自适应谱线增强器

用LMS 算法实现对自适应谱线增强器的仿真
自适应谱线增强器最早是由Widrow 等人于1975年在研究自适应噪声相消时提出来的，目的是将正弦波与宽带噪声分离开来，并提取正弦波信号。

相反，如果正弦波信号是希望抑制的噪声或干扰（如在医学生物仪器中，50Hz 的交流电称为市电干扰），实现这一任务的自适应滤波器则称为陷波器。

现在，自适应谱线增强器和陷波器已广泛应用于瞬时频率估计、谱分析、窄带检测、语音编码、窄带干扰抑制、干扰检测、数字式数据接收机的自适应载体恢复。

此次作业要求用LMS 算法实现自适应谱线增强器的仿真。

LMS 格型自适应滤波算法：
初始化：)()()(00n x n g n f ==；2
0)()(n x n P =；)(1n k 接近于1，如998.01=k 。

步骤1 计算前、后向残差
)1()()()(11-+=--n g n k n f n f m m m m
)1()()()(11-+=--*
n g n f n k n g m m m m
步骤2 求中间系数
)1
()()0()1()(1111-+-=*----n g n f n C n C m m m m ω ])1()1()()[0()1()(2
12111--++-=----k g k f n D n D m m m m ββω
步骤3 计算反射系数
)()()(11n D n C n k m m m ---=
自适应谱线增强器与陷波器的基本原理：
1. 谱线增强器与陷波器的传递函数 考虑下面的观测函数信号
)()sin()()()(1n v n A n v n s n x i i p
i i ++=+=∑=θω (1)
式中i i i A θω,,分别是第i 个正弦波信号的幅值，频率和初始相位；)(n v 为加性的宽带噪声，可以是有色的。

现在，希望设计一个滤波器，让)(n x 通过该滤波器后，输出中只含有p 个
正弦波信号)(n s ,而没有其他任何信号或噪声。

由于p 个正弦波信号的功率谱为
p 条离散的谱线，所以这种只抽取正弦波信号的滤波器称为谱线增强器。

令)
(ωH 是谱线增强器的传递函数，为了抽取p 个正弦波，并拒绝所有其他信号和噪声，传递函数)(ωH 必须满足下面的条件：
⎩⎨⎧==，其他
，，
，若01)(1p H ωωωω (2)
反之，若滤波器的传递函数
⎩⎨⎧==，其他
，，
，若10)(1p H ωωωω (3)
则滤波器将抑制掉p 个正弦波信号，并让)(n v 完全通过。

这种滤波器的作用相当一个正弦波的陷井，故称为陷波器。

下图(a)和(b)分别针对三个正弦波信号示出了谱线增强器和陷波器的传递函数的曲线。

（a ） 谱线增强器
（b ） 陷波器
自适应谱线增强器或陷波器是一种自适应滤波器，其传递函数满足式（2）或式（3）。

事实上，自适应谱线增强器很容易由自适应陷波器实现，见图1。

图1 用自适应陷波器构成的自适应谱线增强器
如图，观测信号)()()(n v n s n x +=通过自适应陷波器，抑制掉正弦波信号，
产生)(n v 的最优估计)(ˆn v
，然后与观测信号相减，产生正弦波信号的估计)(ˆ)()()(ˆn v n v n s n s
-+=。

如果陷波器是理想的，则)()(ˆn v n v =，从而使得)()(ˆn s n s
=。

利用陷波器构造的自适应谱线增强器简称为陷波器自适应谱线增强器。

2. 基于IIR 格型滤波器的自适应陷波器
基于自适应无限冲激响应（IIR ）滤波器可以实现自适应陷波器和自适应谱线增强器。

由Rao 与Kung 提出的基于IIR 陷波器的自适应谱线增强器的原理如图1所
示。

为了增强一个正弦波信号n j re n s ω=)(，陷波器的传递函数由
2
22112211111111)1)(1()
1)(1()(----------++++=----=z
a z a z z z are z are z re z re z H j j j j ωωωωωωωω （4） 给定，式中ωωcos 21r =和22r =ω，而α是一个决定陷波器带宽的参数。

由上面的传递函数式知，当ωj re z ±=和1≠α时，0)(=z H 。

另一方面，当
ωj re z ±≠和1→α时，1)(≈z H 。

因此，只要选择1→α，即可近似实现陷波作用，
并且α越接近于1，)(z H 的陷波作用越理想。

图1所示的谱线增强器的自适应
算法是调节权系数1ω和2ω,使估计误差)(ˆn v
的均方值为最小，这可用高斯-牛顿算法（如LMS 算法等）实现。

但是，高斯-牛顿算法对某些初始条件敏感。

为了改进直接IIR 陷波器的缺陷，Cho 等人提出在图1所示的谱线增强器中使用格型IIR 陷波器代替直接式IIR 陷波器实现陷波器传递函数。

这种格型IIR 滤波器的结构如图2所示，由两个格型滤波器级联而成。

上方的格型滤波器)(1z H 的输入为)(n x ,输出为)(0n s ；而下方的格型滤波器)(2n H 的输入为)(0n s ，输出为
)(2n s 。

图2 格型IIR 滤波器
由图2可以写出格型滤波器)(1z H 和)(2z H 的输入、输出方程的Z 变换形式分别为：
)()(])1(1[021110z X z S z a z a a =+++-- )()(])1(1[2021110z S z S z k z k k =+++--
因此，两个格型滤波器的传递函数分别定义为
22110022)1(1)
()
()(--+++=z k z k k z S z S def
z H 由此得整个格型滤波器的传递函数为
2
111021*********)1(1)1(1)()()()
()()()()()(----++++++===z a z a a z k z k k z H z H z X z S z S z S z X z S def z H （5） 可见，图2上方的格型滤波器)(1z H 贡献为整个格型滤波器的极点部分，相当于AR 模型；而下方的格型滤波器)(2z H 则贡献为整个格型滤波器的零点部分，它是一个格型FIR 滤波器。

因此，整个格型滤波器具有无限多个冲激响应，为IIR 格型滤波器。

由于式（5）必须满足陷波器的条件式（4），又由于α接近于1，因此，有以下近似关系式：
1121k k a αα≈= 00k a ≈
可知，权系数0a 和1a 由权系数0k 和1k 确定。

由于)(1z H 是一极点模型，为了保证这一滤波器的稳定性，)(1z H 的极点必须位于单位圆内，即权系数的模0a 和1a 都必须小于1。

因此，)(2z H 的权系数的模0k 和1k 也必须小于1。

仿真结果及结果分析：
上为自适应谱线增强器的仿真图，可以看出仿真结果与预期希望的基于IIR 型的格型滤波器的自适应陷波器的传递函数一致，图中红色的原始正弦波信号与蓝色的正弦波估计信号基本相重叠，也就是说，LMS算法具有良好的跟踪性能。

此图为信号误差图，从图中可以看出信号误差幅度的波动范围不大，在
dB 021010--的范围内波动，即其信号误差比较小，由此可以得出，LMS 算法具
有良好的跟踪性能。