初等数学建模方法
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• 间题2(菱形十二面体上的H路径问题)沿一菱形十二面体各棱行走. 要寻找一条这样的路径:它通过各顶点恰好一次.该问题被称为 Hamilton路径问题.
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2.1有关自然数的几个模型
• 思想和启发我们注意到菱形十二面体每个顶点的度或者为3或者为生. 所谓顶点的度是指通过这一顶点的棱数(图2. 3 ).且每3度顶点刚好与3 个生度顶点相连.而每个2度顶点刚好与2个3度顶点相连.因此一个 Hamilton路径必是3度与2度顶点交错.若存在Hamilton路径.则3度顶 点个数与2度顶点个数要么相等.要么相差1.用奇偶校验法3度顶点为 奇数顶点.生度顶点为偶数顶点.奇偶配对.最多只能余1个;而事实上菱 形十二面体中.有3度顶点8个.2度顶点6个;得结论:菱形十二面体中不 存在Hamilton路径.
• 间题3能否在8X8的方格表ABCD的各个空格中.分别填写1 .2 .3这3个 数中的任一个.使得每行、每列及对角线AC. BD的各个数的和都不相 同?为什么?
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2.1有关自然数的几个模型
• 思想和启发若从考虑填法的种类人手.情况太复杂;这里我们注意到. 方格表中行、列及对角线的总数为18个;而用1.2.3填人表格.每行、列 及对角线都是8个数.8个数的和最小为8.最大为22.共有22-8十1=17种; 利用鸽笼原理.18个“鸽”放入17个“鸽笼”.必有两个在一个“鸽 笼”.也即必有两个和相同.所以题目中的要求无法实现.
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2. 2状态转移问题
• 如鸡和米在一起就不可以.如果假设人、狗、鸡、米要从河的南岸到 河的北岸.由题意.在过河的过程中.两岸的状态要满足一定条件.所以该 问题为有条件的状态转移问题.
• 解题过程 • (1)允许状态集合. • 用(W.X.y.z).其中W.X.y.Z=0或1.表T南岸的状态.例如.(1 1,1 ,1)表
第2章初等数学建模方法
• 2.1有关自然数的几个模型 • 2.2状态转移问题 • 2.3量纲分析法 • 2.4类比建模方法
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2.1有关自然数的几个模型
• 2.1.1鸽笼原理 • 鸽笼原理又称为抽屉原理.把;N个苹果放入n (n<N)个抽屉里.则必有
一个抽屉中至少有2个苹果. • 间题1如果有;N个人.其中每个人至多认识这群人中的n(n<N)个人
• 2. 2. 1人、狗、鸡、米问题 • 间题人、狗、鸡、米均要过河.船上除1人划船外.最多还能运载一
物.而人不在场时.狗要吃鸡.鸡要吃米.问人、狗、鸡、米应如何过河? • 思想和启发过河中.根据限制“人不在场时.狗要吃鸡.鸡要吃米”.
因而.考虑河两岸状态时.有些状态是允许的.如狗和米在一起是可以的; 有些状态是不允许的.
• 由上可以看出.奇偶校验方法巧妙而简单.极富创造力.在估计事情不 可能成立时.可考虑使用奇偶性这一方法来论证.
• 实例练习 • (1)假设你有一张普通的国际象棋盘一组对角上的两个方格被切掉.
这样棋盘上只剩下62个方格.若你还有31块骨牌.每块骨牌的大小为 1X2方格.试说明用互不重叠的骨牌完全覆盖住这张残缺的棋盘是不可 能的.
• 在铺瓷砖问题中.同色的两个格子具有相同的奇偶性.异色的两个格子 具有相反的奇偶性.长方形瓷砖显然只能覆盖具有相反奇偶性的一对 方格.因此.把19块长方形瓷砖在地面上铺好后.只有在剩下的两个方格 具有相反的奇偶性时.才有可能把最后一块长方形瓷砖铺上.由于剩下 的两个方格具有相同的奇偶性.因此无法铺上最后一块长方形瓷砖.这 就从理论上证明了用20块长方形瓷砖铺好如图2. 2所示地面是不可能 的.任何改变铺设方式的努力都是徒劳的.
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2.1有关自然数的几个模型
• 解题过程设6人为A1.A识A2.A3.A4;若
A2.A3.A4互相都认识.则结论成立;若A2.A3.A4中有两人不认识.则加 上A1.有3人互不相识. • (2)A1至少和3人相识.不妨设A1认识A2.A3.A4;若A2.A3.A4互不相 识.则结论成立;若A2.A3.A4有两人相识.加上A1则有3人互相认识. • 这样.我们就证明了结论成立. • 这个问题的讨论.也可以采用几何模拟的方法:在平面上问出6个 点·表示6个人.两点间存在连线.表示两人相识;只需说明.图中必有3点 组成三角形(有3人相识).或有3点之间没有一条连线(3人互不相识)即 可.
• 由图2.5.有两个解都是经过7次运算完成.均为最优解
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2. 2状态转移问题
• 2. 2. 2商人过河问题 • 3名商人各带一个随从乘船渡河一只小船只能容纳二人.且由他们自
己划行.随从们密约.在河的任一岸一只随从的人数比商人多.就杀人越 货.但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中.商人们怎样才能安全 渡河? • 思想和启发由于这个虚拟的问题已经理想化了.所以不必再作假设. 商人过河问题可以视为一个多步决策过程.每一步.即船由此岸驶向彼 岸或从彼岸驶回此岸.都要对船上的人员(商人、随从几人)作出决策. 在保证安全的前提下(两岸的商人数都不比随从人数少).在有限步内使 人员全部过河.用状态(变量)表示某一岸的人员状况.
• 间题思考在一个边长为1的正三角形内.若要彼此间距离大于上.最多 能找到几个点?
• 2. 1. 2“奇偶校验”法 • 所谓“奇偶校验”.是指如果两个数都是奇数或偶数.则称这两个数
具有相同的奇偶性;若一个数是奇数.另一个数是偶数.则称具有相反的 奇偶性.在组合几何中会经常遇到类似的问题.
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(不包括自己)·则至少有两个人所认识的人数相等. • 思想和启发我们按认识人的个数.将;N个人分为0,1,2,... ,n类.其中
k(0<k<n)类.表T认识k个人.这样形成0、十1个“鸽笼”.若n<N-1. 则;N个人分成不超过;N- 1类.必有两人属于一类.也即有两个人所认识 的人数相等;若n=N -1.此时注意到。类和;N类必有一个为空集.所以不 空的“鸽笼”至多为;N- 1个.也使结论成立.
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2.1有关自然数的几个模型
• 实例练习 • 1.9个人的集会中一定有3个人互相认识或生个人互相不认识. • 2. 12个人的集会中一定有3个人互相认识或者5个人互相不认识. • 3. 17个科学家中.每个科学家都和其他科学家通信.他们之间讨论3
个题目.且任意两个科学家之间只讨论1个题目.证明其中至少有3名科 学家.他们互相通信中讨论的是同一题目.
2.1有关自然数的几个模型
• 间题1(铺瓷砖问题)要用20块方形瓷砖铺设如图2. 2所T图形的地面.但 当时商店只有长方形瓷砖.每块大小等于方形的两块.一个人买了20块 长方形瓷砖.试着铺地面.结果弄来弄去始终无法完整铺好.证明用20块 长方形瓷砖铺好如图2. 2所示地面是不可能的.
• 思想和启发问题在于用20块长方形瓷砖正好铺成图2. 2所示的地面 的可能性是否存在?只有可能性存在才谈得上用什么方法铺的问题.
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2.1有关自然数的几个模型
• (2)设一所监狱有62间囚室·其排列类似8X8棋盘.看守长告诉关押在一 个角落里的囚犯.只要他能够不重复地通过每间囚室到达对角的囚室 (所有相邻囚室间都有门相通).他将获释.问囚犯能否获得自由?
• (3)某班有29个学生·坐成7行7列.每个座位的前后左右的座位叫做它 的邻座.要让29个学生都换到他的邻座上去.问是否有这种调换位置的 方案?
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2. 2状态转移问题
• 本节介绍人、狗、鸡、米过河及商人过河两种状态转移问题.对于 这类智力游戏经过一番逻辑思索是可以找出解决办法的.这里用数学 模型求解一是为了给出建模的不例.二是因为这类模型可以解决相当 广泛的一类问题.比逻辑思索的结果容易推广.解决这种问题的方法.有 状态转移法、图解法及用图的邻接矩阵等.
• 数学中许多著名的不可能的证明都要用到奇偶校验.
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2.1有关自然数的几个模型
• 例如欧几里得证明厄是无理数.就是用的奇偶性(读者不妨自己动手做 一下).奇偶校验在粒子物理学也有很重要的作用.1957年美籍华人杨振 宁和李政道推翻了“宁宙守恒定理”.由此获得了诺贝尔奖.其中就是 运用了奇偶校验方法.
• 为此.在图2. 2上白、黑相间地染色.然后仔细观察.发现共有19个白 格和21个黑格.一块长方形瓷砖可盖住一白一黑两格.所以铺上19块长 方形瓷砖.(无论用什么方法).总要剩下2个黑格没有铺.而一块长方形瓷 砖是无法盖住2个黑格的.唯一的办法是把最后一块瓷砖一断为二.
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2.1有关自然数的几个模型
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2.1有关自然数的几个模型
• 问题2在一个边长为1的正三角形内最多能找到几个点.而使这些点彼 此间的距离大于0.5.
• 思想和启发 边长为1的正三角形ABC.分别以A,B.C为中心.0. 5为半 径圆弧·将三角形分为生个部分(图2.1).则四部分中任一部分内两点距 离都小于0.5.由鸽笼原理知道.在三角形内最多能找生个点.使彼此间 距离大于0. 5.且确实可找到如A.B.C及三角形中心生个点.
• 下面我们利用上述结论研究一个有趣的问题. • 狱吏间题某土国对囚犯进行大赦.让一狱吏n次通过一排锁着的7、
间牢房.每通过一次按所定规则转动门锁.每转动一次.原来锁着的被打 开.原来打开的被锁上;通过n次后.门锁开着的.牢房中的犯人放出.否则 犯人不得获释.转动门锁的规则是这样的:第一次通过牢房.要转动每一 把门锁.即把全部锁打开;第二次通过牢房时.从第二间开始转动.每隔 一间转动一次;第k次通过牢房.从第k间开始转动.
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2.1有关自然数的几个模型
• 每隔k-1间转动一次;问通过n次后.哪些牢房的锁仍然是打开的? • 思想和启发牢房的锁最后是打开的.则该牢房的锁要被转动奇数次;
如果把7、间牢房用1 .2.....n编号.则第k间牢房被转动的次数.取决于k 是否被1 .2... .n整除.也即k的因子个数.利用自然数因子个数定理.我们 得到结论:只有编号为完全平方数的牢房门仍是开着的. • 2. 1. 4相识问题 • 间题在s人的集会上.总会有3人互相认识或互相不认识. • 思想和启发在互相认识或互相不认识中.强调“互相”.因此.对于单 一认识问题不子考虑.因而论证结果时.可分情况讨论.
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2. 2状态转移问题
• 将上述10个可取状态向量组成的集合记为s.称s为允许状态集合.
• (2)状态转移方程.
• 对于一次过河.可以看成一次状态转移.用向量来表示决策.如 (7,0,0,7)表示人.米过河.令d为允许决策集合.则
•
d=f {(1.X.y.Z) X十y十Z=0或1}
• 注意到D的形式.可得下述状态转移方程
•
s(t+1)=s t十(-1)^t dt (2. 2. 1)
• 式中.st=(wt、xt、yt 、zt)表T第k次状态·dt<D为决策向量
• (3)转移过程的实现.
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2. 2状态转移问题
• 根据分析.上述状态转移问题可归结为寻找决策向量d1,d2,...,dn-1ED 及移状态s1,s2,...sn ES.满足式(2.2.1)的转移过程.实现从s1的状态开 始最终达到s的状态.
• 2. 1. 3自然数的因子个数与狱吏问题 • 令d (n)为自然数0、的因子个数.则d (n)有的为奇数.有的为偶数.见
表2.1
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2.1有关自然数的几个模型
• 我们发现这样一个规律.当且仅当n为完全平方数时.d(n)为奇数;这是 因为n的因子是成对出现的.也即n= ab;只有n为完全平方数.才会出现 n=a^2的情形.d(n)才为奇数.
示它们都在南岸;(0,1,1,0)表T狗、鸡在南岸.人、米在北岸.很显然有 些状态是允许的.有些状态是不允许的.用穷举法可列出全部70个允许 状态向量为: (1 .1 .1.1).(1.1.1.0).(1.1.0.1).(1.0.1.1).(1.0.1.0).(0.0.0.0).(0.0.0.1).(0.0 .1.0).(0.1.0.0).(0.1.0.1).
• 根据上述方法.在人、狗、鸡、米问题中.将10个允许状态用10个点表 示.并且仅当某个允许状态经过一个允许决策仍为允许状态.则这两个 允许状态间存在连线·而构成一个图(图2. 4).在其中寻找一条从 (1.1.1.1)到(0,0,0,0)的路径.这样的路径就是一个解.南岸状态变化如 图2.5所示.
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2.1有关自然数的几个模型
• 思想和启发我们注意到菱形十二面体每个顶点的度或者为3或者为生. 所谓顶点的度是指通过这一顶点的棱数(图2. 3 ).且每3度顶点刚好与3 个生度顶点相连.而每个2度顶点刚好与2个3度顶点相连.因此一个 Hamilton路径必是3度与2度顶点交错.若存在Hamilton路径.则3度顶 点个数与2度顶点个数要么相等.要么相差1.用奇偶校验法3度顶点为 奇数顶点.生度顶点为偶数顶点.奇偶配对.最多只能余1个;而事实上菱 形十二面体中.有3度顶点8个.2度顶点6个;得结论:菱形十二面体中不 存在Hamilton路径.
• 间题3能否在8X8的方格表ABCD的各个空格中.分别填写1 .2 .3这3个 数中的任一个.使得每行、每列及对角线AC. BD的各个数的和都不相 同?为什么?
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2.1有关自然数的几个模型
• 思想和启发若从考虑填法的种类人手.情况太复杂;这里我们注意到. 方格表中行、列及对角线的总数为18个;而用1.2.3填人表格.每行、列 及对角线都是8个数.8个数的和最小为8.最大为22.共有22-8十1=17种; 利用鸽笼原理.18个“鸽”放入17个“鸽笼”.必有两个在一个“鸽 笼”.也即必有两个和相同.所以题目中的要求无法实现.
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2. 2状态转移问题
• 如鸡和米在一起就不可以.如果假设人、狗、鸡、米要从河的南岸到 河的北岸.由题意.在过河的过程中.两岸的状态要满足一定条件.所以该 问题为有条件的状态转移问题.
• 解题过程 • (1)允许状态集合. • 用(W.X.y.z).其中W.X.y.Z=0或1.表T南岸的状态.例如.(1 1,1 ,1)表
第2章初等数学建模方法
• 2.1有关自然数的几个模型 • 2.2状态转移问题 • 2.3量纲分析法 • 2.4类比建模方法
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2.1有关自然数的几个模型
• 2.1.1鸽笼原理 • 鸽笼原理又称为抽屉原理.把;N个苹果放入n (n<N)个抽屉里.则必有
一个抽屉中至少有2个苹果. • 间题1如果有;N个人.其中每个人至多认识这群人中的n(n<N)个人
• 2. 2. 1人、狗、鸡、米问题 • 间题人、狗、鸡、米均要过河.船上除1人划船外.最多还能运载一
物.而人不在场时.狗要吃鸡.鸡要吃米.问人、狗、鸡、米应如何过河? • 思想和启发过河中.根据限制“人不在场时.狗要吃鸡.鸡要吃米”.
因而.考虑河两岸状态时.有些状态是允许的.如狗和米在一起是可以的; 有些状态是不允许的.
• 由上可以看出.奇偶校验方法巧妙而简单.极富创造力.在估计事情不 可能成立时.可考虑使用奇偶性这一方法来论证.
• 实例练习 • (1)假设你有一张普通的国际象棋盘一组对角上的两个方格被切掉.
这样棋盘上只剩下62个方格.若你还有31块骨牌.每块骨牌的大小为 1X2方格.试说明用互不重叠的骨牌完全覆盖住这张残缺的棋盘是不可 能的.
• 在铺瓷砖问题中.同色的两个格子具有相同的奇偶性.异色的两个格子 具有相反的奇偶性.长方形瓷砖显然只能覆盖具有相反奇偶性的一对 方格.因此.把19块长方形瓷砖在地面上铺好后.只有在剩下的两个方格 具有相反的奇偶性时.才有可能把最后一块长方形瓷砖铺上.由于剩下 的两个方格具有相同的奇偶性.因此无法铺上最后一块长方形瓷砖.这 就从理论上证明了用20块长方形瓷砖铺好如图2. 2所示地面是不可能 的.任何改变铺设方式的努力都是徒劳的.
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2.1有关自然数的几个模型
• 解题过程设6人为A1.A识A2.A3.A4;若
A2.A3.A4互相都认识.则结论成立;若A2.A3.A4中有两人不认识.则加 上A1.有3人互不相识. • (2)A1至少和3人相识.不妨设A1认识A2.A3.A4;若A2.A3.A4互不相 识.则结论成立;若A2.A3.A4有两人相识.加上A1则有3人互相认识. • 这样.我们就证明了结论成立. • 这个问题的讨论.也可以采用几何模拟的方法:在平面上问出6个 点·表示6个人.两点间存在连线.表示两人相识;只需说明.图中必有3点 组成三角形(有3人相识).或有3点之间没有一条连线(3人互不相识)即 可.
• 由图2.5.有两个解都是经过7次运算完成.均为最优解
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2. 2状态转移问题
• 2. 2. 2商人过河问题 • 3名商人各带一个随从乘船渡河一只小船只能容纳二人.且由他们自
己划行.随从们密约.在河的任一岸一只随从的人数比商人多.就杀人越 货.但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中.商人们怎样才能安全 渡河? • 思想和启发由于这个虚拟的问题已经理想化了.所以不必再作假设. 商人过河问题可以视为一个多步决策过程.每一步.即船由此岸驶向彼 岸或从彼岸驶回此岸.都要对船上的人员(商人、随从几人)作出决策. 在保证安全的前提下(两岸的商人数都不比随从人数少).在有限步内使 人员全部过河.用状态(变量)表示某一岸的人员状况.
• 间题思考在一个边长为1的正三角形内.若要彼此间距离大于上.最多 能找到几个点?
• 2. 1. 2“奇偶校验”法 • 所谓“奇偶校验”.是指如果两个数都是奇数或偶数.则称这两个数
具有相同的奇偶性;若一个数是奇数.另一个数是偶数.则称具有相反的 奇偶性.在组合几何中会经常遇到类似的问题.
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(不包括自己)·则至少有两个人所认识的人数相等. • 思想和启发我们按认识人的个数.将;N个人分为0,1,2,... ,n类.其中
k(0<k<n)类.表T认识k个人.这样形成0、十1个“鸽笼”.若n<N-1. 则;N个人分成不超过;N- 1类.必有两人属于一类.也即有两个人所认识 的人数相等;若n=N -1.此时注意到。类和;N类必有一个为空集.所以不 空的“鸽笼”至多为;N- 1个.也使结论成立.
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2.1有关自然数的几个模型
• 实例练习 • 1.9个人的集会中一定有3个人互相认识或生个人互相不认识. • 2. 12个人的集会中一定有3个人互相认识或者5个人互相不认识. • 3. 17个科学家中.每个科学家都和其他科学家通信.他们之间讨论3
个题目.且任意两个科学家之间只讨论1个题目.证明其中至少有3名科 学家.他们互相通信中讨论的是同一题目.
2.1有关自然数的几个模型
• 间题1(铺瓷砖问题)要用20块方形瓷砖铺设如图2. 2所T图形的地面.但 当时商店只有长方形瓷砖.每块大小等于方形的两块.一个人买了20块 长方形瓷砖.试着铺地面.结果弄来弄去始终无法完整铺好.证明用20块 长方形瓷砖铺好如图2. 2所示地面是不可能的.
• 思想和启发问题在于用20块长方形瓷砖正好铺成图2. 2所示的地面 的可能性是否存在?只有可能性存在才谈得上用什么方法铺的问题.
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2.1有关自然数的几个模型
• (2)设一所监狱有62间囚室·其排列类似8X8棋盘.看守长告诉关押在一 个角落里的囚犯.只要他能够不重复地通过每间囚室到达对角的囚室 (所有相邻囚室间都有门相通).他将获释.问囚犯能否获得自由?
• (3)某班有29个学生·坐成7行7列.每个座位的前后左右的座位叫做它 的邻座.要让29个学生都换到他的邻座上去.问是否有这种调换位置的 方案?
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2. 2状态转移问题
• 本节介绍人、狗、鸡、米过河及商人过河两种状态转移问题.对于 这类智力游戏经过一番逻辑思索是可以找出解决办法的.这里用数学 模型求解一是为了给出建模的不例.二是因为这类模型可以解决相当 广泛的一类问题.比逻辑思索的结果容易推广.解决这种问题的方法.有 状态转移法、图解法及用图的邻接矩阵等.
• 数学中许多著名的不可能的证明都要用到奇偶校验.
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• 例如欧几里得证明厄是无理数.就是用的奇偶性(读者不妨自己动手做 一下).奇偶校验在粒子物理学也有很重要的作用.1957年美籍华人杨振 宁和李政道推翻了“宁宙守恒定理”.由此获得了诺贝尔奖.其中就是 运用了奇偶校验方法.
• 为此.在图2. 2上白、黑相间地染色.然后仔细观察.发现共有19个白 格和21个黑格.一块长方形瓷砖可盖住一白一黑两格.所以铺上19块长 方形瓷砖.(无论用什么方法).总要剩下2个黑格没有铺.而一块长方形瓷 砖是无法盖住2个黑格的.唯一的办法是把最后一块瓷砖一断为二.
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• 问题2在一个边长为1的正三角形内最多能找到几个点.而使这些点彼 此间的距离大于0.5.
• 思想和启发 边长为1的正三角形ABC.分别以A,B.C为中心.0. 5为半 径圆弧·将三角形分为生个部分(图2.1).则四部分中任一部分内两点距 离都小于0.5.由鸽笼原理知道.在三角形内最多能找生个点.使彼此间 距离大于0. 5.且确实可找到如A.B.C及三角形中心生个点.
• 下面我们利用上述结论研究一个有趣的问题. • 狱吏间题某土国对囚犯进行大赦.让一狱吏n次通过一排锁着的7、
间牢房.每通过一次按所定规则转动门锁.每转动一次.原来锁着的被打 开.原来打开的被锁上;通过n次后.门锁开着的.牢房中的犯人放出.否则 犯人不得获释.转动门锁的规则是这样的:第一次通过牢房.要转动每一 把门锁.即把全部锁打开;第二次通过牢房时.从第二间开始转动.每隔 一间转动一次;第k次通过牢房.从第k间开始转动.
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• 每隔k-1间转动一次;问通过n次后.哪些牢房的锁仍然是打开的? • 思想和启发牢房的锁最后是打开的.则该牢房的锁要被转动奇数次;
如果把7、间牢房用1 .2.....n编号.则第k间牢房被转动的次数.取决于k 是否被1 .2... .n整除.也即k的因子个数.利用自然数因子个数定理.我们 得到结论:只有编号为完全平方数的牢房门仍是开着的. • 2. 1. 4相识问题 • 间题在s人的集会上.总会有3人互相认识或互相不认识. • 思想和启发在互相认识或互相不认识中.强调“互相”.因此.对于单 一认识问题不子考虑.因而论证结果时.可分情况讨论.
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2. 2状态转移问题
• 将上述10个可取状态向量组成的集合记为s.称s为允许状态集合.
• (2)状态转移方程.
• 对于一次过河.可以看成一次状态转移.用向量来表示决策.如 (7,0,0,7)表示人.米过河.令d为允许决策集合.则
•
d=f {(1.X.y.Z) X十y十Z=0或1}
• 注意到D的形式.可得下述状态转移方程
•
s(t+1)=s t十(-1)^t dt (2. 2. 1)
• 式中.st=(wt、xt、yt 、zt)表T第k次状态·dt<D为决策向量
• (3)转移过程的实现.
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2. 2状态转移问题
• 根据分析.上述状态转移问题可归结为寻找决策向量d1,d2,...,dn-1ED 及移状态s1,s2,...sn ES.满足式(2.2.1)的转移过程.实现从s1的状态开 始最终达到s的状态.
• 2. 1. 3自然数的因子个数与狱吏问题 • 令d (n)为自然数0、的因子个数.则d (n)有的为奇数.有的为偶数.见
表2.1
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2.1有关自然数的几个模型
• 我们发现这样一个规律.当且仅当n为完全平方数时.d(n)为奇数;这是 因为n的因子是成对出现的.也即n= ab;只有n为完全平方数.才会出现 n=a^2的情形.d(n)才为奇数.
示它们都在南岸;(0,1,1,0)表T狗、鸡在南岸.人、米在北岸.很显然有 些状态是允许的.有些状态是不允许的.用穷举法可列出全部70个允许 状态向量为: (1 .1 .1.1).(1.1.1.0).(1.1.0.1).(1.0.1.1).(1.0.1.0).(0.0.0.0).(0.0.0.1).(0.0 .1.0).(0.1.0.0).(0.1.0.1).
• 根据上述方法.在人、狗、鸡、米问题中.将10个允许状态用10个点表 示.并且仅当某个允许状态经过一个允许决策仍为允许状态.则这两个 允许状态间存在连线·而构成一个图(图2. 4).在其中寻找一条从 (1.1.1.1)到(0,0,0,0)的路径.这样的路径就是一个解.南岸状态变化如 图2.5所示.