线性变换的核和值域的若干性质的讨论(3)(1)

LUOYANG NORMAL UNIVERSITY

2010届本科毕业论文

线性变换的核和值域的若干性质的讨论

院（系）名称数学科学学院

专业名称数学与应用数学

学生姓名高远晓

学号060414047

指导教师周慧倩讲师

完成时间2010.5

线性变换的核和值域的若干性质的讨论

高远晓

数学科学学院数学与应用数学学号：060414047

指导教师：周慧倩

摘要：本文给出了在什么样的特殊线性变换下,线性变换的核和值域的直和是整个线性空间；线性变换为可逆线性变换；线性变换的核和值域互为正交补.

关键词：线性变换的核和值域；逆变换；直和；正交补

0 引言

线性变换是高等代数中的一个重要的知识点,在线性空间中有举足轻重的地位,不管是在理论研究中还是在实际应用中都有极其重要的地位.这也就要求我们必须在线性变换这方面多多思考,认真学习.在对课本上的知识学习外有必要多看看其他相关的书籍和文献,对自己将来的研究或工作都是有益的.

线性变换的核和值域是线性空间的一个重要概念,除了基本的性质之外,特殊的线性变换还具备一些特殊的性质,同时一些具有特殊性质的线性变换的核和值域的关系也反映了一些特殊的线性变换.文献[1]中已经给出了线性变换相应的性质,我们可以在此基础上,思考线性变换的核和值域的特殊性质.如什么样情况下其直和为整个空间；核和值域还有那些特别的性质；什么情况下其直和互为正交补.并对一些不满足的情况给出了反例.

1基本概念和基本定理

定义1.1 线性变换的核和值域的概念[]2

设σ是数域上P的线性空间V的一个线性变换,σ的全体象组成的集合称为σ表示,所有被σ变成零向量的向量组成的集合称为σ的核,用σ的值域,用()V

()10σ-表示.

σ的核()10σ-又记作()Ker σ,σ的值域()V σ又记作Im()σ.

即(){

}()0,Ker V σζσζζ==∈,(){}Im()V σσζζ=∀∈.

定义1.2 直和的概念[]1

设1V ,2V 是线性空间V 的子空间,如果和12V V +中每个向量α的分解式 12=+ααα, 1122,V V αα∈∈ ,

是唯一的,这个和就称为直和,记为12V V ⊕.

定义1.3 欧氏空间正交补的概念[]1

子空间2V 称为子空间1V 的一个正交补,如果1V ⊥2V ,并且12V V V +=.

定理1.1 （维数公式） 如果1V ,2V 是线性空间V 的两个子空间,那么 ()()()()121212dim dim dim dim V V V V V V +=++⋂.

定理1.2 设1V ,2V 是V 的子空间,令12W V V =+,则

12W V V =⊕

的充分必要条件为

()()()12dim dim dim W V V =+.

2 线性变换的核和值域的直和是整个线性空间的条件

定理2.1 设σ是数域F 上线性空间V 的一个线性变换,在V 是有限维向量空间的情形,我们有σ的核()Ker σ与σ的值域Im()σ的维数之和等于V 的维数,即：dimIm()dim ()Ker n σσ+= .

证明：参考文献[1].

应该指出,虽然子空间()Im σ与()Ker σ的维数之和为n ,但是Im()()Ker σσ+并不一定是整个空间.

例 1 设是三维向量空间V 是实数域R 上的线性空间,σ为三维线性空间的一

个线性变换.相性无关的三个向量1α,2α,3α为V 的一组基,分别为

()11,0,0α=,()20,1,0α=,()30,0,1α=.其中()()10,0,0σα=,()()20,0,0σα=, ()()30,1,0σα=.

证明：由题可知dimIm()dim ()3Ker σσ+=,但是Im()()Ker σσ+不是整个三维空间.因为Im()()Ker σσ+只有两个线性无关的向量()11,0,0α=和()20,1,0α=,这与三维线性空间为三维空间相矛盾.

对于一般的线性变换虽然有性质2.1知满足性质()()dimIm dim Ker n σσ+=.但是很多的线性变换是不满足()()dimIm dim V Ker σσ=+这个性质的,由例1知空间V 不一定等于()()Im Ker σσ+.那么一般来说空间V 不是线性变换的核和值域的直和,即()()Im V Ker σσ=⊕不一定成立.如：设[]n F x 表示数域F 上所有次数不大于n 的多项式及零多项式所成的向量空间,令()()':f x f x σ→,则

()[]1Im n F x σ-=,()Ker F σ=,满足()()dimIm dim Ker n σσ+=,但

()(){}Im 0Ker F σσ⋂=≠,()()Im V Ker σσ≠⊕.下面我们讨论什么样的情况下有Im()()V Ker σσ=⊕.

引理 ()()Im V Ker σσ=+的充分条件为()(){}

Im 0Ker σσ⋂= . 证明 由定理2.1知dimIm()dim ()Ker n σσ+=,因,()(){}

Im 0Ker σσ⋂= ,由维数公式知

()()()dim Im dimIm()dim ()Ker Ker n σσσσ+=+=.

因此可得

()()Im V Ker σσ=+.

定理2.2 ()()Im V Ker σσ=⊕的一个充分条件为2σσ=.

证明：任取()()Im Ker ασσ∈⋂,由()Ker ασ∈得()0σα= .

由()Im ασ∈知存在V ξ∈使()σξα=,则()()20ασξσξ=== .

所以()(){}

Im 0Ker ασσ∈⋂= . 由引理和()()Im Ker V σσ+⊆可知

()()Im V Ker σσ=⊕.

对此题的条件2σσ=给以推广可得：

定理2.3 设σ是n 维向量空间V 的线性变换,则V ()()Im Ker σσ=⊕的充要条件是()()2dimIm dimIm σσ=.

证明 （充分性） 设2dim Im()dim Im()σσ=,则

22dim Im()dim ()dim Im()dim ()Ker Ker n σσσσ+=+=.

因2dim Im()dim Im()σσ=,于是2dim ()dim ()Ker Ker σσ=.

但2()()Ker Ker σσ⊆,于是2()()Ker Ker σσ=.

再证{}Im()()0Ker σσ⋂=.

因为Im()()Ker βσσ∀∈⋂,V γ∃∈,使()βσγ=,且()0σβ=,

所以

()()20σγσβ==,2()()Ker Ker γσσ∈=.

故()0βσγ==.即证{}Im()()0Ker σσ⋂=.

由dimIm()dim ()Ker n σσ+=,{}Im()()0Ker σσ⋂=,可得

Im()()V Ker σσ=⊕.

（必要性） 设Im()()V Ker σσ=⊕,因为()2Im()Im()Im()σσσσ=⊆,且Im()βσ∀∈,V α∃∈,使()βσα=.

于是可设

12ααα=+,其中12Im(),()Ker ασασ∈∈.

则