1第1章线性空间与线性变换

1.2线性空间的基与坐标
一、维数与坐标 1 , 2 ,, r是 定义1.2.1设V是数域K上的一个线性空间， V中的一组向量，k1 , k2 ,, kr 是数域K中的数，那么向 量 k11 k2 2 kr r 称为向量 1 , 2 ,, r 的一 个线性组合，有时也称向量 可以由 1 , 2 ,, r 线 性表出。 (1)1 , 2 ,, r 定义1.2.2设V是数域K上的一个线性空间， 和(2)1 , 2 ,, s 是V上的两个向量组，如果（1）中的 任一向量都可由向量组（2）表出，则称向量组（1） 可由向量组（2）线性表出。如果向量组（1）和（2 ）可以互相线性表出，则称向量组（1）和（2）是等 价的。
定理1.2.1若线性空间V中有n个线性无关向量 1 , 2 ,, n 且V中任意向量都可以用它线性表出，那么V是n维的 ，而且 1 , 2 ,, n 就是V的一组基。
1.2线性空间的基与坐标
证明：因为 1 , 2 ,, n 线性无关的向量,所以dimV≥n 要证明V是n维的，只要证明任意n+1个向量必定线性相 关。 对任意给定的n+1个向量 1 , 2 ,n1 V 其均可由向 量组 1 , 2 ,, n 线性表出，若其线性无关则有 n+1<n，矛盾！命题得证。
1.1线性空间的定义与性质
定义 1.1.1设 V是一个非空集合，它 的元素用 x,y,z 等表示,并称之为 向量.K 是一个数域,它的元素用 k,l,m等表示. 如果 V满足下列条 件; 1. 在V中定义一个加法运算,即当 x,y∈V 时,有唯一的和x+y ∈V , 且加法运算满足下列性质 ① 结合律 (x+y)+z= x+(y+z); ② 交换律x+y=y+x; ③ 存在零元素 0, 使得x+0=x; ④ 存在负元素,即对任一向量 x∈V,存在y∈V使得x+y=0 2. 在 V中定义数乘(数与向量 的乘法)运算,即当 x∈V, k∈K时,有唯一的kx∈V, 且数乘运算满足下列性质 ① 数因子分配律 k(x+y)=kx+ky; ② 分配律(k+l)x=kx+lx; ③ 结合律k(lx)=(kl)x; ④ 1x=x. 则称V为数域 K上的线性空间.
• 线性变换
• 内积空间与酉空间
– 1.9内积空间与酉空间
1.1线性空间的定义与性质
• 数轴
• 平面
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Leabharlann Baidu
空间为体，矩阵为用
• 几何空间和 n 维向量空间 • 多项式集合 • 线性微分方程的解集合 • 线性空间 推广思想：抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的 集合上定义具有线性运算的代数结构和几何结构。
系统与控制中的矩阵理论
总学时： 32 学分：2 先修课程: 高等数学、线性代数、现代控制理论 教学目的:矩阵理论是系统与控制科学的数学基础之一 ，本课程主要介绍系统与控制学科中用到的矩阵理论 ，包括①线性空间与线性变换、②λ-矩阵与Jordan 标准型、③矩阵分解、④特征值估计与矩阵方程、 ⑤ 矩阵范数、⑥矩阵分析、⑦线性矩阵不等式等，为从 事系统和控制科学的各专业领域的教学和科研奠定良 好的基础。 考核方式：闭卷考试（100%） 教师：刘冀伟（1-4）、丁大伟（5-7）
1.2线性空间的基与坐标
定义1.2.3 线性空间V中的一组向量 1 , 2 ,, r ; r 1 称 为线性相关的，如果在数域K中存在r个不全为零的数 ，k1 , k2 ,, kr 使得 k11 k2 2 kr r 0 。如果向量 组 1 , 2 ,, r 不线性相关，就称为线性无关。
北京科技大学
系统与控制中的矩阵 理论
北京科技大学自动化学院
系统与控制中的矩阵理论
• • • • • • 程云鹏等. 《矩阵论》第3版. 西北工业大学出版社，2006. 黄琳. 《系统与控制理论中的线性代数》.科学出版社，1984． 须田信英等.《自动控制中的矩阵理论》. 科学出版社，1979. 张绍飞等.《矩阵论教程》.机械工业出版社，2010 杨明、刘先忠 . 《矩阵论》 华中科技大学出版社，2005 何希勤 、张大庆.《控制理论与控制工程中的矩阵分析基础》. 科学出版社，2010. • 俞立. 《鲁棒控制: 线性矩阵不等式处理方法》.清华大学出版 社，2002. • Stephen Boyd. Linear matrix inequalities in system and control Theory. SIAM studies in applied mathematics ，1994.
1.1线性空间的定义与性质
例： ① 数域R上的m×n矩阵，按矩阵加法和矩阵与数的 m×n 数量乘法构成数域R上的一个线性空间，用R 表示。 ② 全体实函数，按函数的加法和数与函数的数量乘 法，构成一个实数域上的线性空间。 线性空间的简单性质 ① 零元素是唯一的； ② 负元素是唯一的； ③ 0x=0;k0=0;(-1)x=-x； ④ 如果kx=0,那么k=0或x=0。
1.2线性空间的基与坐标
定义1. 2.4 如果线性空间V中有n个线性无关的向量，但 没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为是n维 的表示为：dimV=n。如果在V中可以找到任意多个 线性无关的向量，那么V就称为无限维的。
1.2线性空间的基与坐标
定义1.2.5 n维线性空间V中，n个线性无关向量 1 ,, n 称为V的一组基。V中的任一向量α，则α可以由这 组基线性表出，即 a x11 x2 2 xn n 其中 x1 , x2 ,, xn 被α唯一确定的，这组数就称为α在基 1 , 2 ,, n 下的坐标，记为 x1 x2 xn 。
北京科技大学
第一章 线性空间与线性变换
2012年11月4日
本章的主要内容
• 线性空间
– – – – – – – – 1.1 线性空间的定义与性质 1.2 线性空间的基与坐标 1.3 线性子空间 1.4 线性空间的同构 1.5 线性映射与线性变换 1.6 线性变换的值域与核 1.7 不变子空间 1.8 特征值与特征向量