(完整版)数列与函数结合的综合问题

数列综合问题之数列与函数
思想方法：关键是应用函数的解析式和性质得到数列的通项或递推关系。

例1：已知函数2()(,)x a f x b c N bx c +=
∈+中，1
(0)0,(2)2,(2)2
f f f ==-<-， （1） 求函数()f x 的解析式；（2）各项均不为零的数列{}n a 满足：1
4(
)1n n
S f a =g ，求通项n a ？（3）在条件（2）下，令2n
n n b a =g ，求数列{}n b 的前n 项和？
分析：由题知：
0,2a b c ===，所以
2
()22
x f x x =
-，所以可求得：
2
112()(1)0n n n n n n n n S a a a a a a a n ++=-⇒+-+
=⇒=-g
例3：函数[)()2,2,f x x x =-∈+∞；（1）求()f x 的反函数1
()f
x -；（2）数列{}n a 满足：
1
1()n n S f S --=，且12a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）在条件（2）下，令22
*11()2n n
n n n
a a
b n N a a +++=∈g ，求
数列{}
n b 的前n 项和？
分析：（1）由题知：12
(),0f x
x -=
≥；（2
42n a n =⇒=-
（3）222
11111()2111()222121
n n
n n n n n n n n n a a a a a a b a a a a n n ++++++--===+--+g
例4、设函数
()2
41
+=
x
x f ， (1) 证明：对一切R x ∈，f(x)+f(1-x)是常数；
(2)记()()()+∈+⎪⎭
⎫
⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=N n f n n f n f n f f a n ,11......210，求n a ,并求出数列{a n }的前n 项和。

解：∵
()241+=
x x f ， ∴()(1)f x f x +- =111
4242
x x
-+++ 1142421
(42)(42)2
x x x x --+++==++
()()()+∈+⎪⎭
⎫
⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=N n f n n f n f n f f a n ,11 (210)
()()()12211......0,n n n a f f f f f f n N n n n n +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∴2n
a =12n + ∴n a =14n + ∴Sn=111()
442
n n +++=(3)8n n +
例1：()f x 是R 上不恒为零的函数，且对任意,a b R ∈都有：()()()f a b af b bf a =+g ，
（1） 求(0)f 与(1)f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）若(2)2f =，*(2)
,()n n f u n N n
-=∈，求数列{}n u 的前n 项和n S ？
简析：（1）(0)0,(1)0f f ==；（2）2
(1)((1))(1)(1)(1)0f f f f f =-=----⇒-=，再令
1,,()1()(1)()a b x f x f x x f f x =-=-=-+-=-g g ，所以为奇函数；
（2） 当0a b ≠g 时，
()()()f ab f b f a ab b a =+
，令函数()
()f x g x x
=，所以有：()()()()()n g ab g b g a g a n g a =+⇒=g
，
所
以
有：
1()
()()()()n n
n n n n
f a
g a f a a g a n a n f a a
-=⇒==g g g g ，得
1
1
1111(2)()()2222n n n n f n f u f ---⎛⎫⎛⎫
=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
g g g ；
又因为：1111(1)2()(2)()2222f f f f =+⇒=-，所以：12n
n u ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，112n
n S ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭。

例2、已知函数))((*∈N n x f n 具有下列性质：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=);
1,,1,0(111,21)0(n k n k f n k f n k f n k f n f n n n n n
Λ
（1）当n 一定，记,1
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
n k f a n k 求k a 的表达式);,,1,0(n k Λ= （2）对.3
1)1(4
1,≤<∈*n f N n 证明
解：（1）⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛+n k f n k f n k f n k f n n n n n 111Θ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++∴n k nf n k f n n n 1)1(,1⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛n k f n k f n n
即
,111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+n k f n n k f n n n 又,1⎪⎭
⎫ ⎝⎛=n k f a n k ,1)1(1=-+∴+k k na a n
)1)(1()1(1-+=-∴+k k a n a n ，即
n
a a k k 1
1111+=--+，由n 为定值， 则数列}1{-k a 是以10-a 为首项，n
1
1+
为公比的等比数列， k k n
a a )1
1)(1(10+-=-∴，
由于);,,1,0(111,2)0(10n k n a f a k
k n Λ=⎪⎭
⎫
⎝⎛++=∴==
（2）n n n n k n a f n k f a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛++==∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=
1111
1)1(,1Θ， 欲证
3
1
)1(41≤<n f ， 只需证明41113<⎪⎭⎫
⎝⎛++≤n
n ，
只需证明,3112<⎪⎭
⎫
⎝⎛+≤n
n
++++=+ΛΘ2221111)11(n C n C n n n n n n n
C 1 ,
211≥++=Λ n n n n n n n C n C n C n 1111)11(221++++=+Λ Λ+-+
+=2
2)1(11n
n n n
n
n n n !1
2)1(⋅-+
ΛΛ
2
1
12112122
1
212111!1!21112-⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛-+
=+++++<++++≤n n n ΛΛ.
3213<⎪⎭⎫
⎝⎛-=n
例3：已知函数()f x 是定义在*N 上的函数，且满足(())3,(1)2f f k k f ==。

设1(3)n n a f -=，11b =且
有：3131log ()log ()n
n b f a b f a -=-；（1）求证：
31212()()()4
n n b b b b
f a f a f a +++<L ； （2）若
122411122224141
()()()()
n n n n n n n n n n n n f a f a f a f a m a b a b a b a b +++++++++++++≤L 对于任意的*1,n n N >∈恒成立，求m 的取
值范围。

解：（1）由于1(3)n n a f -=，所以有11()((3))333n n n n f a f f --===g ，也有：3log ()n f a n =
由：3131log ()log ()n
n b f a b f a -=-，得n b n =，令1212()()()
n n n b b b
S f a f a f a =
+++L ，也即有：21233333n n n n S =
++++L ，由错位相减得出：31213113()3223244
n n n b
S n S +=-+<⇒<=g （
2
）
由
(())3((()))(3)3()(3)
f f k k f f f k f k f k f k =⇒=⇒=，所以：
11(3)3(3)3n n n n a f f a -+===，又因为
01(3)(1)20a f f ===≠，所以{}
n a 是等比数列，有
1
23n n a -=g ，又
()3
n
n f a =，
所
以
有
了
：
1()331
232n n n n n f a a b n n
-==g g g ，设
124111224141()()()31111
()212241
n n n n n n n n n n f a f a f a T a b a b a b n n n n ++++++=
+++=++++++L L 有：
11311111()
2212245141
314()2(21)(22)(41)(4)3302(21)(22)(41)(45)n n n n
T T n n n n n n n n n n n n n T T ++-=++--+++++=-++++-=<++++⇒<g 所以n T 是单调递减的。

也当2n =时，n T 取得最大值2311125()234924T =
++=，由题有：2524
m ≥。

练习：已知函数f (x )定义在区间（-1，1）上，1)2
1
(-=f ,且当x ,y ∈(-1,1)
时，恒有
)1()()(xy y x f y f x f --=- ,又数列{a n }满足2
1112,21
n
n n a a a a +==+,设
)
(1
)(1)(121n n a f a f a f b +⋯++=
． （１）证明：f (x )在（-1，1）上为奇函数； （２）求f (a n )的表达式；
（３）是否存在自然数m ，使得对任意n ∈N ,都有4
8
-<m b n 成立，若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．
讲解 （１）紧扣奇函数的定义，选择特殊值．令x=y=0，则f (0)=0，再令x=0,得f (0)-f (y )=f (-y ),所以f (-y )=-f (y ),y ∈(-1,1),故f (x )在（-1，1）上为奇函数．
（２）),1(
)()()1(,1)21()(1xy
y
x f y f x f f a f ++=+-==知由Θ )(2)()()1()12(
)(2
1n n n n
n n
n n
n
n a f a f a f a a a a f a a f a f =+=⋅++=+=∴+，
即
2)
()
(1=+n n a f a f ，
∴{f (a n )}是以-1为首项，2为公比的等比数列，从而有f (a n )=-2n-1
. （３）先求n b 的表达式，得
2111111112(1)21222212
n n n n b ---
=-+++⋯+=-=-+-， 若4
8-<m b n 恒成立（n ∈N +）,则112224n m
--+<-，
即 14
.2
n m ->
∵n ∈N +，∴当n =1时，12
4
-n 有最大值4，故m >4．又∵m ∈N ,∴存在m =5，使得对任意n ∈N +，都有48-<
m b n 成立.
评注 递推数列是高考的热点题型，而本题将函数、数列、不等式融为一体，其综合度比较大，覆盖的知识点比较多，当中的＂恒成立＂又是高考的热门话题，还请读者多多总结该题型的解法技巧．由函数与数列综合是高考试题的一个亮点。