求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

求三角函数值域及最值的常用方法
（一）一次函数型
或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a
化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解；
（2）2sin(3)512
y x π
=--
+，x x y cos sin =
（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2
π
上的最小值为 1 ．
（4）函数tan(
)2
y x π
=-(4
4
x π
π
-
≤≤
且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞
（二）二次函数型
利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。

（2）函数)(2cos 2
1cos )(R x x x x f ∈-
=的最大值等于43．
（3）.当2
0π
<<x 时，函数x x
x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．
（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．
（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．
（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解
例1：求函数cos 2
y x =
-的值域。

解法1
：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx
, sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。

作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2
x
y x =
-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3。

结合图形可知，此函数的值域是[33
-。

解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴
sin()
x φ+=由
|sin()|
1x φ+=
≤22(2)1y y ⇒≤+，解得：33y -
≤≤[33
- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2
12sin t
t
x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到
2
213t y
t
=--则有2
320yt t y ++=知：当0
t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2
4120y =-≥△，33y ⇒-≤≤故所求函数的值域是[,]33
-。

解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2
12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =
-得到2
213t
y t
=--当0t
=时，则0y =，满足条件；当0t ≠时，
22
113(3)
y t t t t
=
=---+，如果t > 0
，则221133(3)y t t t t ==-≥=---+，
此时即有03
y -
≤<；如果t < 0
，则21
3()(3)y t t
=≤
=-+-
，此时有0y <≤
[。

例2.求函数2cos (0)sin x
y x x
π-=<<的最小值．
解法1：（利用三角函数的有界性求解）原式可化为sin cos 2(0)y x x x π+=<<
，得
)2x ϕ+=
，即sin()x ϕ+=
1≤
，解得y ≥
y ≤y
．
解法2：(从结构出发利用斜率公式，结合图像求解)2cos (0)sin x
y x x
π-=
<<表示的是点
(0,2)A 与(sin ,cos )B x x -连线的斜率，
其中点B 在左半圆22
1(0)a b a +=<上，由图像知，当AB 与半圆相切时，y
最小，此时AB k y
．
（四）换元法
例题：求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值．
解：设sin cos x x t +
=(
t ≤≤，则21sin cos 2t x x -⋅=，则211
22
y t t =+-，
当t =
时，y 有最大值为1
2
（五）降幂法
例1：求函数)24
74
(
cos sin 4sin 3cos 35)(22π
π
≤
<-+=x x x x x x f 的最值，并求取得最值时x 的值。

分析：先化简函数，化成一个角的一种函数再由正弦，余弦函数的有界性，同时应注意角度的限定范围。

解：由降幂公式和倍角公式，得
x x
x x f 2sin 22
2cos 1322cos 135)(--++= 332sin 23cos 32+-=x x 33)6
2cos(4++
=π
x
∵
2474ππ
≤
<x ， ∴436232π
ππ≤
+<x ，∴21)62cos(22-<+≤-πx ∴()f x 的最小值为2233-，此时24
7π
=x ，()f x 无最大值。

例2. 已知函数2
π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭
，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．
（I ）求()f x 的最大值和最小值；
（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，上恒成立，求实数m 的取值范围．
分析：观察角，单角二次型，降次整理为sin cos a x b x +形式．
解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤
⎛⎫=-+=+
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
∵ π12sin 23x ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭．
又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π
2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛
⎫
+- ⎪⎝⎭≤≤，
max min ()3()2f x f x ==，∴．
（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，，
max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，
14m <<∴，即m 的取值范围是(1
4)，． 典型应用题
例题：扇形AOB 的半径为1，中心角为60︒，PQRS 是扇形的内接矩形，问P 在怎样
的位置时，矩形PQRS 的面积最大，并求出最大值．
分析：引入变量AOP x ∠=，建立目标函数．
解：连接OP ，设AOP x ∠=，则sin PS x =，cos OS x =
，
cos RS x x =．
(cos )sin )6S x x x x π∴=-
=+， 03
x π
<<
，所以当6
x π
=
时，P 在圆弧中心位置，max 6
S =
． 点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的函数关系式，这是解题的关键．
（六）条件最值问题（不要忘了条件自身的约束）
例1. 已知1sin sin 3
x y +=
，求2
sin cos y x -的最大值与最小值． 分析：可化为二次函数求最值问题．
A
B O
R
S P
Q
解：（1）由已知得：1sin sin 3y x =
-，sin [1,1]y ∈-，则2
sin [,1]3x ∈-． 22111sin cos (sin )212
y x x ∴-=--，当1sin 2x =时，2sin cos y x -有最小值11
12-；
当2sin 3
x =-时，2
sin cos y x -有最小值49．
例2：已知αβαsin 2sin 2sin 322=+，求βα2
2sin sin +=y 的取值范围。

分析：用函数的思想分析问题，这是已知关于sin α，sin β的二元条件等式求二元二次函数的值域问题，应消元，把二元变一元，注意自变量的范围。

解：∵αβαsin 2sin 2sin 32
2
=+，∴ααβsin sin 2
3sin 2
2+-
= ∵1sin 02≤≤β ∴32sin 01sin sin 2
30
sin sin 2
3
22≤≤⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≤+-≥+-ααααα解得
∵2
1
)1(sin 21sin sin 21sin sin 2222+--=+-=+=αααβαy
∵3
2
sin 0≤≤α。

∴sin α=0时，0min =y ； 32sin =α时，94max =y ∴94
sin sin 022≤+≤βα。

例3 ：求函数x x y -+=1的最大值和最小值，并指出当x 分别为何值时取到最大值和
最小值。

解：∵定义域为0≤x ≤1，可设x x 2cos =且2
0π
θ≤
≤
θθ22sin cos 11=-=-x ，2
0π
θ≤
≤
∴)4
sin(2cos sin sin cos 22π
θθθθθ+
=+=+=
y ∵20πθ≤≤，∴4
344π
πθπ≤+≤，∴1)4sin(22≤+≤πθ即21≤≤y ∴当44ππθ=+或434ππθ=+，即θ =0或2π
θ=（此时x=1或x=0），y=1；
当2πθ+，即4πθ=时，（此时2
1
=x ），2=y ，
当x=0或x=1时，y 有最小值1；当2
1
=x 时，y 有最大值2。

评析：利用三角换元法求解此类问题时，要注意所设角的取值范围，要同原函数定义域相一致，尽量恰到好处。

【反馈演练】
1．函数))(6
cos()3sin(
2R x x x y ∈+--=π
π的最小值等于____－1_______． 2．已知函数()3sin f x x =，3()sin()2
g x x π
=-，直线m x =和它们分别交于M ，N ，则
=max MN
．
3．当04
x π
<<时，函数22
cos ()sin x
f x x x =-的最小值是______4 _______． 4．函数sin cos 2
x
y x =+的最大值为，最小值为________. 5．函数cos tan y x x =⋅的值域为 .
6．已知函数11
()(sin cos )|sin cos |22
f x x x x x =+--，则()f x 的值域是 .
7．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值是2-，则ω的最小值等 于_________．
3
2 8．（1）已知(0,)θπ∈，函数213sin y θ
θ
=
+的最大值是_______.
（2）已知(0,)x π∈，函数2
sin sin y x x
=+
的最小值是____3___. 9．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2
,
0(),1,(sin ),cos ,1(π
θθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大
值时，=θ_____________
．
10．已知函数()2cos (sin cos )1
f x x x x x =-+∈R ，．
2π
12
(1,1)- [22
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的最小值和最大值．
解：（Ⅰ）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛
⎫=-+=-=- ⎪⎝
⎭．
因此，函数()f x 的最小正周期为π．
（Ⅱ）
因为π()24f x x ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，上为减函
数，又π08f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，3π8f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫
=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
1-．
解法二：作函数π()24f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：
间π3π84
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上
由图象得函数()f x 在区
3π14f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
．
x
11．若函数)4
sin(sin )
2
sin(22cos 1)(2π
π
+
++-+=
x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a
的值. 解：)4
sin(sin )
2
sin(
21cos 21)(22π
π
+
++--+=
x a x x x x f
)4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222ππ+++=+++=x a x x x a x x x )4
sin()2()4
sin()4
sin(222π
π
π
+
+=+
++
=x a x a x
因为)(x f 的最大值为)4
sin(,32π
++x 的最大值为1，则,3222+=+a
所以,3±=a
12．已知函数2
()2sin sin 2f x x x =+．
（1）若[0,2]x π∈．求使()f x 为正值的x 的集合； （2）若关于x 的方程2
[()]()0f x f x a ++=在[0,
]4
π
内有实根，求实数a 的取值范围.
解：（1）∵()1cos 2sin 2f x x x =-
+1)4
x π
=-
()01)04
f x x π
∴>⇔+-
>sin(2)4x π⇔-> 52224
4
4
k x k π
π
π
ππ⇔-
+<-
<
+ 34
k x k π
ππ⇔<<
+ 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44
x ππ
π∈⋃
（2）当[0,
]4
x π
∈时，2,444x π
ππ⎡⎤
-
∈-⎢⎥⎣⎦
∴sin(2)[3x π-∈
则()[0,2]f x ∈，∴2
()()[0,6]f x f x +∈
∵方程2
[()]()0f x f x a ++=有实根，得)]()([2
x f x f a +-= ∴[6,0]a ∈-
【高考赏析】
（1）（本小题满分13分）
设函数2
()sin f x x xcos x ωωωα=++（其中0,R ωα>∈），且()f x 的图象
在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6
π。

（I ）求ω的值。

（II ）如果()f x 在区间5,36ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
α的值。

（本小题13分）
1()2sin 22 sin 23 2,
6
3
2
1
.
2
f x x x x ωωαπωα
π
π
π
ωω=+++⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭⋅+
=
=解：（I ）依题意得解之得
)2
57 ,0,,36361 sin()1,23
51 (),3621 22x x x f x παπππππππαα++⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦-≤+≤⎡⎤--++⎢⎥⎣⎦
-++=（II)由（I ）知,f(x)=sin(x+3又当时，故从而在上取得最小值因此，由题设知
12
α= 2.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=3sin(2x －π6)+2sin 2(x －π12
) (x ∈R) (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合.
．解:(Ⅰ) f (x )=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12
) = 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12
)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6
]+1 = 2sin(2x －
π3) +1 ∴ T =2π2
=π (Ⅱ)当f (x )取最大值时， sin(2x －π3)=1，有 2x －π3 =2k π+π2
5π12 (k∈Z) ∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+
5π
12
， (k∈Z)}．
即x=kπ+。