电动力学 唯一性定理

n ( E2 E1 ) 0 n ( D2 D1 )
E2t E1t D2 n D1n
n
E1 E2
c.球对称性尝试解
A E1 3 r r A E2 3 r r
(对左边介质) (对右边介质)
1
2
尝试解满足b.中的边值条件及导体壳为 等势体条件
c.验证尝试解是否满足内导体总电荷量为 Q 的条件 高斯定理应用于内球壳( S1 , S 2 为左右半球面)
' ' i j n i n j ' ' j n i n j
且有 ' S ' ' S 或 b.令 ' ' '
' n

S
' ' n
S
则有 0 ；i j ；
D dS ε E
1 S S1
1
dS ε2 E 2 dS Q
S2
由尝试解
A E1 3 r r
A E2 3 r r
得
2 (1 2 ) A Q
d. 故
Q A 2 ( 1 2 )
Q E1 r 3 2 ( 1 2 ) r Q E2 r 3 2 ( 1 2 ) r
S 上给定
S
S1
S V'
或 n
S2
S
2. 确定静电场的条件有两种类型
a.给定每个导体上的电势 i b.给定每个导体上的总电荷 Qi 3.给定每个导体上的电势 i
由1.的给定条件，可得 V ' 的边界上的 都已给定，则由第一部分均匀分区的唯一 性定理可得， V ' 内的电场被唯一确定
4.给定每个导体上的总电荷 Qi a. 条件 * 给定 V ' 内的电荷分布
在 V ' 内满足 泊松方程
2
S1
S V'
S2
S 或 * 给定 S 上的 n
S
* 由导体表面边界条件 在第 i 个导体上满足
i
n

Si
可得
n
dS Qi

0
即在V 内 const
i. 由b. ' ' ' 得 ' 和 ' ' 只相差一常数 E 得 E' E' ' ，即电场唯一

有导体存在时的唯一性定理
1.研究体系：含一种均匀介质V (边界 S ),内有
一些导体 i ，导体表面为 Si ，除去导体之外 的区域为 V ' 。 V ' 的边界为 S 和众多的 S i 给定条件： V ' 内电荷分布为
* 等势面条件 S i const
b. 结论
V 内的电场唯一确定
c. 证明 设电势有两个解 ' 和 ' ' 满足上述条件
即 c1. 2 ' （ V ' 内）
2 ' ' （ V ' 内）
c2. 'dS Q ; ' 'dS Q i i
由导体表面边界条件
n
可得
导体表面上的电荷密度

例题 同心导体球壳间充以左右两种介质，内球壳 带电量为 Q ，外球壳接地 求：电场和内球壳上的电荷分布
E1 E2
1
Q 2
解： a.设两介质内的电势、电场强度和电位移 D1 和 2 ， E2 ， D2 分别为 1 ，E1 ， b.两介质界面上的边值关系
上的积分相互抵消
g.由c. S 0 或
i
n
0
S
i dS 在V 的外边界面上 故积分 i S
的积分亦为零 h.由f. 和 g. 得 i dS 0 i
Si
故由e.

i
Vi
i ( ) 2 dV 0
i ( ) 2 0
Si
n
Si
n
c3. ' S , ' ' S ~ const
i i
' ' ' ' S ' ' S const 或 const n S n S
c4. 令 ' ' ' 由c1.得 0 （ V ' 内）
2
c5. 由c2.得 n dS 0 Si
n
(纽曼条件)
S
则V 内的电场唯一地确定
证明: (反证法) a.设有两组不同的解 ' 和 ' ' 满足唯一性定理 的条件，则有
2 ' i
i ' j ' ； ； 2 ' ' ' ' i i ' ' j ' ' i
i Si
Vi
( i )dV
i ( ) 2 dV i 2dV
Vi Vi
2 d S ( ) dV i i Si Vi
e.对所有分区求和
2 d S ( ) dV i i i Si i Vi
c6. 由c3.得 S 0
c7. 在区域 V ' 内
S
或
n
0
S
dS dS dS
Si
i
S
Si
i
( )dV ( ) 2 dV 2dV
V' V' V'
c7.
dS i dS i dS 0 n n Si Si Si
2
i j n i n j
c.同时有
S ' S ' ' S 0
或
n
S
' n

S
' ' n
0
S
d.考虑第 i 个均匀区域
Vi
界面
Si
上的积分
0 (由b.)
dS
(对左边介质) (对右边介质)
e.上面的尝试解满足所有边界条件 故是唯一正确的解
f. g.
E
仍具有球对称性
D2 2 E2
D1 1 E1 D1
和
D2
皆以球心为中心向四周辐射，
但 h.
D 不具球对称性
1Q σ1 D1r 1 E1r 2 ( 1 2 ) a 3 (对左半球) 2Q σ 2 D2 r 2 E2 r 3 (对右半球) 2 ( 1 2 ) a
？
由c5. ？
故
Si
i
dS 0
dS dS 0 n S S
c8. 由c6.得 c9. 由c4.得

V'
2dV 0
பைடு நூலகம்
c10. 由c7，8，9.得 故电场唯一确定

V'
( ) 2 dV 0
0
5.如果导体外的电势确定
静电势的解法 唯一性定理
对于均匀系统

2
电势分布
电荷分布
唯一性定理

静电问题唯一性定理的意义 1. 确定静电场的条件 2. 确立尝试解的作用

静电问题的唯一性定理 1. 可均匀分区区域的泊松方程及边值关系 a. 研究体系：空间区域V,可分为若干个介电 常数分别为 i 的均匀区域 Vi b. 区域V内有电荷分布 ( x ) （介质分界面上 f 0 ）？ c. 则均匀区域 Vi 内的电势满足泊松方程
2 i
d. 区域
i
Vi
和 V j 分界面上满足边值关系
i j
j n i n j
2.唯一性定理 可均匀分区区域V 内给定自由电荷分布 ( x ) ， 在V 的边界S 上给定 (i) 电势 S (狄里赫利条件) 或 (ii) 电势的法向导数
f.由b. i j 且 在
Vi
i
j n i n j
i j
和
Vj
但 dSi dS j
i
的界面上有 i dS S j dS S ?
i dS 在所有内部介质界面 故积分 i S
故 σ 不具球对称性