分部积分法课件

2
1 dx
x2 a2
= x x2 a2 a2 ln x x2 a2 C
2
2
此题也可用换元法求,但较繁杂.
总结 : 求不定积分的基本思路可分为两步 : 一 、观察被积函数的结构特点 ;
一方面是函数的类型 , 另一方面是函数的具体特点. 二 、选择适宜的简捷的积分方法.
注: 1. 采用不同的积分方法, 求出的原函数可能
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C.
例2 求积分 x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法） u x, e xdx dv x2e x 2( xe x e x ) C.
x2 dx x2 a2
x x2 a2 x2 a2 a2 dx x2 a2
x x2 a2
x2 a2 dx a2
1 dx
x2 a2
移项,得
2 x2 a2 dx x x2 a2 a2
1 dx x2 a2
即 x2 a2 dx x x2 a2 a2
2
1.反三角函数
2.对数函数
3.幂函数的顺序设其为u.
例1 求积分 x cos xdx .
解（一） 令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos xdx
x2 2
cos x
x2 2
sin
xdx
显然，u,v 选择不当，积分无法进行.
解（二） 令 u x, cos xdx d sin x dv
但并不是等价于任何一个连续函数的原函 数都可以用初等函数表示出来.
如:
ex2 dx,
sin x2dx,
sin x
x
dx,
dx ln x
…
注: 上面列举的方法为一般常用的 换元法， 并未包括所有的换元 法,需具体问题具体分析.
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式
e
x
sin
xdx
ex 2
(sin
x
cos
x)
C.
总结：
对于类似于例5的题目，需要进行两次分部 积分才能完成，所以第二次分部积分时需 要与第一次分部积分对应起来，即第二次 设u的函数应是第一次设u的同类函数，否 则，积分不了。
凡是需要两次以上分部才能完成的积分，每 次分部时都应注意这种技巧。
例6.求 arcsin x dx 例7.求 ln(x 1 x2 ) dx 例8.求 sin(ln x) dx
例9.求 x2 a2 dx
解:u x2 a2 , dv dx v x, du x dx
x2 a2
x2 a2 dx x x2 a2
第三章 一元函数积分学
(四)
三、分部积分法 (Integration by Parts)
如何求 x cos x dx？
设u , v都是x的可微函数 , 由微分的运算法则知
d (uv) udv vdu udv d (uv) vdu
udv uv vdu
这就是分部积分公式.
一般 , 当被积函数具有以下形式时 , 多用分部积分公式 : 1. eax sin bx , eax cos bx , eax ln x
x)
x2 arctan x
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 arctwenku.baidu.comn x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
例4 求积分 x3 ln xdx.
解 u ln x, x3dx d x4 dv,
4
x3
ln
xdx
1 4
x
4
ln
x
1 4
x
3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
总结
若被积函数是幂函数和对数函数或幂
函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函
数或反三角函数为 u.
例5. 求积分 e x sin xdx.
解 e x sin xdx sin xde x e x sin x e xd(sin x) e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x e x sin x (e x cos x e xd cos x)
总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数
或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函
数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3 求积分 x arctan xdx.
解 令 u arctan x , xdx d x2 dv
x arctan
xdx
x2 2
arctan
x
2 x
2
2
d
(arctan
(a , b为常数)
2. xmeax , xm sin bx , xm cos bx (a , b为常数 , m为正整数)
3. xm arcsin x , xm arccos x , xm arctan x , xm ln x (m 1)
注 : 用分部积分法求不定积分的 关键是恰当地选取u和dv.若被积函数 含有幂函数, 对数函数或反三角函数 时,原则上设其为u ;若这三类函数混 合出现作为被积函数时,按
形式上不一样, 但实质上仅相差一个常数.
如:
(1)
tan
x sec2
xdx
tan
xd
tan
x
1 2
tan 2
x
C
(2)
tan
x
sec2
xdx
sin x cos3 x
dx
d cos x cos3 x
1 cos x 2 C 1 sec2 x C
2
2
注: 2. 虽然一切连续函数的原函数都是存在的,