第七章线性相关分析PPT课件
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▪ 圆的面积(S)与半径之间的关系
可表示为 S = R2
（二）相关关系
特点: 1、一个变量的取值不是完全由另一个(或一组)
变量唯一确定。 2、当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有
几个，不是一一对应关系
概念：相关关系是变量之间确实存在着的数量上 的相互依存关系，但关系值是不固定的。
相关关系示图
947
1993
2099.5
1148
解：根据样本相关系数的计算公式有
r
nxyxy
nx2x2 ny2y2
1391561.9793128.2577457
1316073.73723128.2572 13522639794527
0.9987
人均国民收入与人均消费金额之间的相 关系数为 0.9987
相关分析的不足：
当只涉及一个自变量时称为一元回归， 若因变量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称 为一元线性回归。
（二）一元线性回归模型形式
Æ 只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表示 为：
yc abx
(三)参数 a 和 b 的最小二乘估计
y 使因变量的观察值（y）与估计值（
)
c
之间的离差平方和达到最小来求回归方程中的待
关关系。可分解为多个单相关 进行分析。
完全正线性相关
完全负线性相关
非线性相关
正线性相关
负线性相关
不相关
三、相关分析
（一）概念：
就是对变量之间的相关关系进行分析。 分析 一个变量与另外一个（或一组）变 量之间的相关关系的密切程度和方向的一 种统计分析方法。
（二）方法
1、相关表： 例：教材P246页表9.1
第一节 相关关系与相关分析
一、变量间的关系
（一）函数关系
设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x的变 化而变化，并完全依赖于 x ，则称 y 是 x 的函 数，记为 y = f (x)，其中 x称为自变量，y 称为因 变量。
函数关系是一一对应的确定性关系。
函数关系的例子
▪ 在价格一定的情况下,某种商品的销售额(y) 与销售量(x)之间的关系 可表示为 y = p x (p 为单价)
• 利用所求的关系式，来预测或控制另一个特 定变量的取值。
3、回归分析与相关分析的区别
①相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位； 回归分析 中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位， x 称为自变量，用于预测因变量的变化。
②相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分 析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量 也可以是非随机的确定变量
相关系数的取值范围及其意义： 1. r 的取值范围是 [-1，1] 2. | r | = 1，为完全相关
r = 1，为完全正相关 r = -1，为完全负相关 3. r = 0，不存在线性相关关系
完全负相关
无线性相关
完全正相关
-1.0 -0.5 0 +0.5 +1.0
负相关程度增加 正相关程度增加
③相关分析主要是描述两个变量之间相关关系的密切程度 和方向； 回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影 响大小，还可以由回归方程进行预测和控制
二、回归模型的类型
一个自变量
回归模型
两个及两个以上自变量
一元回归
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
三、一元线性回归分析 （一）概念
大致均等的变动；或从图形上看，观察点 的分布情况大致散布在一条直线周围。
2、非线性相关 当变量x值发生变动时，变量y值也随
之发生变动，但这种变动是不均等的；或 从图形上看，观察点的分布情况表现为各 种不同的曲线形式。
(四）按涉及的变量的多少分
1、单相关：2个变量之间的相关关系 2、复相关：3个或3个以上的变量之间的相
定系数 a 和 b ，即最小二乘估计法。
最小二乘法示图
y
(xn , yn)
(x2 , y2)
(x1 , y1)
2、相关图：散点图
3、指标计算：相关系数（线性相关条件下）
四、相关系数
（一）概念
相关系数是直线相关条件下说明两 个变量之间相关密切程度的统计分析指 标，用“r”表示。
（二）计算公式（积差法）：
2 xy
rxy
(xx)(yy) (xx)2 (yy)2
或化简为
r nx yxy
nx2x2 ny2y2
y
x
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 ▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 ▪ 粮食亩产量( y )与施肥量( x1 ) 、降雨量( x2 )
、温度( x3 )之间的关系 ▪ 收入水平( y )与受教育程度( x )之间的关系 ▪ 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
相关分析只能分析出变量之间是否 有相关关系，相关关系的形式、方向和 程度。但对于一个变量是如何随着另一 个（或一组）变量的变动而变动（即变 量之间的数量变动关系）无法说明。
这就需要在相关分析的基础进一步 进行回归分析。
第二节 回归分析
一、回归分析
• 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学 关系式
• 选择适当的回归模型，采用最小二乘法估计 回归模型中的待定系数。
二、相关关系的种类
（一）按相关程度不同分 1、完全相关：即函数关系 2、不完全相关：研究重点 3、完全不相关：即相互独立
（二）按相关的方向分
1、正相关：变动方向一致。 如：消费支出与工资收入 投入与产出
2、负相关：变动方向相反 如：商品销售额与商品流通费用率 物价与消费量
（三）按相关形式分：
1、线性相关 当变量x值发生变动时，变量y值发生
1981
393.8
249
1982
419.14
267
1983
460.86
289
1984
544.11
329
1985
668.29
406
1986
737.73
451
1987
859.97
513
1988
1068.8
643
1989
1169.2
690
1990
1250.7
713
1991
1429.5
803
1992
1725.9
【例】在研究我国人均消费水平的问题中，把全 国人均消费额记为y，把人均国民收入记为x。 我们收集到1981～1993年的样本数据(xi ，yi)，i =1,2,…，13，数据见表，计算相关系数。
我国人均国民收入与人均ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ费金额数据 单位:元
年份
人均
人均
国民收入 消费金额
年份
人均
人均
国民收入 消费金额
可表示为 S = R2
（二）相关关系
特点: 1、一个变量的取值不是完全由另一个(或一组)
变量唯一确定。 2、当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有
几个，不是一一对应关系
概念：相关关系是变量之间确实存在着的数量上 的相互依存关系，但关系值是不固定的。
相关关系示图
947
1993
2099.5
1148
解：根据样本相关系数的计算公式有
r
nxyxy
nx2x2 ny2y2
1391561.9793128.2577457
1316073.73723128.2572 13522639794527
0.9987
人均国民收入与人均消费金额之间的相 关系数为 0.9987
相关分析的不足：
当只涉及一个自变量时称为一元回归， 若因变量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称 为一元线性回归。
（二）一元线性回归模型形式
Æ 只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表示 为：
yc abx
(三)参数 a 和 b 的最小二乘估计
y 使因变量的观察值（y）与估计值（
)
c
之间的离差平方和达到最小来求回归方程中的待
关关系。可分解为多个单相关 进行分析。
完全正线性相关
完全负线性相关
非线性相关
正线性相关
负线性相关
不相关
三、相关分析
（一）概念：
就是对变量之间的相关关系进行分析。 分析 一个变量与另外一个（或一组）变 量之间的相关关系的密切程度和方向的一 种统计分析方法。
（二）方法
1、相关表： 例：教材P246页表9.1
第一节 相关关系与相关分析
一、变量间的关系
（一）函数关系
设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x的变 化而变化，并完全依赖于 x ，则称 y 是 x 的函 数，记为 y = f (x)，其中 x称为自变量，y 称为因 变量。
函数关系是一一对应的确定性关系。
函数关系的例子
▪ 在价格一定的情况下,某种商品的销售额(y) 与销售量(x)之间的关系 可表示为 y = p x (p 为单价)
• 利用所求的关系式，来预测或控制另一个特 定变量的取值。
3、回归分析与相关分析的区别
①相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位； 回归分析 中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位， x 称为自变量，用于预测因变量的变化。
②相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分 析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量 也可以是非随机的确定变量
相关系数的取值范围及其意义： 1. r 的取值范围是 [-1，1] 2. | r | = 1，为完全相关
r = 1，为完全正相关 r = -1，为完全负相关 3. r = 0，不存在线性相关关系
完全负相关
无线性相关
完全正相关
-1.0 -0.5 0 +0.5 +1.0
负相关程度增加 正相关程度增加
③相关分析主要是描述两个变量之间相关关系的密切程度 和方向； 回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影 响大小，还可以由回归方程进行预测和控制
二、回归模型的类型
一个自变量
回归模型
两个及两个以上自变量
一元回归
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
三、一元线性回归分析 （一）概念
大致均等的变动；或从图形上看，观察点 的分布情况大致散布在一条直线周围。
2、非线性相关 当变量x值发生变动时，变量y值也随
之发生变动，但这种变动是不均等的；或 从图形上看，观察点的分布情况表现为各 种不同的曲线形式。
(四）按涉及的变量的多少分
1、单相关：2个变量之间的相关关系 2、复相关：3个或3个以上的变量之间的相
定系数 a 和 b ，即最小二乘估计法。
最小二乘法示图
y
(xn , yn)
(x2 , y2)
(x1 , y1)
2、相关图：散点图
3、指标计算：相关系数（线性相关条件下）
四、相关系数
（一）概念
相关系数是直线相关条件下说明两 个变量之间相关密切程度的统计分析指 标，用“r”表示。
（二）计算公式（积差法）：
2 xy
rxy
(xx)(yy) (xx)2 (yy)2
或化简为
r nx yxy
nx2x2 ny2y2
y
x
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 ▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 ▪ 粮食亩产量( y )与施肥量( x1 ) 、降雨量( x2 )
、温度( x3 )之间的关系 ▪ 收入水平( y )与受教育程度( x )之间的关系 ▪ 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
相关分析只能分析出变量之间是否 有相关关系，相关关系的形式、方向和 程度。但对于一个变量是如何随着另一 个（或一组）变量的变动而变动（即变 量之间的数量变动关系）无法说明。
这就需要在相关分析的基础进一步 进行回归分析。
第二节 回归分析
一、回归分析
• 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学 关系式
• 选择适当的回归模型，采用最小二乘法估计 回归模型中的待定系数。
二、相关关系的种类
（一）按相关程度不同分 1、完全相关：即函数关系 2、不完全相关：研究重点 3、完全不相关：即相互独立
（二）按相关的方向分
1、正相关：变动方向一致。 如：消费支出与工资收入 投入与产出
2、负相关：变动方向相反 如：商品销售额与商品流通费用率 物价与消费量
（三）按相关形式分：
1、线性相关 当变量x值发生变动时，变量y值发生
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393.8
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419.14
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1990
1250.7
713
1991
1429.5
803
1992
1725.9
【例】在研究我国人均消费水平的问题中，把全 国人均消费额记为y，把人均国民收入记为x。 我们收集到1981～1993年的样本数据(xi ，yi)，i =1,2,…，13，数据见表，计算相关系数。
我国人均国民收入与人均ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ费金额数据 单位:元
年份
人均
人均
国民收入 消费金额
年份
人均
人均
国民收入 消费金额