如何获取更多的利润

如何获取更多的利润

例1某商场以每件45元的价钱购进一种服装，根据试销得知，这种服装每天的销量T〔件〕与每件的销售价x〔元／件〕可以看作是一次函数：T＝－3x＋207〔45≤x≤69〕、

〔1〕写出该商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式〔每天的销售利润是指卖出服装的销售价与购入价的差〕、

〔2〕通过对所得出函数关系式配方，指出商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润是多少？

分析：每天总销售价为Tx，即〔－3x＋207〕x，每天销售的T件服装的进价为45T，即45〔－3x＋207〕，而总销售价与总进价的差值即为所获得的利润，而对于第〔2〕小题应将已得的二次函数配方，画出其函数图象，结合其自变量的取值范围确定最正确售价、

解：〔1〕由题意得：

y＝〔－3x＋207〕x－45〔－3x＋207〕

＝〔－3x＋207〕〔x－45〕〔45≤x≤69〕

〔2〕由〔1〕知

y＝〔－3x＋207〕〔x－45〕

＝－3〔x2－114x＋3105〕

＝－3〔－57〕2＋432〔45≤x≤69〕

由图象知开口向下，存在最大值，且45＜57＜69、

∴当x＝57时

y max＝432

亲爱的同学，假设请你帮该商场决策，你知道每件售价是多少最为合适吗？

评述：此题显然是一道在实际生活中可以碰得到的实际问题，而且也确实可以使用我们学过的知识提供一定程度的参考，不过此题可以作一些延伸：

1、此题为什么每件商品的售价被限定在45元与69元之间呢？

2、该服装的售价可以超过69元吗？

3、该函数的图象还可以向两端延伸吗？

例2某产品每件的成本价是120元，试销阶段中每件产品的销售价x〔元〕与产品的月销售量y

假设月销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售应为多少元？此时每日的销售利润是多少？

〔销售利润＝销售价－成本价〕

分析：从传统的函数应用题拓展到有关营销决策、统计评估、生产、生活等时代气息浓厚的应用问题，形式多样，涉及的知识点比较广，且须注意知识的有机的融合，是近几年中考函

数类应用性试题出现的变化和特点、该题涉及一次函数、二次函数、建立二次函数需要领会题意，并在此基础上求函数的最值、以销售为数学模型的函数应用题，既考查了学生的知识，又考查了学生的能力、 ①“销售利润＝销售价－成本价”这是题目给出的式子，因此每件产品的销售利润与销售价、成本价有关、每日的销售利润应是每日销售量y 〔件〕与每件产品销售利润的积、这是解决此题的关键，也是营销问题中的常识、

②以表格形式给出了x 〔元〕与y 〔件〕的对应关系，并进而指出销售量y 是销售价x 的一次函数，为用待定系数法求解析式提供了可行性与新颖性、

③在分析与综合的基础上，每日的销售利润应是y 〔x 的一次函数〕与每件产品销售利润〔x 的一次函数〕的积，实质为x 的二次函数，于是求函数的最值，就是求日最大利润的问题了、 ④在实际问题中自变量的取值范围必须符合题意、例如，销售价x 元一般不能低于成本价，否那么要亏本，更无从谈利润；销售量只能是非负数等、

解：设y ＝kx ＋b ，当x ＝130时，y ＝70；当x ＝150时，y ＝50，得方程组：⎩⎨

⎧=+=+50

15070

130b k b b 解得：1,200-==k b

∴y ＝－x ＋200

设每日销售利润为Z 元，每件产品的销售利润是〔x －120〕元，于是

200

120012*********)160( 24000320 )120)(200()120(22≤≤∴⎩

⎨⎧≥-≥+-+--=-+-=-+-=--⋅=x x x x x x x x x y Z

∴当160=x 时，1600max =Z

即当每件产品的销售价定为160元时，每日的销售利润最大，最大利润为1600元、

例3某剧院设有1000个座位，门票每张3元可达客满，据长期的营业进行市场估计，假设每张票价提高x 元，将有200x 张门票不能售出、

〔1〕求提价后每场电影的票房收入y 〔元〕与票价提高量x 〔元〕之间的函数关系式和自变量x 的取值范围、

〔2〕假设你是经理，你认为电影院应该怎样决策〔提价还是不提价〕，假设提价，提价多少为宜？

分析：假设提价x 元后，那么每张票价变为〔x ＋3〕元，出售的门票总数为：〔1000－200x 〕张，那么票房的收入变为：〔x ＋3〕·〔1000－200x 〕、 至于电影院到底应该怎样决策，显然票房的收入y 是提高的价x 的二次函数，可以对其进行配方，进而求出最高的提价、 解：〔1〕由题意知：

3000

400200 )3)(2001000(2

++-=--=x x x x y

又⎩⎨

⎧≥≤∴⎩⎨

⎧≥≥-0

5

020*********x x x x ∴x 的取值范围是：50≤≤x 〔2〕3000)1122(200+-+--=x x y

3200

)1(2003000200)1(2002

2+--=++--=x x

又510≤≤

∴当1=x 时，3200m ax =y 、

∴电影院应每张门票提价1元为宜、

接下来我们再来看一看1998年河北省的一道中考题、亲爱的同学，你能试着顺利地完成它吗？

例4某工厂现有甲种原料360千克、乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品共50件、生产一件A 种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元、

〔1〕按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你给设计出来、 〔2〕设生产A 、B 两种产品获总利润为y 〔元〕，其中一种的生产件数为x ，试写出y 与x 元间的函数关系式，并利用函数的性质说出〔1〕中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

分析：此题是生产经营决策问题、在市场经济竞争十分激烈的今天，帮助学生学会比较，学会择优决策，是素质教育的要求，也是近年中考的热门题型、此题所涉及的知识点有：不等式〔组〕、一次函数、解决这类问题的关键是，建立相应的数学模型、

〔1〕A 、B 两种产品的生产件数，受总件数50和所需两种原料库存量的制约、所以可由此得出不等式组，从而确立A 、B 两种产品生产件数的范围，通过进一步讨论可选择其生产方案、

〔2〕列出总利润与产品生产数量之间的函数关系，根据函数的增减性质，就可以解决此题、 解：〔1〕设安排生产A 种产品x 件，那么生产B 件产品〔50－x 〕件、依题意，得

⎩

⎨

⎧≤-+≤-+290)50(103360

)50(49x x x x 解之，得3230≤≤x

∵x 为整数，∴x 只能取30，31，32、 相应的〔50－x 〕的组为20，19，18、、 所以生产的方案有三种：

第一种：生产A 种产品30件，B 种产品20件； 第二种：生产A 种产品31件，B 种产品19件； 第三种：生产A 种产品32件，B 种产品18件、

〔2〕设生产A 种产品件数为x ，那么生产B 种产品的件数为50－x 、 依题意，得)50(1200700x x y -+=