流体力学课件--第2章流-体-静-力-学

•压强沿轴向的变化率等于轴向单位 体积上的质量力的分量； •流体静止的必要条件。
二、静止流体中压强的全微分方程
fx
1
p x
f
y
1
p y
fz
1
p z
静力学基本方程各项依次乘以dx,dy,dz后相加得
f xdx
f ydy
f z dz
1（p
x
dx
p y
dy
p z
dz）
1
dp
11
即 dp （f xdx f ydy f zdz）（JC 2-2）
dp dw p w C
设自由表面上任一点O的压强P0 和势函数W0已知，则积分常数为：
C p0 w0
气
即
泡
p p0 (w w0 )
p0 , w0
13
三、等压面 压强相等的各点所组成的面。
dp （f xdx f ydy f zdz） 0
fxdx f ydy fzdz 0
(2-3)
f • ds 0 dw
平衡流体等压面上任一点的质量力垂直于等压面； 质量力在等压面上(不做功)。
*、已知质量力的方向可以确定等压面形状；反
之亦然。
14
思考？
（1）常见等压面？ 自由液面、平衡流体中互不混
合的两种流体的界面。
（2）只有重力作用下的等压面应满 足哪些条件？
（1）.静止； （2.连通）； （3）. 介质为同一均质流体； （4）.同一水平面。
fx
1 dydxdz 6
0
py
1 dxdz 2
pndAco（s n，y）
fy
1 dydxdz 6
0
pz
1 dxdy 2
pndAco（s n，z）
fz
1 dydxdz 6
0
4
四面体 各面间 的面积 关系
dAco（s n，x） 源自文库 dydz 2
dAco（s n，y） 1 dxdz 2
dAco（s n，z） 1 dydx 2
p1 p2 p2 p3
12 3 4
p0
h
p1 p4
p2 p3
特性2：静止流体中的某点的压 强是各向等大的，仅与位置有 关，而与方向无关。
2
证明：取微小直角四面体进行受力分析：
Px
px
1 dzdy 2
（1）表面力
Py
py
1 dzdx 2
Pz
pz
1 dxdy 2
Pn pn dA
（2）质量力
Fx
pz )
2、理想流体 P px py pz
第二节、流体静力学基本方程
一、欧拉平衡微分方程 揭示平衡状态下流体内部压强与质量力的关系。
6
推证方法1（JCP19）
在平衡流体中取微元六面体，边长为dx，dy，dz， 设中心点的压强为p(x,y,z)=p
（1）受力分析
Y向： （P P dy ）dxdz
P P0 g（H z） P0 gh
讨论-1
由
z p C
g
z1
p1
g
z2
p2
g
g(z1 z2 ) p1 p2
说明 *、适用条件：静止、连续、只有重力作用、同一均质流 体。 *、知道一点压强和两点间的位置可以推出另一点的压强1。7
讨论-2 量纲分析
gz
p
C
gz m m kg m m N m J
整理、化简 受力平衡方 程可得：
Px
Pn
1 3
f x dx
0
Py
Pn
1 3
f y dy
0
Pz
Pn
1 3
f z dz
0
当微元趋于0时
Px Py Pz Pn
静止流体中某点的压强大小与方向无关，只是位置
的函数：
P p(x, y, z)
5
二、运动流体与理想流体中的压强
1、运动状态
P
1 3
(
px
py
fx
1 dxdzdy 6
Fy
fy
1 dxdzdy 6
Fz
fz
1 dxdzdy 6
由于静止，各轴向的合力为0，即： F 0
3
Px Pn co（s n，x） Fx 0 Py Pn co（s n，y） Fy 0 Pz Pn co（s n，z） Fz 0
px
1 dydz 2
pndAco（s n，x）
第二章 流体静力学
研究流体处于静止或相对静止状态下的平
衡规律极其应用。流体静力学主要解决压强的
分布求解问题。
1
第一节、静止流场中的应力特性
一、两个特性
特性1：流体静压强的作用方向沿着作用面的内法线方向。
证明：设想在平衡流体中沿虚线所在 平面去掉上部的液体：
（反证法）：否则会存在切应 力（与静止矛盾）或拉应力（与 流体不能承受拉力的特性矛盾）。
s2
s2 kg
kg kg
单 位 质
N
P
m2 kg
N m J
kg
kg
m3
量 的 能 量
gz：单位质量流体所具有的位能； p/ρ：单位质量流体所具有的静压能。
（3）等压面一定是水平面吗？
15
第三节、流体静力学的几个基本问题
一、重力作用下静止流体中的压强分布
单位质量力： f x 0，f y 0，fz g 由静止流场的压强全微分方程有：
dp ( fxdx fydy fzdz) gdz
积分： p gz C
z
p
g
C
如图自由液面上: z=H , p=p0 C p0 gH
不可压缩流体密度是常数，括号中的三项应是某个函
数w的全微分：
dw w dx w dy w dz
x
y
z
f xdx f ydy fzdz
即 dp dw
fx
w , x
fy
w , y
fz
w z
势函数（力函数）：w w( x, y, z)
常密度流体只有在有势力作用下才能维持平衡。 12
由 积分得
欧拉 平衡 方程 (2-1)
8
推证方法2（ZX）
在惯性系中（符合牛顿定律），因处于静止状态，作
用在流体微团上的外力和为0：
F
Fm
FA
fdV
pndA
0
V
A
由奥-高定理：若函数P在封闭区域V内一阶导数连续，
则有
pndA pdV
A
V
i
j
k
x y z
矢量微分算子 （哈密顿算子）
：将封闭曲面积分转化为体积分，反之亦然。
9
F
Fm
FA
fdV
pndA
0
V
A
（ f P）dV 0
V
f P 0
f
1
P
pndA PdV
A
V
fx
1
p x
f
y
1
p y
fz
1
p z
f
P
1（ p
i
p
j
p
k）
x
y
z 10
欧拉平衡方程的物理意义：
•处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量 与质量力分量彼此相等；
y 2
表面力
（P P dy ）dxdz y 2
因为平衡：
质量力
Fy 0
f y dxdydz
（P
P y
dy ）dxdz 2
（P
P y
dy ）dxdz 2
f ydxdydz
0
7
f
y
dxdydz
P y
dxdydz
0
fy
1
P y
0
同理：
课后 自导
fx
1
fz
1
P x
P z
0 0
思考：质量力只有重力时是什么状况?