2017年北京市高考文科数学试卷

2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.（2017北京卷文）已知全集U R =，集合{|2A x x =<-或2}x >，则U C A =（ ） A.()2,2- B.()(),22,-∞-+∞U C.[]2,2-
D.(][),22,-∞-+∞U
【答案】：C 【解析】：{2A x x =<-Q
或}2x >，[]2,2U C A ∴=-，故选C .
【考点】：集合的基本运算 【难度】：易
2.（2017北京卷文）若复数()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）
A.(),1-∞
B.(),1-∞-
C.()1,+∞
D.()1,-+∞
【答案】：B
【解析】：()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩
，
解得：1a <-，故选B ．
【考点】：复数代数形式的四则运算 【难度】：易
3.（2017北京卷文）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）
A.2
B.32
C.53
D.8
5
【答案】：C
【解析】：0k =时，03<成立，第一次进入循环11
1,21k s +===，13<成立，第二次进入循环,2132,22k s +===，
23<成立，第三次进入循环31
523,332
k s +===，33< 否，输出53s =，故选C ．
【考点】：程序框图 【难度】：易
4.（2017北京卷文）若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，
，， 则2x y +的最大值为（ ）
A.1
B.3
C.5
D.9
【答案】：D
【解析】：如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12
-的一组平行线，当过
点()3,3C 时，目标函数取得最大值max 3239z =+⨯=，故选D ．
【考点】：二元一次不等式组与简单的线性规划 【难度】：易
5.（2017北京卷文）已知函数1
()3()3
x x f x =-，则()f x （ ）
A.是偶函数，且在R 上是增函数
B.是奇函数，且在R 上是增函数
C.是偶函数，且在R 上是减函数
D.是奇函数，且在R 上是减函数
【答案】：B
【解析】：()()113333x
x
x
x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，所以函数是奇函数，并且3x
是增函数,13x
⎛⎫
⎪⎝⎭
是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数故选B ． 【考点】：函数奇偶性和单调性 【难度】：易
6.（2017北京卷文）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A.60
B.30
C.20
D.10
【答案】：D
【解析】：由三视图可知三棱锥的直观图如下：S ABC -,11
3541032
S ABC V -=⨯⨯⨯⨯=，故选D.
【考点】：三视图 【难度】：易
7.（2017北京卷文）设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”
的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】：A
【解析】：若0λ∃<，使m n λ=r r ，即两向量反向，夹角是0180，那么
0cos1800m n m n m n ⋅==-<r r r r r r ，反过来，若0m n ⋅<r r
，那么两向量的夹角为
(0
90,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不
必要条件，故选A ．
【考点】：向量、不等式、逻辑运算 【难度】：易
8．（2017年北京文）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与M
N
最接近的是（ ） （参考数据：lg30.48≈） A. 3310
B.5310
C.7310
D.9310
【答案】D
【解析】361
3M ≈ ， 80
10N ≈ ,361
80
310M N ≈
两边取对数361
36180803lg lg lg 3lg109310
M N ≈=-≈ ，所以9310M N ≈ 【考点】：对数运算 【难度】：易
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9.（2017年北京文）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1
sin 3
α=，则sin β= .
【答案】
13
【解析】根据题意得2,k k Z αβππ+=+∈
所以1sin sin 3
βα==
【考点】：三角函数定义+差角公式 【难度】：易
10.（2017年北京文）若双曲线2
2
1y x m
-=
m =
.
【答案】2
【解析】根据题意得2
2
1,a b m ==
且222a b c c
e a
⎧+=⎪⎨==⎪⎩，解得2m = 【考点】：双曲线离心率 【难度】：易
11.（2017年北京文）已知0,0x y ≥≥，且1x y +=，则2
2
x y +的取值范围是
.
【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】0,0,1x y x y ≥≥+=Q
[]0,1x ∴∈
2
2
2
2
2
2
11(1)221222x y x x x x x ⎛
⎫∴+=+-=-+=-+ ⎪⎝
⎭
∴当12x =
时，22
x y +取得最小值为12
当0x =或1x =时，2
2
x y +取得最大值为1
∴22x y +的取值范围为1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【考点】：函数求最值 【难度】：易
12.（2017年北京文）已知点P 在圆2
2
1x y +=上，点A 的坐标为()2,0-，O 为原点，
则AO AP ⋅u u u r u u u r
的最大值为_______.
【答案】6
【解析】Q 点P 在圆2
2
1x y +=上
设点P 坐标()00,x y ，满足22
001x y +=
()2,0AO =u u u r ，()002,AP x y =+u u u r ，()002224AO AP x x ⋅=+=+u u u r u u u r
011x -≤≤Q ，26AO AP ≤⋅≤u u u r u u u r
AO AP ∴⋅u u u r u u u r
的最大值为6
【考点】：圆的方程+向量+求最值 【难度】：中
13.（2017年北京文）能够说明“设,,a b c 是任意实数.若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为_______.
【答案】1,2,3---
【解析】取,,a b c 分别为1,2,3---不满足a b c +>，故此命题为假命题 （此题答案不唯一）
【考点】：简易逻辑命题真假判断 【难度】：易
14.（2017年北京文）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (i)男学生人数多于女学生人数； (ii ) 女学生人数多于教师人数； (iii) 教师人数的两倍多于男学生人数.
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_______； ②该小组人数的最小值为_______.
【答案】6,12
【解析】①若教师人数为4人，则男生人数小于8人，则男生人数最多为7人，女生最多为
6人。

②若教师人数为1人，则男生人数少于2人，与已知矛盾 若教师人数为2人，则男生人数少于4人，与已知矛盾
若教师人数为3人，则男生人数少于6人，则男生为5人，女生4人。

所以小组人数最小值为34512++=人
【考点】：推理与证明 【难度】：易
15.（本小题13分）
已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2410a a +=，245b b a =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++L .
【答案】（1）*
21()n a n n N =-∈（2）31
2
n -
【解析】（Ⅰ）设{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q . 则243210a a a +==，即35a =. 故312514a a d -==-=，即2d =.
()*12121()n a n n n N ∴=+-=-∈.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知59a =，即249b b =，则24
19b q =，23q =.
{}n b Q 为公比为q 的等比数列.
13521,,n b b b b -∴,,L 构成首项为1，公比为23q =的等比数列.
()1352111331
13
2
n n n b b b b -⨯--∴++++=
=-L *()n N ∈. 【考点】：等差等比数列+等比数列求和 【难度】：易
16.（本小题13分）
已知函数(
)22sin cos 3f x x x x π⎛
⎫=
-- ⎪⎝
⎭.
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求证：当,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，()12f x ≥-.
【答案】（1）T π=（2）见解析
【解析】（Ⅰ）(
)22sin cos 3f x x x x π⎛⎫
=-
- ⎪⎝
⎭
1cos 2sin 2sin 222x x x ⎫=⋅+⋅-⎪⎪⎭
1
2sin 222
x x =
+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
所以最小正周期222
T π
π
πω
=
=
=. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
. ,4452,366x x πππππ⎡⎤∈-⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤∴+∈-⎢⎥
⎣⎦
Q
当23
6
x π
π
+
=-
，即4
x π
=-
时，()f x 取得最小值12
-
. ()1
2
f x ∴≥-得证.
【考点】：三角函数恒等变化+正弦图像 【难度】：易
17.（本小题13分）
某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)20,30，[)30,40，
…，[]80,90，并整理得到如下频率分布直方图：
（I ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（II ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)40,50内的人数； （III ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
【答案】（1）0.4（2）20（3）3:2 【解析】
（I ）由频率分布直方图得：
分数大于等于70的频率为分数在[)70,80和[]80,90的频率之和，
即0.40.20.6+=，由频率估计概率
∴分数小于70的概率为10.60.4-=.
（II ）设样本中分数在区间[)40,50内的人数为x ，则由频率和为1得
50.10.20.40.21100100
x +++++= 解之得5x =
∴总体中分数在区间[)40,50内的人数为540020100
⨯
=（人）. （III ）设样本中男生人数为a ，女生人数为b Q 样本中分数不小于70的人数共有()0.40.210060+⨯=（人）
∴分数不小于70的人中男生，女生各占30人
∴样本中男生人数为303060a =+=（人）
女生人数为1006040b =-=（人）
∴总体中男生和女生的比例为
32a b =. 【考点】：统计+概率
【难度】：易
18.（本小题14分）
如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC ⊥，
2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.
（I ）求证：PA BD ⊥；
（II ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；
（III ）当//PA 平面BDE 时，求三棱锥E BCD -的体积.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
13
【解析】
（I ）PA AB ⊥Q ，PA BC ⊥，AB BC B =I
又AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC PA ∴⊥平面ABC
又BD ⊂平面ABC
PA BD ∴⊥
（II ）在ABC ∆中，D 为AC 中点
又AB BC =
BD AC ∴⊥
由（I ）知PA BD ⊥，而AC PA A =I ，PA ，AC ⊂平面PAC
BD ∴⊥平面PAC
又BD ⊥Q 平面PAC 且BD ⊂平面BDE
∴平面BDE ⊥平面PAC
（III ）由题知//PA 平面BDE
PA ⊂Q 平面PAC ，平面PAC I 平面BDE DE =
//PA DE ∴
PA ⊥Q 平面ABC DE ∴⊥平面ABC
又D Q 为AC 中点
E ∴为PC 中点
1
12
DE PA ∴==，AC ==
在ABC ∆中，12
DC AC ==BC BA =Q 且90ABC ∠=o
45ACB ∴∠=o
DB DC ∴==112
BCD S DB DC ∆∴=⨯⨯= 1133
E BCD BCD V S DE -∆∴=⨯⨯= 【考点】：立体几何+三棱锥体积
【难度】：易
19．（本小题14分）
已知椭圆C 的两个顶点分别为()2,0A -，()2,0B ，焦点在x 轴上，离心率为2
.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：BDE ∆与BDN ∆的面积之比为4:5.
【答案】（1）2214x y +=（2）见解析
【解析】（Ⅰ）Q 焦点在x 轴上且顶点为()2,0±
2a ∴=
3
c
e a ==Q
3c ∴=
222a b c =+Q
2221b a c ∴=-=
∴椭圆的方程为：2
214x y +=
（Ⅱ）设()0,0D x 且022x -<<，0M y y =，则
()()0000,,M x y N x y -，
02AM y k x ∴=+
AM DE ⊥Q
1AM DE k k ∴⋅=-
2DE x k y +∴=-
∴直线DE :0
00
2()x y x x y +=--
02
BN y k x =--Q
∴直线BN :()0022
y y x x =--- 由000002
2002()(2)214
x y x x y y y x x x y +⎧=--⎪⎪⎪=--⎨-⎪⎪⎪+=⎩ 得
0000424,5
551||2
12
1212
4455
BDE E BDN N E BDE BDN N E x y S BD y S BD y BD y S S BD y y y ∆∆∆∆⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅=⋅⋅∴=⋅-==-Q ∴得证
【考点】：椭圆的性质+直线与椭圆关系
【难度】：中
20．（本小题13分）
已知函数()cos x
f x e x x =-． （I ）求曲线()y f x =在点(0,
(0))f 处的切线方程； （II ）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
【答案】（1）1y =（2）最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22
f =-
【解析】（I ）()cos x f x e x x =- '()cos sin 1x x f x e x e x =--
∴ 00'(0)cos 0sin 010f e e =--=
又Q 0
(0)cos 00=1f e =- ∴()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =
（II ）令()'()cos sin 1x x g x f x e x e x ==--，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ '()cos sin (cos sin )2sin x x x x x g x e x e x e x e x e x =--+=- Q 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
∴sin 0x ≥
而0x e >
∴'()0g x ≤
∴()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减 ∴()(0)0g x g ≤=
∴'()0f x ≤
∴()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减 ∴当2x π
=时，()f x 有最小值2()cos 2222f e πππ
π
π
=-=-
当0x =时，()f x 有最大值0
(0)cos 001f e =-= 【考点】：导数的计算+导数的运用
【难度】：中。