(完整版)高中物理关联速度的合成与分解

速度关联类问题求解·速度的合成与分解
●难点
1.（★★★）如图5-1所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？
2.★★★★如图5-2所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？
●案例探究
［例1］★★★如图5-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？
错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度按图5-4所示分解，从而得出错解v 物=v 1=v cos θ.
解题方法与技巧：解法一:应用微元法
设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图5-5所示.过C 点作CD ⊥AB ，当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度.
由图可知：BC =
θ
cos BD
①
由速度的定义：物体移动的速度为v 物
=t
BC t s ∆=∆∆1 ②
人拉绳子的速度v =
t BD t s ∆=
∆∆2
③
由①②③解之：v 物=
θ
cos v
解法二:应用合运动与分运动的关系
绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图5-6所示进行分解.
其中:v =v 物cos θ，使绳子收缩.
v ⊥=v 物sin θ,使绳子绕定滑轮上的A 点转动. 所以v 物=
θ
cos v
解法三：应用能量转化及守恒定律
由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功.
人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为P 1=Fv ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为P 2=Fv 物cos θ，因为P 1=P 2所以v 物=
θ
cos v
图5-1
图5-2
图5-3
图5-4
图5-5
图5-6
图5-7
［例2］（★★★★★）一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度v A（此时杆与水平方向夹角为θ）.
错解分析：①不能恰当选取连结点B来分析，题目无法切入.②无法判断B点参与的分运动方向.
解题方法与技巧：选取物与棒接触点B为连结点.（不直接选A点，因为A点与物块速度的v的关系不明显）.因为B点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B点的合速度（实际速度）也就是物块速度v；B点又在棒上，参与沿棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2.因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v2=v sinθ.
设此时OB长度为a，则a=h/sinθ.
令棒绕O点转动角速度为ω，则：ω=v2/a=v sin2θ/h.
故A的线速度v A=ωL=vL sin2θ/h.
●锦囊妙计
一、分运动与合运动的关系
1.一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v分、s分）互不干扰，即：独立性.
2.合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性.
3.合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性.
二、处理速度分解的思路
1.选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）.
2.确定该点合速度方向（通常以物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变.
3.确定该点合速度（实际速度）的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向.
4.作出速度分解的示意图，寻找速度关系.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.（★★★）如图5-8所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮
D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D.BC段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v.
2.（★★★★★）如图5-9所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为v B，
加速度为a B，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小
.
图5-9 图5—10
3.（★★★★）一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另
图5-8
一端和套在竖直光滑杆上的物体m 2连接.已知定滑轮到杆的距离为3m.物体m 2由静止从AB 连线为水平位置开始下滑1 m 时，
m 1、m 2恰受力平衡如图5-10所示.试求：
（1）m 2在下滑过程中的最大速度. （2）m 2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.
4.（★★★★）如图5-11所示，S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO 是垂直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点 S ′在屏上移动的瞬时速度v 为多大？
5.（★★★★★）一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图5-12所示.绳的P 端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H .提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A 经B 驶向C.设A 到B 的距离也为H ，车过B 点时的速度为v B .求在车由A 移到B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功.
6.（★★★★★）如图5-13所示，斜劈B 的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r 的球A 放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中
（1）斜劈的最大速度.
（2）球触地后弹起的最大高度。

（球与地面作用中机械能的损失忽略不计） 参考答案： ［难点］ 1.v B =
0cos cos v β
α
2.略 ［歼灭难点训练］ 1.v =
α
cos 10
+v
2.v A =v B tan α;a A =a B tan α
3.（1）由图可知，随m 2的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m 2在C 点受力恰好平衡，因此m 2从B 到C 是加速过程，以后将做减速运动，所以m 2的最大速度即出现在图示位置.对m 1、m 2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒.ΔE 增=ΔE 减，即
21m 1v 12+2
1
m 22v 2+m 1g （A C -A B ）sin30°=m 2g ·B C 又由图示位置m 1、m 2受力平衡，应有： T cos ∠ACB =m 2g ,T =m 1g sin30°
又由速度分解知识知v 1=v 2cos ∠ACB ，代入数值可解得v 2=2.15 m/s,
（2）m 2下滑距离最大时m 1、m 2速度为零，在整个过程中应用机械能守恒定律，得： ΔE 增′=ΔE 减′ 即:m 1g （
AB AB H -+2
2）sin30°=m 2gH
利用（1）中质量关系可求得m 2下滑的最大距离H =
3
43m=2.31 m
4.由几何光学知识可知：当平面镜绕O 逆时针转过30°时，则：∠SOS ′=60°， OS ′=L /cos60°.
选取光点S ′为连结点，因为光点 S ′在屏上，该点运动方向不变，故该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v ；光点S ′又在反射光线OS ′上，它参与沿光线OS ′的运动.速度v 1和绕O 点转动，线速度v 2；因此将这个合速度沿光线OS ′及垂直于光线 OS ′的两个方向分解，由速度矢量分解图5′—1可得：
v 1=v sin60°,v 2=v cos60°
又由圆周运动知识可得：当线OS ′绕O 转动角速度为2ω. 则：v 2=2ωL /cos60°
图5′—1
图5′—2
图5-12
图5-13
vc os60°=2ωL /cos60°,v =8ωL .
5.以物体为研究对象，开始时其动能E k1=0.随着车的加速运动，重物上升，同时速度也不断增加.当车子运动到B 点时，重物获得一定的上升速度v Q ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量，如图5′-2，即
v Q =v B 1=v B c os45°=
2
2v B
于是重物的动能增为 E k2 =
21mv Q 2=4
1mv B 2 在这个提升过程中，重物受到绳的拉力T 、重力mg ，物体上升的高度和重力做的功分别为
h =
2H-H=（2-1）H
W G =-mgh =-mg （2-1）H
于是由动能定理得 W T +W G =ΔE k =E k2-E k1
即WT -mg （
2-1）H =
4
1mv B 2
-0 所以绳子拉力对物体做功W T =4
1
mv B 2+mg （2-1）H
6.（1）A 加速下落，B 加速后退，当A 落地时，B 速度最大，整大过程中，斜面与球之间弹力对球和斜面做功代数和为零，所以系统机械能守恒.
mg （h -r ）=
2mv A 2+2mv B 2
①
由图中几何知识知：h =cot30°·r =3r ②
A 、
B 的运动均可分解为沿斜面和垂直斜面的运动，如图5′—3所示。

图5′—3
由于两物体在垂直斜面方向不发生相对运动，所以v A 2=v B 2 即v A cos30°=v B sin30° ③ 解得v A =
2
)13(gr
-
v B =
2
)13(3gr
-
（2）A 球落地后反弹速度v A ′=v A 做竖直上抛运动的最大高度：H m =
4
)13(22
r
g v A -='。