非平稳时间序列

例：判断上面序列的平稳性 解：N1＝6，N2＝4，r ＝8，
显著性水平 ? ＝0.05，查表得 r L＝2，r U＝9， 所以用游程检验法判断该序列是平稳的。
二、非平稳序列的确定性分析
? 1、确定性因素分解 ? ①传统的因素分解
? 长期趋势 ? 循环波动 ? 季节性变化 ? 随机波动
ai
?
?0 ?n
? n?i ?i
? ? 0? i ? ? ? n?i n
i ? 0,1,2,? , n ? 1
a0
?
?0 ?n
?n ?0
?
1
?
?
2 n
a1
?
?0 ?n
? n?1 ?1
? ? 0? 1
? ? ? n?1 n
a n?1
?
?0 ?n
?1 ? n?1
? ? 0? n?1 ? ? 1? n
第五行元素分别是：
a.原序列分成 M段（可等分或不等分） b. 对每一段求均值（或方差）
2.计算该序列的逆序总数
逆序：对 yi来说，若是其后有一个值大于它，则称 为有一个逆序。
m?1
a.求yi的逆序数Ai ； b.求逆序总数 A A ? ? Ai i?1
3.计算统计量进行检验
E(A)
?
1 4
M(M
?
Байду номын сангаас1)
D(A)
?
M(2M2 ? 3M 72
逆序总数： A＝26
E(A) ? 1 M(M ? 1) ? 18 4
D(A) ? M(2M2 ? 3M? 5) ? 23 72
A? 1 ? E(A)
Z? 2
? 1.77
D( A)
所以原序列均值平稳。
若A过大，原序列有增的趋势，若 A过小，原序列有 减的趋势。
缺点：原序列单调增（减）时有效，若原序列有增 有减，该方法无效。
? -0.88 2
-1 2
l2 ? a 2 ? 0.2
? 0.2 - 0.6
a2
?
?0 ?3
?1 ?2
? ? 0? 2 ? ? 1? 3
?1 ? ?2 ? ?3 ? 2 - 0.6 ? 0.2 ? 1.6 ? 1
?该序列是非平稳的
逆序检验法 可检验出均值或方差可能存在的某种趋势
步骤： 1.做出均值或方差序列
?
5)
Z
?
A
?
1 2
?
E(A)
~
N(0,1)
D(A)
例：已得均值序列如下，判断原序列均值的平稳性
均值序列： y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 均值 1.15 1.20 1.08 1.10 1.01 1.23 1.17 1.24 1.39
解：逆序 5 3 5 4 4 2 2 1 0
游程检验法
1.游程：对序列 {Xt} 计算均值，对每一个 Xt进行判 断，若Xt≥均值，记为“ +”，若Xt< 均值，记为 “－”，按原序列顺序可以得到一个符号序列， 每一段连续相同的符号子序列叫做一个游程。
例：Xt：5 8 4 6 3 7 5 7 8 7 均值＝6 符号序列：－ + － + － + － + + +
（3）
| ? n |?| ? 0 |, | a n?1 |?| a0 |, | bn? 2 |?| b0 |, ? | l2 |? | l0 |
注意当n＝2时，就是第三章讨论的 ARMA(2,m) 系统 的平稳性条件。
例6.2 对某序列拟合的适应模型为
Xt ? 2 Xt?1 ? 0.6 Xt? 2 ? 0.2 Xt? 3 ? a t ? 0.6a t?1 ? 0.5a t? 2 试检验该序列的平稳性。
大样本： Z ? r ? E ( r ) ~ N ( 0,1)
D(r )
E(r ) ? 2N1N2 ? 1 N
D(r)
?
2N1N2 (2N1N2 ? N 2 ( N ? 1)
N)
3.步骤： （1）计算均值 （2）做出符号序列 （3）计算正负号总数和游程数 （4）计算统计量进行检验
注意：若是小样本，对 r 直接查表判断，若是大样本， 需先计算 r 的均值和方差，然后得到 Z值，再进行判断。
非平稳性的检验
数据图检验法 ： 1. 方法：利用 Xt－t折线图直观判断平稳性。 2. 优缺点：最简单、直观， 但有一定的主观性，不精确。
自相关、偏自相关函数检验法 1. 方法：自相关、偏自相关函数既不拖尾也 不截尾
2. 优缺点：简单、直观，但不够精确。
特征根检验法
先识别出较适合模型进行拟合，然后考察其对应特
共有 8个游程
2.思想：游程的长短并不重要，关键是游程的个数。 游程太多或太少都被认为存在非平稳趋势。
例：最小游程数和最大游程数 记N1，N2是“+”“－”号出现的总数， r 为游程数
小样本： N1，N2不超过15，游程总数服从 r 分布。对 r ， 当 r L<r<r U时接受原假设，认为序列是平稳的，否则认 为序列是非平稳的
征方程的特征根是否满足“模都小于 1”的条件，即是
否有某个? i ? 1
。
参数检验法 系统的平稳性条件可以用特征根表示，也可以
用模型的自回归参数表示
要检验一个系统的稳定性，可以先拟合适应的 模型，然后再根据求出的自回归参数来检验。
检验方法如下：
其中? 0＝-1，
第二行是第一行的逆排列
第三行元素分别是：
bi
?
a0 a n?1
a n?1?i ai
? a 0a i ? a a n?1?i n?1
i ? 0,1,2,? , n ? 2
依次类推，直到只剩下三个元素
当且仅当满足下面三个条件时，序列才是平稳的。
（1） ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? n ? 1
（2） ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? ? (? 1)n ? n ? 1
解：构造列阵如下：
行
参数
1
-1
2
-0.6
0.2
2
0.2
-0.6
2
-1
3
0.96 -1.88
0.2
a0
?
?0 ?n
?n ?0
?
1
?
?
2 n
l0 ? a 0?
?1 0.2 0.2 ?1
? 0.96
a1
?
?0 ?n
? n?1 ?1
? ? 0? 1 ? ? ? n?1 n
-1 - 0.6
l1 ? a1 ? 0.2
第六章、非平稳时间序列
一、非平稳性的检验
? 几种简单、常用的检验方法： ? （1）数据图法 ? （2）自相关、偏自相关函数检验法 ? （3）特征根检验法 ? （4）参数检验法 ? （5）逆序检验法 ? （6）游程检验法。
平稳性回顾 ★宽平稳 ★期望常数、协方差函数为时间间隔的函数 ★也即无趋势性、无周期性、无季节性 ★ Gj→0，当j→∞ 时 ★模型自回归部分对应的差分方程的特征方程的 特征根的模都小于 1