时间序列分析模型汇总

10000
15000
20000
25000
30000
5000
19
0
50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82
19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19
84 86 88 90 92 94 96 98
1950-1998年中国水灾受灾面积(单位：千公顷）
2010年11月17日--2011年4月8日上证综指
二、时间序列分析
时间序列分析：是一种根据动态数据揭示系 统动态结构和规律的统计方法。其基本思想： 根据系统的有限长度的运行记录（观察数 据），建立能够比较精确地反映序列中所包 含的动态依存关系的数学模型，并借以对系 统的未来进行预报
例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随 机扰动项（ n =n），模型将是一个1阶自回 归过程AR(1)： Yn=aYn-1+ n 这里， n特指一白噪声。
一般的p阶自回归过程AR(p)是 Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + … + apYn-p + n
(*)
一般的p阶自回归过程AR(p)是 Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + … + apYn-p + n
(4)随机性变化 由许多不确定因素引起的序列变化。它所使用的分析 方法就是我们要讲的时间序列分析。
确定性变化分析 时间序列分析
趋势变化分析 周期变化分析 循环变化分析
随机性变化分析: AR、MA、ARMA模型
Wold分解定理（1938）
• 对于任何一个离散平稳过程{xt } 它都可以分解为两 个不相关的平稳序列之和，其中一个为确定性的， 另一个为随机性的，不妨记作 xt Vt t
xt t t
j t j j 0 d
( B)at
随机性影响
确定性影响
1950-1998年中国水灾受灾面积(单位：千公顷）
45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0
50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 19
例:拟合澳大利亚政府1981——1990年 每季度的消费支出序列
线性拟合
• 模型
, t 1,2,40 xt a bt I t 2 E ( I ) 0 , Var ( I ) t t
• 参数估计方法
– 最小二乘估计
• 参数估计值
ˆ 89.12 ˆ 8498 a .69 , b
• 对任意序列 而言，令 序列值作线性回归 关于q期之前的
其中{t }为回归残差序列， Var(t ) q2
。
– 确定性序列，若
– 随机序列，若
2 lim q 0 q
lim Var( yt )
q 2 q
Cramer分解定理（1961）
• 任何一个时间序列 {xt }都可以分解为两部分的叠 加：其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成 分，另一部分是平稳的零均值误差成分，即
确定性时序分析的目的
• 克服其它因素的影响，单纯测度出某一个 确定性因素对序列的影响 • 推断出各种确定性因素彼此之间的相互作 用关系及它们对序列的综合影响
4-3-2 时间序列趋势分析
• 目的
–有些时间序列具有非常显著的趋势，我们分析 的目的就是要找到序列中的这种趋势，并利用 这种趋势对序列的发展作出合理的预测
(1)
(1)如果随机扰动项是一个白噪声(n=n)，则称(1) 式为一纯AR(p)过程（pure AR(p) process），记为
Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + … + apYn-p +n (2)如果n不是一个白噪声，通常认为它是一个q 阶的移动平均（moving average）过程MA(q)：
t 为随机序列， {Vt } 为确定性序列， t j t j 其中： j 0 它们需要满足如下条件

（1 ）
0 1, 2 j
j 0

（2） t ~ WN (0, 2 )
（3） E(Vt , s ) 0, t s
确定性序列与随机序列的定义
变换后模型
Tt a bt ct2
参数估计方法
线性最小二乘估计
Tt abt
Tt a bct
a ln a b ln b
Tt a b t
线性最小二乘估计
－ －
－ －
迭代法 迭代法
Tt e
Tt
a bc t
1 a bc t
－
－
迭代法
例： 对上海证券交易所每月末上证指数 序列进行模型拟合
循环变动C（Cyclical）
长期趋势T（Trend）
不规则变动I（Irregular）
98 19
-5000
季节变动S（Seasonal）
19 19 19 19 19 19 19 19 19 19
19
19
19
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
对两个分解定理的理解
• Wold分解定理说明任何平稳序列都可以分解为确 定性序列和随机序列之和。它是现代时间序列分 析理论的灵魂，是构造ARMA模型拟合平稳序列 的理论基础。 • Cramer 分解定理是Wold分解定理的理论推广， 它说明任何一个序列的波动都可以视为同时受到 了确定性影响和随机性影响的综合作用。平稳序 列要求这两方面的影响都是稳定的，而非平稳序 列产生的机理就在于它所受到的这两方面的影响 至少有一方面是不稳定的。
CH4-3 时间序列分析模型
4-3-1 时间序列的基本概念
一、时间序列 1、含义：指被观察到的依时间为序排列的数 据序列。 2、特点： （1）现实的、真实的一组数据，而不是数 理统计中做实验得到的。既然是真实的，它 就是反映某一现象的统计指标，因而，时间 序列背后是某一现象的变化规律。 （2）动态数据。
6.3、时间序列模型
参考书:
<金融时间序列分析>
图书馆, 超星电子图书
4-3-4、时间序列模型的基本概念及其适用性
5.3、时间序列模型的基本概念
随机时间序列模型（nime series modeling ）是指仅用它的过去值及随机扰动 项所建立起来的模型，其一般形式为 Yn=F(Yn-1, Yn-2, …, n) 建立具体的时间序列模型，需解决如下三个 问题： (1)模型的具体形式 (2)时序变量的滞后期 (3)随机扰动项的结构
n=n - c1n-1 - c2n-2 - - cqn-q
该式给出了一个纯 MA(q) 过程（ pure MA(p) process）。
将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动平均 （aunoregressive moving average）过程ARMA（p,q）：
平滑法
平滑法是进行趋势分析和预测时常用的一 种方法。它是利用修匀技术，削弱短期随 机波动对序列的影响，使序列平滑化，从 而显示出长期趋势变化的规律
• 简单平均数法 :也称算术平均法。即把若干历史 时期的统计数值作为观察值，求出算术平均数作 为下期预测值。这种方法基于下列假设：“过去 这样，今后也将这样”，把近期和远期数据等同 化和平均化，因此只能适用于事物变化不大的趋 势预测。如果事物呈现某种上升或下降的趋势， 就不宜采用此法。 • 加权平均数法: 就是把各个时期的历史数据按近 期和远期影响程度进行加权，求出平均值，作为 下期预测值。
非线性拟合
模型 变换
Tt a bt ct 2
t2 t 2
参数估计方法 线性最小二乘估计 拟合模型:
Tt 502.2517 0.0952 t2
拟合效果图
时间序列预测法 时间序列预测法可用于短期预测、中期预 测和长期预测。根据对资料分析方法的不 同，又可分为：简单序时平均数法、加权 序时平均数法
拟合效果图
非线性拟合
• 使用场合
–长期趋势呈现出非线形特征
• 参数估计指导思想
–能转换成线性模型的都转换成线性模型，用线 性最小二乘法进行参数估计 –实在不能转换成线性的，就用迭代法进行参数 估计
常用非线性模型
模型
Tt a bt ct 2
变换
t2 t 2
Tt ln Tt
（2）x ˆT 2
1 ˆT 1 xT xT 1 xT 2 x 4 1 1 xT xT 1 xT 2 xT 2 xT xT 1 xT 2 4 4 5 1 xT xT 1 xT 2 xT 3 16 16 5 在二期预测值中 xT 前面的系数等于 16
移动平均法
• 基本思想
–假定在一个比较短的时间间隔里，序列值之 间的差异主要是由随机波动造成的。根据这 种假定，我们可以用一定时间间隔内的平均 值作为某一期的估计值
• 分类
– n期中心移动平均 – n期移动平均
移动平均期数确定的原则
• 事件的发展有无周期性
–以周期长度作为移动平均的间隔长度 ，以消除 周期效应的影响
Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + … + apYn-p + n - c1n-1 - c2n-2 - - cqn-q 该式表明： （1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过 程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随 机扰动项来解释。 （2）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间 的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为 来预测未来。 这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。
• 对趋势平滑的要求
– 移动平均的期数越多，拟合趋势越平滑
• 对趋势反映近期变化敏感程度的要求
– 移动平均的期数越少，拟合趋势越敏感
移动平均预测
ˆT l x 1 l 1 xT l 2 xT l n ) ( xT n
l i xT
ˆT l i , l i x xT l i , l i
例
• 某一观察值序列最后4期的观察值为： 5，5.4，5.8，6.2 ˆT 2 （1）使用4期移动平均法预测 x 。 ˆT 2中 xT前面的系数等 （2）求在二期预测值 x 于多少？
解
1 5 5.4 5.8 6.2 ˆT 1 xT xT 1 xT 2 xT 3 5.6 （1）x 4 4 1 5 . 6 5 5 .4 5 .8 ˆT 2 x ˆT 1 xT xT 1 xT 2 x 5.45 4 4
需要说明的是，在上述模型的平稳性、识别与估计的讨 论中，ARMA(p,q)模型中均未包含常数项。
如果包含常数项，该常数项并不影响模型的原有性质， 因为通过适当的变形，可将包含常数项的模型转换为不含常 数项的模型。 下面以一般的ARMA(p,q)模型为例说明。 对含有常数项的模型
X t 1 X t 1 p X t p t 1 t 1 q t q
• 常用方法
– 趋势拟合法 – 平滑法
趋势拟合法
• 趋势拟合法就是把时间作为自变量，相应 的序列观察值作为因变量，建立序列值随 时间变化的回归模型的方法 • 分类
– 线性拟合 – 非线性拟合
线性拟合
• 使用场合
–长期趋势呈现出线形特征
• 模型结构
xt a bt I t E ( I t ) 0,Var( I t )
三、确定性时间序列分析与随机性时间序列分 析: 时间序列依据其特征，有以下几种表现形式， 并产生与之相适应的分析方法： （1）长期趋势变化 受某种基本因素的影响，数据依时间变化时 表现为一种确定倾向，它按某种规则稳步地 增长或下降。 使用的分析方法有：移动平均法、指数平滑法、 模型拟和法等；
（2）季节性周期变化 受季节更替等因素影响，序列依一固 定周期规则性的变化，又称商业循环。 采用的方法：季节指数； （3）循环变化 周期不固定的波动变化。