齐次坐标变换及成像模型
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y=-x
y
几何关系
x' y y' x
o
x
矩阵形式
对称变换（5）
x
y 1 x
0 1 0 y x 1 y 1 1 0 0 0 0 1
2.错切变换（shear）
（1）沿 x 轴方向关于 y 轴错切
1 0 0 x y 1 x y 1 x y 1 0 1 0 0 0 1
o
x
对称变换（2）
（3）相对于原点对称（即中心对称）
y
几何 关系
x' x y' y
y 1 x 1 0 0 x y 1 y 1 0 1 0 0 0 1
（5-12）
将式（5-11）代入式（5-12）得：
x' x cos y sin y ' x sin y cos
（5-13）
矩阵形式
x
y x
cos y sin
sin cos
（5-14）
1.3 齐次坐标（homogeneous coordinates）技术
y
相对于原点的比例变换
（5-9）
重心
矩阵形式
x
y x
S x y 0
0 （5-10） Sy
相对于重心的比例变换
x
比例变换的性质
当 S x S时，变换前的图形与变换后的图形相似 y 当 S x S y 时，图形将放大，并远离坐标原点 1 当 0 S x S y 时，图形将缩小，并靠近坐标原点 1 当 S x S时，图形将发生畸变 y
cos sin 0 y 1 sin cos 0 0 1 0
6. 无穷远点或无穷远区域的齐次坐标表示
) 表示一个 n维的无穷远点 0时，齐次坐标 ( x1 , x2 ,..., xn ,
1.4 常用的二维几何变换
1.对称变换（symmetry）（反射变换或镜像变换） y （1）相对于y轴对称
o
x
矩阵 x 形式
对称变换（3）
y
（4）相对于直线y=x对称
y=x
几何 关系 矩阵 形式
x' y y' x
o
x
x
y 1 x
0 1 0 y y 1 1 0 0 0 0 1
x 1
对称变换（4）
（5）相对于直线y=-x对称
( x1 , x2 ,..., xn , )
( x1 / , x2 / ,..., xn / )
齐次坐标表示不是唯一的
1 规格化的齐次坐标
齐次坐标
非齐次坐标 齐次坐标
右边的四元组称为齐次坐标
空间坐标系到齐次坐标系的转换
点的齐次坐标表示
齐次向量坐标形式（w0）
1、二维图形几何变换
1.1 二维图形几何变换的原理
二维图形由点或直线段组成
直线段可由其端点坐标定义 二维图形的几何变换：对点或对直线段端点的变换
P x y
P x y
1.2 几种典型的二维图形几何变换
1.平移变换（translation）
Tx 平行于x轴的方向上的移动量 Ty 平行于y轴的方向上的移动量
几何 关系 矩阵 形式
x' x y' y
1 0 0 x y 1 x y 1 x y 1 0 1 0 0 0 1
y x o
对称变换（1）
（2）相对于x轴对称
几何 关系 矩阵 形式
x' x y' y
几何关系
y
P
x ' x Tx y' y Ty 矩阵形式
Ty
（5-7）
P
x
y x
y Tx
Ty
（5-8）
Tx
平移变换
x
2.比例变换（scale）
指相对于原点的比例变换
Sx
Sy
y
平行于x轴的方向上的缩放量 平行于y轴的方向上的缩放量
x
几何关系
x' x S x y' y S y
Sx S y 1
Sx S y
3.旋转变换（rotation） 点P绕原点逆时针转θ度角 （设逆时针旋转方向为正方向）
y
P
几何关系
x r cos y r sin
（5-11）
P
x
旋转变换
x' r cos( ) r cos cos－r sin sin y ' r sin( ) r cos sin ＋r sin cos
5.基本几何变换的齐次坐标表示
平移变换
x
y 1 x
1 y 1 0 Tx
0 1 Ty
0 0 1
比例变换
x
y 1 x
S x y 1 0 0
0 Sy 0
0 0 1
旋转变换：
逆时针为正
x
y 1 x
x y v x i y j z k (i , j , k , O ) z 0
– 点:
x y p O x i y j z k (i , j , k , O ) z 1
1.齐次坐标技术的引入
平移、比例和旋转等变换的组合变换 处理形式不统一，将很难把它们级联在一起。 2.变换具有统一表示形式的优点
– 便于变换合成
– 便于硬件实现
3.齐次坐标技术的基本思想
把一个n维空间中的几何问题转换到n+1维空间中解决。
齐次坐标
一个统一的点与向量表示方法 – 向量:
x x / w y y / w z z / w w 1
Fra Baidu bibliotek
统一的形式:
4.齐次坐标表示
( x1 , x2 ,..., xn )
有n个分量的向量
(x1 , x2 ,..., xn , )
有n+1个分量的向量 哑元或标量因子
y
几何关系
x' y y' x
o
x
矩阵形式
对称变换（5）
x
y 1 x
0 1 0 y x 1 y 1 1 0 0 0 0 1
2.错切变换（shear）
（1）沿 x 轴方向关于 y 轴错切
1 0 0 x y 1 x y 1 x y 1 0 1 0 0 0 1
o
x
对称变换（2）
（3）相对于原点对称（即中心对称）
y
几何 关系
x' x y' y
y 1 x 1 0 0 x y 1 y 1 0 1 0 0 0 1
（5-12）
将式（5-11）代入式（5-12）得：
x' x cos y sin y ' x sin y cos
（5-13）
矩阵形式
x
y x
cos y sin
sin cos
（5-14）
1.3 齐次坐标（homogeneous coordinates）技术
y
相对于原点的比例变换
（5-9）
重心
矩阵形式
x
y x
S x y 0
0 （5-10） Sy
相对于重心的比例变换
x
比例变换的性质
当 S x S时，变换前的图形与变换后的图形相似 y 当 S x S y 时，图形将放大，并远离坐标原点 1 当 0 S x S y 时，图形将缩小，并靠近坐标原点 1 当 S x S时，图形将发生畸变 y
cos sin 0 y 1 sin cos 0 0 1 0
6. 无穷远点或无穷远区域的齐次坐标表示
) 表示一个 n维的无穷远点 0时，齐次坐标 ( x1 , x2 ,..., xn ,
1.4 常用的二维几何变换
1.对称变换（symmetry）（反射变换或镜像变换） y （1）相对于y轴对称
o
x
矩阵 x 形式
对称变换（3）
y
（4）相对于直线y=x对称
y=x
几何 关系 矩阵 形式
x' y y' x
o
x
x
y 1 x
0 1 0 y y 1 1 0 0 0 0 1
x 1
对称变换（4）
（5）相对于直线y=-x对称
( x1 , x2 ,..., xn , )
( x1 / , x2 / ,..., xn / )
齐次坐标表示不是唯一的
1 规格化的齐次坐标
齐次坐标
非齐次坐标 齐次坐标
右边的四元组称为齐次坐标
空间坐标系到齐次坐标系的转换
点的齐次坐标表示
齐次向量坐标形式（w0）
1、二维图形几何变换
1.1 二维图形几何变换的原理
二维图形由点或直线段组成
直线段可由其端点坐标定义 二维图形的几何变换：对点或对直线段端点的变换
P x y
P x y
1.2 几种典型的二维图形几何变换
1.平移变换（translation）
Tx 平行于x轴的方向上的移动量 Ty 平行于y轴的方向上的移动量
几何 关系 矩阵 形式
x' x y' y
1 0 0 x y 1 x y 1 x y 1 0 1 0 0 0 1
y x o
对称变换（1）
（2）相对于x轴对称
几何 关系 矩阵 形式
x' x y' y
几何关系
y
P
x ' x Tx y' y Ty 矩阵形式
Ty
（5-7）
P
x
y x
y Tx
Ty
（5-8）
Tx
平移变换
x
2.比例变换（scale）
指相对于原点的比例变换
Sx
Sy
y
平行于x轴的方向上的缩放量 平行于y轴的方向上的缩放量
x
几何关系
x' x S x y' y S y
Sx S y 1
Sx S y
3.旋转变换（rotation） 点P绕原点逆时针转θ度角 （设逆时针旋转方向为正方向）
y
P
几何关系
x r cos y r sin
（5-11）
P
x
旋转变换
x' r cos( ) r cos cos－r sin sin y ' r sin( ) r cos sin ＋r sin cos
5.基本几何变换的齐次坐标表示
平移变换
x
y 1 x
1 y 1 0 Tx
0 1 Ty
0 0 1
比例变换
x
y 1 x
S x y 1 0 0
0 Sy 0
0 0 1
旋转变换：
逆时针为正
x
y 1 x
x y v x i y j z k (i , j , k , O ) z 0
– 点:
x y p O x i y j z k (i , j , k , O ) z 1
1.齐次坐标技术的引入
平移、比例和旋转等变换的组合变换 处理形式不统一，将很难把它们级联在一起。 2.变换具有统一表示形式的优点
– 便于变换合成
– 便于硬件实现
3.齐次坐标技术的基本思想
把一个n维空间中的几何问题转换到n+1维空间中解决。
齐次坐标
一个统一的点与向量表示方法 – 向量:
x x / w y y / w z z / w w 1
Fra Baidu bibliotek
统一的形式:
4.齐次坐标表示
( x1 , x2 ,..., xn )
有n个分量的向量
(x1 , x2 ,..., xn , )
有n+1个分量的向量 哑元或标量因子