1-3常见特殊矩阵
常用的矩阵
常用的矩阵一、单位矩阵单位矩阵是一个方阵，它的对角线上的元素都是1，其他位置的元素都是0。
单位矩阵在矩阵运算中起到了重要的作用，它可以保持矩阵的性质不变。
在线性代数中，单位矩阵是一个非常常用的概念，它用于表示单位向量和标准坐标系。
二、对角矩阵对角矩阵是一个只有主对角线上有非零元素的方阵。
对角矩阵有很多重要的性质，例如它们的转置矩阵和逆矩阵也是对角矩阵。
在物理学、工程学和经济学等领域中，对角矩阵常常用来表示系统的特征值和特征向量。
三、零矩阵零矩阵是一个所有元素都是0的矩阵。
零矩阵在矩阵运算中起到了很重要的作用，它是加法和乘法运算的单位元。
在线性代数中，零矩阵是一个非常基本的概念，它用于表示没有任何信息或没有任何变化的矩阵。
四、方阵方阵是一个行数和列数相等的矩阵。
方阵在很多领域中都有应用，例如在线性代数中，方阵用于表示线性变换；在图论中，方阵用于表示图的邻接矩阵；在计算机科学中，方阵用于表示图像的像素矩阵。
方阵具有很多重要的性质和特征，在矩阵的理论中占据了重要的地位。
五、转置矩阵转置矩阵是将一个矩阵的行和列互换得到的矩阵。
转置矩阵在矩阵运算中有很多重要的应用，例如它可以用来求解线性方程组的解、计算矩阵的秩和求解最小二乘问题。
转置矩阵也可以用于表示向量的转置。
六、逆矩阵逆矩阵是一个矩阵和它的逆矩阵相乘等于单位矩阵的矩阵。
逆矩阵在线性代数中起到了重要的作用，它可以用来求解线性方程组的解、计算矩阵的秩和求解最小二乘问题。
逆矩阵的存在和唯一性是很重要的性质，在矩阵的理论中有着重要的应用。
以上介绍了几种常见的矩阵及其应用。
矩阵在各个领域中都有重要的作用，它们不仅是数学理论的基础，也是解决实际问题的重要工具。
通过学习和理解矩阵的性质和特征，我们可以更好地应用矩阵来解决实际问题。
希望本文对读者能够有所启发，增加对矩阵的认识和理解。
线性代数中的矩阵的特殊类型与性质
线性代数中的矩阵的特殊类型与性质矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在线性代数中，矩阵可以分为多种特殊类型，每种类型都有其独特的性质和特点。
本文将介绍几种常见的矩阵特殊类型以及它们的性质。
一、对角矩阵对角矩阵是一种具有特殊形式的矩阵，其除了主对角线上的元素外，其余元素均为零。
对角矩阵的主对角线上的元素可以是任意值，也可以是相同的值。
对角矩阵的性质如下：1. 对角矩阵的乘法：两个对角矩阵相乘仍然得到一个对角矩阵，且新矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的乘积。
2. 对角矩阵的逆矩阵：对角矩阵的逆矩阵存在当且仅当主对角线上的元素均不为零。
逆矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的倒数。
3. 对角矩阵的转置：对角矩阵的转置等于其本身。
二、上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线及其以上的元素均不为零，而主对角线以下的元素均为零。
下三角矩阵与上三角矩阵相反，其主对角线及其以下的元素均不为零，而主对角线以上的元素均为零。
上三角矩阵和下三角矩阵的性质如下：1. 上三角矩阵和下三角矩阵的乘法：两个上三角矩阵或两个下三角矩阵相乘仍然得到一个上三角矩阵或下三角矩阵。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵：上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵存在当且仅当其主对角线上的元素均不为零。
3. 上三角矩阵和下三角矩阵的转置：一个上三角矩阵的转置是一个下三角矩阵，一个下三角矩阵的转置是一个上三角矩阵。
三、对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，其转置等于其本身。
也就是说，如果矩阵A是一个对称矩阵，那么A的转置矩阵等于A本身。
对称矩阵的性质如下：1. 对称矩阵的特征值：对称矩阵的特征值均为实数。
2. 对称矩阵的特征向量：对称矩阵的特征向量相互正交。
3. 对称矩阵的对角化：对称矩阵可以通过正交相似变换对角化，即可以找到一个正交矩阵P，使得P的逆矩阵乘以对称矩阵A再乘以P等于一个对角矩阵。
四、单位矩阵单位矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线上的元素均为1，其余元素均为零。
1-3 常见特殊矩阵讲解学习
设A∈SRn×n，如果对任意x∈Rn有xTAx≥(≤)0，则 称A为半正(负)定 (semi positive/negative definite) 矩阵，记做A≥(≤)0。
分块(block)对角矩阵：A=diag(A11,A22,…,Akk)； 分块(block)上(下)三角矩阵； 分块上(下)三角矩阵的特征值是各对角块矩阵特征 值的并集，其逆矩阵仍然是分块上(下)三角矩阵。
2. 初等变换矩阵
第一类：A1=diag(1,…,1,a,1,…,1)； 第二类：A2=I+beiejT； 第三类：A3=[e1,…,ei-1,ej,ei+1,…,ej-1,ei,ej+1,…,en]； 左行右列
对称半正定矩阵的特征值都大于等于0。
下列条件都等价：
1. A是半正定矩阵； 2. A的所有顺序主子式都大于等于0； 3. 存在矩阵C，使得A=CCT； 4. A对称，且所有特征值都非负。
设A是复Hermite矩阵，如果对任意x∈Cn都有 x*Ax>(<,≥,≤)0，则称A为正定(负定，半正定，半 负定)矩阵。
6. V=Rn，A>0， <x,y>=xTAy；a
在欧式空间中，称非负实数 x, x 为x的长度 (模、范数)，记为||x||。
1. ||kx||=|k| ||x||； 2. ||x+y||=||x||+||y||； 3. ||<x,y>||≤||x|| ||y||。
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线性代数中的特殊矩阵分类
线性代数中的特殊矩阵分类线性代数是数学中一门重要的学科，其中矩阵是其中的一个核心概念。
矩阵作为一种数学工具在实际应用中有着非常广泛的应用。
由于矩阵具有一些重要的性质，因此矩阵可以根据这些性质进行分类，其中特殊矩阵是线性代数中常见的一个概念。
1. 对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，它的转置矩阵与它本身相等，即A = A^T。
对称矩阵具有很多重要的性质，可以应用于广泛的领域。
例如，在椭圆偏微分方程中，对称矩阵的证明可以被用来证明谱定理；在统计学中，协方差矩阵是对称矩阵，用于描述变量之间的关系。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵和下三角矩阵也是特殊的矩阵类型。
上三角矩阵的所有下方元素都为0，下三角矩阵的所有上方元素都为0。
上下三角矩阵继承了其自身的性质。
上三角矩阵通常在求解线性方程组时用到，因为它可以轻松找出未知数。
上三角形式可以通过高斯消元算法来实现，这样，矩阵可以在O（n ^ 3）时间内求解。
3. 稀疏矩阵稀疏矩阵是一种非常特殊的矩阵。
如果矩阵中有大量元素值为0，则称该矩阵稀疏。
稀疏矩阵经常出现在一些实际应用和大型数据集中。
例如，社交媒体网站会生成巨量的关系矩阵，并且相互之间共享数据是非常常见的。
但是，在这个关系矩阵中，大多数元素的值都为0，因为人们只能与一小部分人进行交互。
稀疏矩阵可以通过一些优化算法来处理。
例如，压缩稀疏行（CSR）格式就是一种处理稀疏矩阵的算法，该算法将稀疏矩阵压缩为一个矩阵。
这个格式可以使得矩阵的计算变得非常高效，并且存储空间也可以大大减少。
总之，矩阵作为线性代数的核心概念，在实际应用中有着广泛的应用。
特殊矩阵是其中非常重要的一个概念，这些特殊矩阵都具有一些独特的性质，在实际应用中有着非常广泛的应用。
对于一个数学学习者来说，对于这些矩阵的掌握是十分必要的。
特殊矩阵知识点总结初中
特殊矩阵知识点总结初中一、矩阵的定义矩阵是由m×n个数排成的矩形阵列，记作A=(aij),其中i表示矩阵的行序号，j表示矩阵的列序号，aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
例如：A=(1 2 3)(4 5 6)(7 8 9)是一个3×3的矩阵，其中第一行的元素为1,2,3，第二行的元素为4,5,6，第三行的元素为7,8,9。
二、特殊矩阵的定义及性质1. 单位矩阵单位矩阵是指对角线上全为1，其它位置为0的矩阵。
记作In。
例如：I2=(1 0)(0 1)性质：（1）矩阵A和单位矩阵I相乘得到仍然是矩阵A。
即AI=IA=A。
（2）单位矩阵在矩阵乘法中作为单位元素。
即对任意矩阵A，都有AI=IA=A。
2. 零矩阵零矩阵是指所有元素都为0的矩阵。
记作0。
例如：0=(0 0 0)(0 0 0)(0 0 0)性质：（1）矩阵与零矩阵相加得到的还是矩阵本身。
即A+0=A。
（2）零矩阵在矩阵加法中作为零元素。
即对任意矩阵A，都有A+0=A。
3. 对角阵对角矩阵是指除了主对角线上的元素均为0，其它位置均为0的矩阵。
记作D。
例如：D=(1 0 0)(0 2 0)(0 0 3)性质：（1）对角阵的逆矩阵是仍然是对角阵，且每个元素取倒数。
即若D=(aij)是对角阵，则D的逆矩阵是D'=(1/aij)。
4. 反对角阵反对角阵是指除了主对角线外，其它位置的元素均为0，且对角线上的元素为1的矩阵。
记作J。
例如：J=(0 0 1)(0 1 0)(1 0 0)性质：（1）反对角阵的逆矩阵是自身。
即J的逆矩阵是J本身。
5. 上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵是指主对角线以下的元素均为0的矩阵；下三角矩阵是指主对角线以上的元素均为0的矩阵。
例如：上三角矩阵U=(3 1 4)(0 2 5)(0 0 6)下三角矩阵L=(1 0 0)(2 3 0)(4 5 6)性质：（1）上（下）三角矩阵A的逆矩阵仍然是上（下）三角矩阵，且对角线上的元素取倒数。
数据结构之特殊矩阵
数据结构之特殊矩阵特殊矩阵：即指⾮零元素或零元素的分布有⼀定规律的矩阵，为了节省存储空间，我们可以对这类矩阵进⾏压缩存储；即为多个相同的⾮零元素只分配⼀个存储空间；对零元素不分配空间⼀、稀疏矩阵稀疏矩阵:设矩阵A中有s个⾮零元素，若s远远⼩于矩阵元素的总数，则称A为稀疏矩阵。
如果我们把整个数据存⼊内存，如果每个单元格⼀个字节则需要6*5个字节我们要对稀疏矩阵进⾏压缩存储：即只存储稀疏矩阵中的⾮零元素和矩阵的⼤⼩；采⽤三元组的表⽰⽅式例如：(6,5,30)矩阵⼤⼩、（0,3,34）、（1,1,1）、（1,3,3）、（1,4,59）、（2,0,23）、（2,2,12）、(3,1,45)、(3,3,51)、(3,4,46)、(4,2,34)、(5,0,78)、(5,2,56)、(5,4,2)稀疏矩阵占⽤空间⼤⼩：7*3个字节⼆、三⾓矩阵：上三⾓矩阵、下三⾓矩阵三⾓矩阵中的重复元素c(常量)可共享⼀个存储空间，其余的元素正好有n(n+1)/2个，因此，三⾓矩阵可压缩存储到向量s[0..n(n+1)/2]中，其中c存放在向量的最后⼀个分量中================上三⾓矩阵=================以主对⾓线划分，三⾓矩阵有上三⾓和下三⾓两种。
上三⾓矩阵，它的下三⾓（不包括主对⾓线）中的元素均为常数或者0，在⼤多数情况下，三⾓矩阵常数为零。
该图就是⼀个上三⾓矩阵a(m,n)=a(4,4)是⼀个4阶的⽅阵，将该矩阵压缩存储到⼀维数组S后下标012345678910数据12346781112160转换后⼀维数组的长度：S.length=1+n(n+1)/2最后⼀个位置：S[n(n+1)/2]=0其他上三⾓元素的位置在⼀维数组S的下标：S[i(2n-i+1)/2+j-i ]=a(i,j) ;例如 a(2,3)=S[2*(2*4-2+1)/2+3-2]=S[8]=12================下三⾓矩阵=================以主对⾓线划分，三⾓矩阵有上三⾓和下三⾓两种。
一阶二阶三阶马尔可夫矩阵的计算
马尔可夫矩阵是一种特殊的矩阵，其元素值表示状态转移的概率。
一阶马尔可夫矩阵是指矩阵中的每个元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
二阶马尔可夫矩阵是指矩阵中的每个元素表示从两个连续状态转移到另一个状态的累积概率。
三阶马尔可夫矩阵是指矩阵中的每个元素表示从三个连续状态转移到另一个状态的累积概率。
计算马尔可夫矩阵的方法取决于具体的问题和数据。
以下是一些常见的计算方法：
1. 直接计算：根据问题的具体情况，直接计算每个状态转移的概率，然后构建马尔可夫矩阵。
这种方法适用于问题简单且数据量较小的情况。
2. 统计计算：通过统计大量数据，计算每个状态转移的概率，然后构建马尔可夫矩阵。
这种方法适用于数据量较大且问题复杂的情况。
3. 迭代计算：通过迭代的方式逐步计算每个状态转移的概率，并更新马尔可夫矩阵。
这种方法适用于动态变化的情况，可以实时更新马尔可夫矩阵。
需要注意的是，计算马尔可夫矩阵时需要满足一些条件，例如概率总和为1、转移概率非负等。
同时，还需要根据具体问题选择合适的阶数和计算方法，以确保结果的准确性和可靠性。
矩阵的特殊矩阵及其性质和应用
矩阵的特殊矩阵及其性质和应用矩阵是数学中一个非常重要的概念，它被广泛应用于各个领域，包括物理、经济学、统计学等。
特殊矩阵是一类具有特殊特性的矩阵，它们拥有许多重要的性质和应用。
在本文中，我们将探讨一些常见的特殊矩阵及其性质和应用。
对称矩阵对称矩阵是一个非常重要的特殊矩阵，具有以下性质：1. 对称矩阵的主对角线上的元素都相等。
2. 对称矩阵是实数域上的矩阵，且所有对称矩阵都可以对角化。
3. 对称矩阵的特征值都是实数，且对应的特征向量可以正交化。
对称矩阵在物理学中经常出现，例如量子力学中的哈密顿矩阵。
此外，在机器学习中，对称矩阵也被广泛应用于协方差矩阵的计算。
旋转矩阵旋转矩阵是一种常见的特殊矩阵，它们有以下特性：1. 旋转矩阵的行列式为1，且逆矩阵等于它的转置。
2. 旋转矩阵在欧几里得空间中保持距离、角度和方向不变，因此旋转矩阵在三维图像处理中被广泛应用于图像变换和计算机动画。
对角矩阵对角矩阵是一个具有以下特点的特殊矩阵：1. 对角矩阵的主对角线之外的元素都为0。
2. 对角矩阵的行列式等于对角线上的元素的乘积，因此可以很方便地进行行列式计算。
3. 对角矩阵是一个非常常见的矩阵，常常在代数学中使用。
4. 对角矩阵也是一类特殊的压缩矩阵，可以被用于计算机图形学和计算机视觉中。
希尔伯特矩阵希尔伯特矩阵是一种非常有趣的特殊矩阵，它们具有以下特性：1. 希尔伯特矩阵是一个n x n的方阵，其中第i行第j列的元素为1/(i+j-1)。
2. 希尔伯特矩阵是非对称的，且行列式随n的增大而缩小。
3. 希尔伯特矩阵是条件数极大的矩阵，因此求解它的逆矩阵需要耗费很大的计算资源。
4. 希尔伯特矩阵在数值分析中有广泛的应用，例如矩阵求逆、插值等。
总结特殊矩阵是数学中一个非常重要的概念，不同的特殊矩阵具有不同的性质和应用。
在本文中，我们探讨了四类常见的特殊矩阵，包括对称矩阵、旋转矩阵、对角矩阵和希尔伯特矩阵。
它们在各个领域都有广泛的应用，例如量子力学、机器学习、图形处理、计算机视觉等。
各种特殊矩阵总结
各种特殊矩阵总结⼀般在实际运⽤中，矩阵本⾝或者都需要化成特殊的形式。
列出⼀些常⽤的矩阵形式。
reference: 1. Toeplitz matrix，形如2. Hankel matix，形如刚好和就是toeplitz的transpose3. Degree matrix，这个和拓扑学有关了，此矩阵只有main diagonal上有⾮零值，代表的是对应edge(node)所连接的vetices的数量（如果⾃循环则算两个），对该图形⽽⾔，这个E对应的位置就应该填上n。
每个E都算完后，其余位置均为0。
4. Adjacency matrix，也和拓扑学有关，为仅有1或者0的矩阵。
如果两个edge之间有vertex相连，则对应位置填1。
因为这个性质，此矩阵为symmetric的，main diagonal上的1表⽰⾃循环。
5. Laplacian matix。
由上⾯两位计算得到L=D-A6. Circulant matrix, T的变种，如下7. Symplectic matrix指满⾜这个条件的M（2n*2n）矩阵：其中，另⼀个矩阵必须是nonsingular, skew-symmetric matrix.，例如选 是⼀个block matrix，I是单位矩阵(identity matix)。
8. Vandermonde matrix，形如9. Hessenberg matrixHessenberg matrix is a special kind of square matrix, one that is "almost" triangular. To be exact, an upper Hessenberg matrix has zero entries below the first subdiagonal, and a lower Hessenberg matrix has zero entries above the first superdiagonal例如：upper Hessenberg matrix10. Hessian matrix对于实数函数求⼆阶偏导（second-order partial derivatives），如下。
1 矩阵的概念及特殊矩阵
定义2: 定义 若两个矩阵 A = ( aij ) m×n , B = (bij ) s×t 满足
m = s,
则称A与B是同型矩阵 同型矩阵
A = ( aij ) m×n
或就用一个大写字母 A, B 等表示
称数
a ij
元素 称为矩阵 A 的位于第 i 行第 j 列的元素
称 ri = (ai1 , ai 2 ,L ain ) 为矩阵A的 第 i 行 (1 ≤ i ≤ m)
a1 j a2 j 为矩阵 A的第j 列 (1 ≤ j ≤ n) 第 cj = M a mj 注: (1):矩阵是一个数表,表示有结构的 m × n 数
n=t
如果两个同型矩阵 A = (a ij ) m×n B = (bij ) m×n 对应的元素都相等, 即
aij = bij ,
Байду номын сангаас
i = 1,2, L , m
j = 1,2, L , n
则称矩阵A与B是相等 相等的，记作A = B。 相等
二 特殊矩阵
1 行矩阵与列矩阵 我们把 m × 1 矩阵（即只有一列的矩阵）称为列矩阵 列矩阵, 列矩阵 又称列向量 列向量。把 1 × n 矩阵（即只有一行的矩阵）称为 列向量 行矩阵，又称行向量 行向量。 行矩阵 行向量 2 零矩阵 若矩阵 A = (aij ) 中的元素 a ij 都是零，则称A是零矩阵 零矩阵, 零矩阵 记为A=0. (能说零矩阵相等吗?) 3 方阵 若矩阵 A = ( aij ) n×n (即行数和列数相等), 则称 A 为 n 阶 方阵或方阵， 方阵或方阵， 简记为 A = An 称 a11 , a22 ,L , ann 所在位置为矩阵的主对角线 主对角线. 主对角线
《线性代数》2.1矩阵的概念及几种特殊矩阵
7. 单位矩阵 对角矩阵中的对角线元素都等于1的矩阵, 记作
1 1 E 1
三、同型矩阵及矩阵相等 定义2.1.2
B 有相同的行数和列数， 如果两个矩阵 A 、
则称A与B为同型矩阵.
若矩阵A aij 与 B bij 是同型矩阵，而且对应 位置上的元素均相等，即aij 记为 A B
线 性 代 数
(第二版)
第二章Байду номын сангаас
矩 阵
• 第一节 矩阵的概念及几种特殊矩阵 • 第二节 矩阵的运算 • 第三节 逆 矩 阵 • 第四节 分 块 矩 阵
第一节 矩阵的概念及几种特殊矩阵
一、矩阵的概念 产品 引例 某厂向三个商店发送四种产品的数量，如下表 1 2 3 4 数量
商店
1 2 3
a11
a12
字母 A , B , C 等来表示.
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 上述矩阵记作 A a a a mn m1 m 2
可以简写成
A (aij ) mn .
其中 aij 叫做矩阵的第i 行第 j 列的元素. 元素为实数的矩阵称为实矩阵， 元素为复数的矩阵称为复矩阵.
bij ，则称A与B相等.
2 4 2 c 例如 若要求下面等式成立 5 a d 7 b 1 3 1
必须 a 7, b 3, c 4, d 5
二、几种常见的特殊矩阵 1. 行矩阵 只有一行的矩阵，即1×n 矩阵
A (a11 ,a12 ,,a1n )
2. 列矩阵 只有一列的矩阵，即m×1矩阵
a11 a 21 a , a ,, a T A 11 12 1n a m1
几种特殊类型的矩阵
A1
a 1 22
.
0
a 1 nn
下三角形矩阵
a 11
a 21
0 a
22
0 与上三角形 0 矩阵的性质
类似.
a n1
a n2
a nn
正交矩阵
定义 实数域上的方阵A如果满足AA = AA
=E, 则称A为正交矩阵.
例如
cos sin
sin cos
1 0 0 1
都是正交矩阵.
aa i2 j2
a a in jn
0(i
j,i,
j 1,2,n).
a 2 1j
a2 2j
a2 nj
1,
j
1,2,, n.
a1i
a 1
j
a a 2i 2 j
a a ni nj
0(i
j,i,
j
1,2,n).
例 判1别 1下113列2 矩1阵1122是否11231为,正交阵2． 919984
8 9 1
9 4
9
4
9 4
.
9
7
9
解
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2
1 3 1 2 1
考察矩阵的 第一列和第 二列，
由于
1
1 2
1 2
1
1 3
1 2
0,
所以它不是正交矩阵．
解
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
9 9 9
4 9
4 9
7 9
由于
1
9 8
9
4 9
8 9 1
定义 方阵的非主对角线的元素全部为零,
特殊矩阵的压缩存储
特殊矩阵的压缩存储特殊矩阵的压缩存储是一种将矩阵中的零元素省略掉，只存储非零元素及其位置信息的存储方式。
这种存储方式可以大大减少矩阵在内存中所占用的空间，提高计算效率和存储效率。
一、特殊矩阵的定义特殊矩阵是指具有某些特定性质的矩阵。
常见的特殊矩阵有三角矩阵、对称矩阵、对角线矩阵、稀疏矩阵等。
1. 三角矩阵：当一个上三角（下三角）矩阵中除了主对角线和下（上）方所有元素都为零时，称之为上（下）三角矩阵。
2. 对称矩阵：当一个方阵A满足A[i][j]=A[j][i]时，称之为对称矩阵。
3. 对角线矩阵：当一个方形n×n的稠密（dense）或稀松（sparse）实数或复数方针中非对角线元素都为0时，该方针被称为对角线方针。
4. 稀松（sparse）或稀有（sparsest）系数或系数矩阵（sparse matrix）：在数学中，一个矩阵如果大部分元素为零，那么这个矩阵就被称为稀疏矩阵。
二、特殊矩阵的压缩存储方式特殊矩阵的压缩存储方式是一种将矩阵中的零元素省略掉，只存储非零元素及其位置信息的存储方式。
这种存储方式可以大大减少矩阵在内存中所占用的空间，提高计算效率和存储效率。
1. 三角矩阵的压缩存储对于上三角（下三角）矩阵A，只需要把主对角线以下（以上）的元素按行优先顺序排列成一个一维数组B即可。
由于上（下）三角形中有n(n-1)/2个零元素，因此B数组长度为n(n+1)/2。
例如：A = [ 1 2 3 ][ 0 4 5 ][ 0 0 6 ]B = [ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ]2. 对称矩阵的压缩存储对于对称方针A，只需要把其中任意一个三角形（上或下）中的非零元素按行优先顺序排列成一个一维数组B即可。
由于对称方针中有n(n+1)/2个零元素，因此B数组长度为n(n+1)/2。
例如：A = [ 1 2 3 ][ 2 4 5 ][ 3 5 6 ]B = [ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ]3. 对角线矩阵的压缩存储对于对角线方针A，只需要把其对角线上的元素按行优先顺序排列成一个一维数组B即可。
几种特殊矩阵与矩阵的分块
0
0 annbnn
二
、
单
位
阵
： 记 为I或E。
即
：I
1
0
0 1
IA AI A , I n I，规定：A0 I
a 0
三、数量矩阵：Ann
0 a
Ann Bnl aBnl , Bmn Ann aBmn
四、三角形矩阵
a11 上 三 角 形 矩 阵 ：A
注意： 1) 矩阵乘法一般不满足交换律，即：
AB BA
如果对A, B有AB BA，则称A与B是可交换的。
2) AB 0一般不能得到A 0或B 0。 3) AB AC,且A 0,但一般不能得到B C.
4) A, B为同阶方阵，则AB A B . 推 广 ：A1 A2 As A1 A2 As
矩阵的转置 ( AB：)T BT AT
§2.3 几种特殊的矩阵
对于一个方阵：
a11 a12 A a21 a22
aபைடு நூலகம்1 an2
a1n
a2n
ann
副对角线 主对角线
上三角阵、下三角阵、对角阵
a11 a12 a1n
上
三角阵：
0
a22
a2n
0
0
ann
a11 0 0
0 1 b
A11 E
O A22 ,
A11
a 0
1 a
O
0 0
0 0
E
1 0
0 1
A22
b 1
1 b
a 1 0 0
A
0 1
a 0
0 b
0 1
A1
A2
A3
A4 ,
0 1 1 b
2.1矩阵的概念及几种特殊矩阵经典实用
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5.对称矩阵
如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA ，则称 A 为对称矩阵，即
a11 a12 a1n
A
a12 a22 a2n
。
a1n a2n ann
在对称矩阵中，有aijaji。
例如，矩阵
1 1 1 0
和
103 0 2 1 3 1 3
都是对称矩阵。
•2.1矩阵的概念及几种特殊矩阵
a22
.
ann
主对角线
•2.1矩阵的概念及几种特殊矩阵
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为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元素全为零, 即
aij = 0 , i j , i, j = 1, 2, … , n ,
对角矩阵常记为 Λ= diag( a11 , a22 , … , ann ). 例如
3 0 0
（1）式也可简记为 A ＝ ( aij )mn 或 A = ( aij ) . •2.1矩阵的概念及几种特殊矩阵
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关于矩阵定义的几点说明：
1.矩阵是一个 数表, 且矩阵的行数与列数可不同;
行列式是一个 数值. 例 如
5×2
1 2 4 3
1 2 3 0
矩阵
9 8 5 2
混淆的情况下, 也可记为 Ｏ．
零矩阵的作用：类似于数字“0”的运算。
注：
（1）零矩阵是每个元素都是零的数表,但它不是数零. （2）不同型的零矩阵不相等.
•2.1矩阵的概念及几种特殊矩阵
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2.对角矩阵
特殊矩阵,对称矩阵,三角矩阵,稀疏矩阵的特点
特殊矩阵,对称矩阵,三角矩阵,稀疏矩阵的特点
特殊矩阵
•特点：
1.特殊矩阵是指满足某种特定规律的矩阵。
2.具有特殊结构，使得其在存储和计算上具有一定的优势。
3.常见的特殊矩阵有对角矩阵、单位矩阵、零矩阵等。
•对称矩阵：
1.特点：
•对称矩阵的元素关于主对角线对称。
•可以看作是自己的转置矩阵。
•对称矩阵是实数域上的矩阵，但也可以存在复数域上
的情况。
2.应用：
•在对称正定矩阵的特殊情况下，可以用于优化算法等
领域。
•在图像处理中，对称矩阵可以用于平滑图像。
•三角矩阵：
1.特点：
•三角矩阵的非零元素只出现在主对角线和其上方或下
方的元素中。
•可分为上三角矩阵和下三角矩阵。
2.应用：
•三角矩阵在线性方程组的求解中具有较高的计算效率。
•在图像处理中，三角矩阵可以用于图像变换等操作。
•稀疏矩阵：
1.特点：
•稀疏矩阵是指大部分元素为零的矩阵。
•非零元素的个数远小于矩阵的元素总数。
2.应用：
•稀疏矩阵的存储和计算可以节省大量的内存和计算资
源。
•在图论、网络分析等领域中经常使用稀疏矩阵进行数
据表示和计算。
以上所列举的四类矩阵都具有一定的特点和应用场景。
它们在不
同领域的算法和模型中发挥着重要的作用，有助于提高计算效率和节
省资源消耗。
了解并熟练运用这些特殊矩阵，对于一个资深的创作者来说，将会是一项重要的技能。
1-3常见特殊矩阵
A1-1=diag(1,…,1,1/a,1,…,1)；
A2-1=I-beiejT；
A3-1=A3。
分块形式初等变换矩阵。
例1 设A∈Cm×n，B∈Cn×m ，证明：AB和BA的非 零特征值完全相同，而且重数也相同。此ห้องสมุดไป่ตู้还有 det(Im+AB)=det(In+BA)。
3. 对称矩阵
(a) 实对称矩阵和复Hermite矩阵
追求人生的美好!
我们的共同目标!
(b) 正定矩阵
设A∈SRn×n，如果对任意x∈Rn都有xTAx>0，则称 A为对称正定 (symmetric positive definite)矩阵。 记做A>0。 对称正定矩阵的特征值都是正数。 下列条件都等价： 1. A是正定矩阵； 2. A的所有顺序主子式都大于0； 3. 存在非奇异矩阵C，使得A=CCT； 4. A对称，且所有特征值都是正数。
把正定矩阵定义中的xTAx>0改成xTAx<0，则称A 是负定 (negative definite)矩阵。记做A<0。 负定矩阵的特征值都是负数。
设A∈SRn×n，如果对任意x∈Rn有xTAx≥(≤)0，则 称A为半正(负)定 (semi positive/negative definite) 矩阵，记做A≥(≤)0。
设A∈Rn×n，如果满足A=AT，则称A为对称矩阵 (symmetric matrix)。记做A∈SRn×n。 对称矩阵的特征值都是实数。
设A∈Rn×n，如果满足A=-AT，则称A为反对称矩 阵(skew-symmetric matrix)。 反对称矩阵的特征值只能是纯虚数或0。
设A∈Cn×n，如果满足A=A*，则称A为Hermite 矩 阵(Hermitian matrix)；如果满足A=-A*，则称A为 反Hermite 矩阵(skew-Hermitian matrix)。
1-3 常见特殊矩阵
把正定矩阵定义中的x 改成x 把正定矩阵定义中的 TAx>0改成 TAx<0，则称 改成 ，则称A 矩阵。 是负定 (negative definite)矩阵。记做 矩阵 记做A<0。 。 负定矩阵的特征值都是负数 负数。 负定矩阵的特征值都是负数。
× 如果对任意x∈ 设A∈SRn×n，如果对任意 ∈Rn有xTAx≥(≤)0，则 ∈ ， 称A为半正 负)定 (semi positive/negative definite) 为半正(负 定 矩阵，记做A≥(≤)0。 矩阵，记做 。
4. 正交矩阵
设Q∈Rn×n，如果 TQ=QQT=I，则称 为正交 ∈ × 如果Q ，则称Q为 (orthogonal)矩阵。 矩阵。 矩阵 正交矩阵一定可逆， 正交矩阵一定可逆，且Q-1=QT。 是正交矩阵， 设Q1,Q2是正交矩阵，则Q1-1, Q1Q2, diag(Q1,Q2)也 也 都是正交矩阵。 都是正交矩阵。 1. Givens变换： 变换： 变换 A = c s , c 2 + s 2 = 1, A = cosθ sinθ . − s c − sinθ cosθ 可以通过一系列的Givens变换把任意非零向量变 可以通过一系列的 变换把任意非零向量变 的倍数。 成e1的倍数。
1.3 常见特殊矩阵
1. 上三角矩阵 2. 初等变换矩阵 3. 对称矩阵 4. 正交矩阵 5. 内积空间
我们尽量采用如下记号： 我们尽量采用如下记号： 用大写英文字母表示矩阵， 用大写英文字母表示矩阵，如A,B,… 用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素，如 用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素， a11,b2n,… 用小写英文字母表示向量， 用小写英文字母表示向量，如x,y,z,… 用小写希腊字母表示标量， 用小写希腊字母表示标量，如α,β,λ,µ,…
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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A1-1=diag(1,…,1,1/a,1,…,1)；
A2-1=I-beiejT；
A3-1=A3。
分块形式初等变换矩阵。
例1 设A∈Cm×n，B∈Cn×m ，证明：AB和BA的非 零特征值完全相同，而且重数也相同。此外还有 det(Im+AB)=det(In+BA)。
3. 对称矩阵
(a) 实对称矩阵和复Hermite矩阵
特别的可以取y=e1。
设U∈Cn×n，如果满足U*U=UU*=I，则称U为酉 (unitary)矩阵。 酉矩阵与正交矩阵有着类似的性质。
5. 内积空间(欧式空间)
设V是实数域R上的线性空间。如果对于V中任意 两个向量x,y，可以定义一个二元运算<x,y>，并且 满足： 1. 交换性 <x,y>=<y,x>； 2. 分配律 <x,y+z>=<x,y>+<x,z>； 3. 齐次性 <kx,y>=k<x,y>，k∈R； 4. 非负性 <x,x>≥0，且等号只有当x=0时才成立。
1.3 常见特殊矩阵
1. 上三角矩阵 2. 初等变换矩阵 3. 对称矩阵 4. 正交矩阵 5. 内积空间
我们尽量采用如下记号：
用大写英文字母表示矩阵，如A,B,… 用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素，如 a11,b2n,… 用小写英文字母表示向量，如x,y,z,…
用小写希腊字母表示标量，如a,b,l,m,…
设A∈Rn×n，如果满足A=AT，则称A为对称矩阵 (symmetric matrix)。记做A∈SRn×n。 对称矩阵的特征值都是实数。
设A∈Rn×n，如果满足A=-AT，则称A为反对称矩 阵(skew-symmetric matrix)。 反对称矩阵的特征值只能是纯虚数或0。
设A∈Cn×n，如果满足A=A*，则称A为Hermite 矩 阵(Hermitian matrix)；如果满足A=-A*，则称A为 反Hermite 矩阵(skew-Hermitian matrix)。
(b) 正定矩阵
设A∈SRn×n，如果对任意x∈Rn都有xTAx>0，则称 A为对称正定 (symmetric positive definite)矩阵。 记做A>0。 对称正定矩阵的特征值都是正数。 下列条件都等价： 1. A是正定矩阵； 2. A的所有顺序主子式都大于0； 3. 存在非奇异矩阵C，使得A=CCT； 4. A对称，且所有特征值都是正数。
4. 正交矩阵
设Q∈Rn×n，如果QTQ=QQT=I，则称Q为正交 (orthogonal)矩阵。
正交矩阵一定可逆，且Q-1=QT。 设Q1,Q2是正交矩阵，则Q1-1, Q1Q2, diag(Q1,Q2)也 都是正交矩阵。
1. Givens变换：
A
c s
s c
,
c2 s2 1,
A
cos sin
把正定矩阵定义中的xTAx>0改成xTAx<0，则称A 是负定 (negative definite)矩阵。记做A<0。 负定矩阵的特征值都是负数。
设A∈SRn×n，如果对任意x∈Rn有xTAx≥(≤)0，则 称A为半正(负)定 (semi positive/negative definite) 矩阵，记做A≥(≤)0。
b
a
f ( x)g( x)dx
；
6. V=Rn，A>0， <x,y>=xTAy；
在欧式空间中，称非负实数 x, x 为x的长度 (模、范数)，记为||x||。
1. ||kx||=|k| ||x||； 2. ||x+y||=||x||+||y||； 3. ||<x,y>||≤||x|| ||y||。
追求人生的美好!
我们的共同目标!
sin cos
.
可以通过一系列的Givens变换把任意非零向量变 成e1的倍数。
2. Householder变换：
任给单位向量u，定义H=I-2uuT，则H被称为 Householder矩阵。
H满足：HT=H，H2=I，det(H)=-1。
对任意非零向量x，y，总可以找到一个
Householder矩阵H，使得Hx=ay。
1. 上三角矩阵
In表示n阶单位矩阵(identity matrix of order n)； ei表示In的第i列； 对角矩阵(diagonal matrix)：A=diag(a11,a22,…,ann) 上三角矩阵(upper triangular matrix) 下三角矩阵(lower triangular matrix) 上(下)三角矩阵的特征值就是对角元； 上(下)三角矩阵的逆矩阵仍然是上(下)三角矩阵；
则称这个二元运算是内积，V称为Euclid空间，或 欧式空间，或内积空间。
上述定义可以推广到复数域C上。
1. V=Rn，<x,y>=xTy；
2. V=Cn，<x,y>=x*y；
3. V=Cn，<x,y>=xTy； 不是内积
4. V=Rn×n，<A,B>=tr(ABT)；
5. V=CБайду номын сангаасa,b]，
f ( x), g( x)
对称半正定矩阵的特征值都大于等于0。
下列条件都等价：
1. A是半正定矩阵； 2. A的所有顺序主子式都大于等于0； 3. 存在矩阵C，使得A=CCT； 4. A对称，且所有特征值都非负。
设A是复Hermite矩阵，如果对任意x∈Cn都有 x*Ax>(<,≥,≤)0，则称A为正定(负定，半正定，半 负定)矩阵。
分块(block)对角矩阵：A=diag(A11,A22,…,Akk)； 分块(block)上(下)三角矩阵； 分块上(下)三角矩阵的特征值是各对角块矩阵特征 值的并集，其逆矩阵仍然是分块上(下)三角矩阵。
2. 初等变换矩阵
第一类：A1=diag(1,…,1,a,1,…,1)； 第二类：A2=I+beiejT； 第三类：A3=[e1,…,ei-1,ej,ei+1,…,ej-1,ei,ej+1,…,en]； 左行右列