第七章 埃尔米特多项式

§7.2
令
Hermite多项式的母函数与递推公式
2 xt t 2
w( x, t ) e
将其展开成变量t的Taylor级数，则有

1 H n ( x)t n n0 n ! 则 H n ( x) 是n次Hermite多项式。

1 n w w( x, t ) ( n ) t n n 0 n ! t t 0
2x 2(n 1) ( x) ( x) 0 H n ( x) Hn Hn 2n 2(n 1)2n
}
( x) 2xHn ( x) 2nH n ( x) 0 Hn
H n ( x)是Hermite方程的解，故是Hermite多项式。
定义：称 w( x, t )是Hermite多项式的母函数。 Hermite多项式的微分形式：
西安理工大学应用数学系
第七章 埃尔米特（Hermite）多项式
－－－－－－特殊函数之三
西安理工大学应用数学系
§7.1
Hermite多项式的定义

1. v阶Hermite方程的解
v阶Hermite方程 y 2 xy 2vy 0 用幂级数法求解该方程，设方程的解为 y ck x k k 0 代入方程，整理，得
2( k v ) ck ( k 2)( k 1)
k 0,1, 2,
2(v 4) 23 v(v 2)( v 4) c6 c4 c0 65 6!
c2 m
m 2 v(v 2) (v 2m 2) m ( 1) c0 (2m )!
西安理工大学应用数学系

x
n0 Cn H n ( x)

Cn
1 2 n!
n
e

f ( x 0) f ( x 0) 2
x2
f ( x) H n ( x)dx
西安理工大学应用数学系
例2：将f ( x) e x 在 (, ) 内展成Hermite多项式的级数形式 解 ：设 则
2
即
n 1 2 x 2 n n n H ( x ) t H ( x ) t H ( x ) t n 1 n n 1 ( n 1)! n ! ( n 1)! n 0 n 0 n 1
比较同次幂系数有
H1 ( x) 2xH0 ( x)
n 1 2x 2 H n 1 ( x) H n ( x) H n 1 ( x) (n 1)! n! (n 1)!
§7.3
Hermite多项式的正交性及其应用
(, ) 上关于权函数 { H ( x )} 结论：Hermite多项式 n n 1 在 2 正交，即 f ( x) e x
e
证明从略。
x2
mn 0, H m ( x) H n ( x)dx n 2 n ! , m n
即
Hn1 ( x) 2xHn ( x) 2nHn1 ( x) 0, n 1, 2,
西安理工大学应用数学系
Hn1 ( x) 2xHn ( x) 2nH n1 ( x) 0 Hn ( x) 2xHn1 ( x) 2(n 1) Hn2 ( x) 0
( x) 2nHn1 ( x), n 1, 2, Hn
n 2
前几次Hermite多项式
H 0 ( x) 1
H1 ( x) 2 x
H 2 ( x) 4 x 2 2
H 3 ( x) 8x3 12 x
2
H4 ( x) 16x - 48x + 12
4
H5 ( x) 32x5 -160x3 +120x
西安理工大学应用数学系
结论：设f(x)为定义在 (, ) 上的函数，且满足 （1）f(x)在任何有限区间 (a, a) 内都是分段光滑的函
数；
（2）



xe
x2
f 2 ( x)dx
西安理工大学应用数学系
则f(x)必能展成如下形式的级数： 在连续处有 在不连续处有 其中
f ( x) n 0 Cn H n ( x)

2
比较同次幂系数有
( x) 0 H0
1 2 H n ( x) H n 1 ( x) n! (n 1)!
即
( x) 2nHn1 ( x), n 1, 2, Hn
西安理工大学应用数学系

1 w( x, t ) H n ( x)t n n 0 n ! w 2( x t )e 2 xt t 2( x t ) w t n 2x 2 n 1 n n 1 H ( x ) t H ( x ) t H ( x ) t n n n n 1 n ! n0 n ! n0 n !
西安理工大学应用数学系
y k 0 ck x m 0 c2 m x
k

2m
m 0 c2 m 1 x 2m 1

m 2 v (v 2) (v 2m 2) 2 m m c0 m 0 ( 1) x (2m )! m 2 (v 1)(v 3) (v 2m 1) 2 m 1 c1 m 0 ( 1)m x (2m 1)!
k [( k 2)( k 1) c 2( k v ) c ] x 0 k 0 k2 k
从而有 由上式知
ck 2
2( k v ) ck ( k 2)( k 1)
k 0,1, 2,
2v c2 c0 2!
西安理工大学应用数学系
ck 2 2v c2 c0 2! 2(v 2) 2 2 v ( v 2) c4 c2 c0 4 3 4!
y1 ( x ) y2 ( x )
其中 c0 , c1 是任意常数，又 y1 ( x), y2 ( x) 是方程的两个线 性无关的解，故上式是方程的通解。 两个级数在实数域内收敛。
西安理工大学应用数学系
2. Hermite多项式
2( k v ) ck k 0,1, 2, 考察系数递推关系式 ck 2 ( k 2)( k 1) 当v是正整数n（包括零）时 cn 2 cn 4 0 ， y2 ( x ) 进一步知，当n是偶数（包括零）时，y1 ( x )变成了多项式， y1 ( x ) 仍 仍为无穷级数；当n是奇数时，y2 ( x )变成了多项式， 为无穷级数。 为了了解上述多项式的系数形式，改写递推关系式为 ( k 2)( k 1) ck ck 2 2( n k )
西安理工大学应用数学系
Hermite多项式的微分形式：
e w x H n ( x) ( n ) e n t t 0 t
n n
2
( x t )2
t 0
n x2
2
e n x e (1) e (1) e n n u x ux

t
证明：
w 2te 2 xt t 2tw x w 2( x t )e 2 xt t 2( x t ) w t
2 2
西安理工大学应用数学系
1 w( x, t ) H n ( x)t n n 0 n ! w 2te 2 xt t 2tw x 1 2 2 n n 1 n H ( x ) t H ( x ) t H ( x ) t n n n 1 n ! n ! ( n 1)! n 0 n 0 n 1
e Cn H n ( x)
x n 0
1 Cn n 2 n!
1 e e H n ( x)dx 2n n!
x2 x
2



e x d (e x H n 1 ( x))
2
2
1 x x n [e e H n 1 ( x) e x e x H n 1 ( x)dx] 2 n!
则
k n2
cn 2
n(n 1) cn 2 2
西安理工大学应用数学系
( k 2)( k 1) ck ck 2 2( n k )
则
k n2
n(n 1) cn 2 cn 2 2 ( n 2)( n 3) n( n 1)( n 2)( n 3) cn 4 cn 2 cn 2 2 4 2 24 cn 2m n(n 1)(n 2) ( n 2m 1) (1) cn m 2 2 4 2m
m
n! ( 1) 2 m cn 2 m !( n 2m )!
m
西安理工大学应用数学系
取
cn 2n 则 cn 2 m (1) m
n 2
n! 2n 2 m m!(n 2m)!
当n为偶数时，有系数
m
cn , cn 2 ,
, c2 , c0
，对应多项式
n! n2m y1 ( x) (1) (2 x) 为关于x的偶次方的 m !( n 2 m )! m0 多项式 n! n (2 x) (2 x) n 2 (n 2)! 当n为奇数时，有系数 cn , cn 2 , , c3 , c1 ，对应多项式
n u2 n x2
Hermite多项式的递推公式：
( x) 0 H0
( x) 2nHn1 ( x), n 1, 2, Hn H1 ( x) 2xH0 ( x)
Hn1 ( x) 2xHn ( x) 2nHn1 ( x) 0, n 1, 2,
西安理工大学应用数学系
n 1 2
n! Pn ( x) (1) (2 x)n 2 m 为关于x的奇次方的多项式 m!(n 2m)! m0
m
n次Hermite多项式
西安理工大学应用数学系
统一写法，有
n! H n ( x) (1) (2 x) n 2 m m !(n 2m)! m0
m
y k 0 ck x m 0 c2 m x
k

2m
m 0 c2 m 1 x 2m 1

m 2 v (v 2) (v 2m 2) 2 m m c0 m 0 ( 1) x (2m )! m 2 (v 1)(v 3) (v 2m 1) 2 m 1 m c1 m 0 ( 1) x (2m 1)!



e x x dx e
2
1 4
西安理工大学应用数学系
故
e e Cn H n ( x ) n H n ( x ) n0 n0 2 n !
x


1 4
1 n 2 n!


Βιβλιοθήκη Baidu

e e H n1 ( x)dx
x
x2
注：
e e H 0 ( x)dx
1 4
1 n 2 n!
1 n 2 n!


x
x2

e
e 2n n !
1 4
d e H n ( x) (e x H n 1 ( x)) dx
x2
2
ck 2
2(v 1) c3 c1 3! 2(v 3) 22 ( v 1)( v 3) c5 c3 c1 54 5!
2( k v ) ck ( k 2)( k 1)
k 0,1, 2,
m 2 (v 1)(v 3) ( v 2m 1) m c2 m 1 ( 1) c1 (2m 1)! 从而得方程的解为