第十二章 非线性回归分析

第十二章非线性回归分析

第一节可化为直线回归的非线性回归

•有些形式的曲线可以采用适当的数据转换方法转化为直线，从而用直线回归的方法来分析。一、指数曲线

•当α>0时其曲线形状见图12.1。

•对公式(12.1)取导数

•可知随着x的增加，β>0的曲线的绝对生长速度越来越快，而β<0的曲线的衰减速度越来越慢。•再对公式（12.1）取二阶导数

•因此β是生长或衰减的加速度，又称相对生长率或相对衰减率，是固定不变的。

•指数曲线的回归分析模型为：

•要求ε相互独立且服从同一对数正态分布。令

•并用直线回归分析的方法解得α和β的估计值

•从而建立指数曲线回归方程

•〔例12.1〕棉花红铃虫的产卵数（y，粒/头）与温度（x，℃）有关，调查结果见表12.1，试作回归分析。

表12.1 棉花红铃虫温度x(℃)与产卵数y(粒/头)的调查结果

•解：首先作调查数据的散点图（图12.2）

•将y做对数转换，

•根据表12.1中的x与y’可求得

•图12.2 棉花红铃虫温度x与产卵数y的散点图

•据此建立指数曲线回归方程

•回归方程的显著性检验，选用相关系数检验法。

•查r0.01(5)=0.874，|r|＝0.9926>0.874，因此指数曲线回归关系在0.01水平上显著（实际P＝9.01×10－6）。

带常数的指数函数

•当β<0时其曲线见图12.3。其中，α<0的曲线经常用来描述孵化过程，又称孵化曲线。

•由于是3参数曲线，所以要先求K值。选3个等距的x值所对应的y值，有

•然后作数据转换

y’=ln(y-K), a’=ln a

•y’=ln(y-K), a’=ln a (12.8)

即可将其线性化并估计a和b值了

•其图形见图12.4。

•幂函数曲线常用于描述体积、重量等倍数性资料的变化规律。采用与指数曲线回归模型类似的方法，令y’=ln y, x’=ln x, a’=ln a，ε’=lnε (12.10) 即可将幂函数曲线回归模型线性化

从而建立幂函数曲线回归方程

〔例12.2〕玉米杂交种四单19的果穗直径(x，cm)与穗粒重(y，g)间的关系如表12.2，试作回归分析。

表12.2 玉米果穗直径x(cm)和穗粒重y(g)的调查数据

图12.5 玉米果穗直径x和穗粒重y的散点图(左)和对数散点图(右)

•解：从调查数据的散点图（图12.5）中可以看出x与y之间呈一种中间略下凹的曲线关系，x’与y’

之间呈直线关系，因此作幂函数曲线回归分析。由表12.2可求得

•查r0.01(6)=0.834，|r|=0.9922>0.834，因此幂函数曲线回归关系在0.01水平上显著(实际P＝1.26×10－6)，可建立幂函数曲线回归方程：

•其图形也见图12.5，不同的x值对应的值见表12.2。

•本例也可作直线回归和指数曲线回归分析，结果均极为显著。

•还可能求出其它也显著的曲线形式。实践中通常不存在支持某种曲线形式的绝对依据，选择合适的曲线形式的考虑之一是所研究问题的生物学意义。如温度或时间与生长量的关系一般应选用指数曲线，而直径或长度与重量或体积的关系一般可选用幂函数曲线等。

•考虑之二是曲线的显著性。可根据散点图的特征试配几种不同的曲线，从中选择显著程度最高或较高的。本例从散点图看可配合直线、指数曲线和幂函数曲线，显著程度相差不多，但以幂函数曲线的生物学意义最为吻合，因此较合适。

三、对称S形曲线回归

•许多害虫的日发生量在暴发期以前逐日增加，过了暴发期又逐日减少，基本上是对称的，接近正态分布。因此其累积发生量就成为上下对称的S形曲线，与正态累积函数曲线差不多，见图12.6。

图12.6 对称S形曲线

•以y为累积发生量，x为日期并令

•可将此对称S形曲线转换为线性并估计a和b了。

•y’一般称为概率单位，可由概率单位表中查出。由回归方程求得后也可从该表中反查出。•〔例12.3〕江苏东台县测定了1972年越冬代棉红铃虫不同时期（x，以5月31日为0）的化蛹进度（y，％）结果见表12.3，试作回归分析。

表12.3 棉红铃虫不同时期x(以5月31日为0)的化蛹进度y(%)

图12.7 棉红铃虫不同时期x和化蛹进度y的散点图

•解：从散点图（图12.7）中看出x与y基本上呈对称的S形曲线关系，将y转换为概率单位y’后与x 呈直线关系，因此作x与y’的直线回归分析。

•查r0.01(8)=0.765，|r|=0.9983>0.765，因此回归关系在0.01水平上显著(实际P＝3.64×10－11)，也即有概率单位y’与日期x间的直线回归方程

•成立。将各x值代入回归方程求出同并反查出值列于表12.3的最后两列，可见吻合得相当好。

四、不对称S形曲线回归

•动植物生长的普遍规律是先越来越快，过了生长高峰以后由于内外条件的限制则越来越慢直至停止。生长速度的变化呈不对称的单峰曲线，因此累积生长量呈不对称的S形曲线。有许多描述不对称S形曲线的方程，如

•等，也可用y的概率单位对x的对数作线性回归。但是最常用且最符合生物学意义的还是Logistic 曲线，见图12.8。

•如果无阻抑时的生长情况可用指数曲线

•来描述，有限制条件时的生长情况可用孵化曲线

•来描述，那么整个生长周期可用Logistic曲线

•可知当y<

•可求出拐点为

•此时的生长速度最快，为

•生长速度在此之前逐渐加快，在此之后逐渐下降直至y=K时为0。