1 jT G ( j )= 2 2 1 jT 1 (T ) 1 (T ) 1 (T ) 2 1 j arctanT e 1 T 2 2
2 2 1 2
A B 相角计算公式： arctan A arctan B arctan A B
a ( ) jb ( ) jG ( j ) G ( j ) G ( j ) e c( ) jd ( )
因而：
a( ) jb ( ) G ( j ) G ( j ) e jG ( j ) c( ) jd ( )
瞬态分量 稳态分量


• 输出稳态分量
uo s (t)=
A
2 2
1 T A A( ) sint ( )
1 1 T
2 2
sin(t arctan T )
• 幅值比：
A( )=
r(t) u(t)
0 A
r(t)=Asin ωt t
• 相位差：
( )= arctanT
这对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统尤
其有利。
④频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，
并且可以拓展应用到某些非线性系统中。
本章重点介绍频率特性的基本概念、幅相频率特 性与对数频率特性的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、
频域性能指标估算等。
2016年5月17日
• 5-1 频率特性
1 频率特性基本概念
比较
uos (t )
A
1 T A A( ) sint ( )
2 2
sin(t arctan T )
• A( ω )与φ (ω )与系统数学模型的本质关系。
设有线性定常系统，其传递函数：
G (s)
b s
i 0 n i i 0
m
m i
n i a s i
2 2
sin(t arctanT )
r (t ) A sin t cs ( t ) A G ( j ) sin t G ( j )
• 表明：对于稳定地线性定常系统，由谐波输入产 生的输出稳态分量仍然是与输入同频率的谐波函 数，而幅值和相位的变化是频率ω 的函数，而且 与系统数学模型G(s)有关。为此，定义：
动态性能和稳态性能 , 得到定性和定量的结论，可 以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性
能的影响, 并提出改进系统的方法。
②时域指标和频域指标之间有对应关系，而且 频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验
公式，简化控制系统的分析与设计。
③具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借
助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的 频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的依据，