解析几何模块讲义

解析几何模块复习

【直线与圆】

1. 倾斜角、斜率

例1：cos 10()x y R θθ--=∈的倾斜角的取值范围是_______.

例2：设直线斜率为k ，且333

k <<

，则直线的倾斜角的取值范围是______. 2. 平行和垂直关系 平行：12k k =或1221A B A B =(除去重合情况)，斜率不存在时单独考虑.

垂直：121k k =-或12120A A B B +=，以及斜率为零和斜率不存在的情况.

(1)设a R ∈，则“1a =”是“直线210ax y +-=与直线(1)40x a y +++=平行”的________条件.

3. 三个距离公式

两点距离：221212()()d x x y y =-+-点到直线距离：0022d A B =+

平行直线距离：1222d A B =+4. 过定点问题

解题步骤：按照参数化简，解方程组

例：设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值为________.

5. 圆的方程

标准方程：222

00()()x x y y r -+-=

一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 参数方程：()00cos [0,2)sin x x r y y r θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩

例：点(,)P x y 在圆22

(2)(3)4x y -++=，则2x y +的最大值为_______；最小值为_______.

6. 圆的弦长问题

解题思路：利用垂径定理，转化为圆心到直线距离

例：已知圆22

:(1)5C x y -+=，求直线4310x y -+=被圆所截得的弦长.

7. 圆的切线问题

两种思路：一是列直线和圆的方程组求解；而是利用圆心到直线距离等于半径d r =.

【圆锥曲线】

1. 定义

①圆：到定点(圆心)距离等于定长(半径)点的轨迹.d r =

②椭圆：到两定点(焦点)距离之和为常数的点的轨迹.12||||2PF PF a += ③双曲线：到两定点(焦点)距离之差的绝对值为常数的点的轨迹. 12||||2PF PF a -= ④抛物线：到定点(焦点)和到定直线(准线)的距离相等的点的轨迹.d r =

2. 标准方程

略 3. 通径(需要作为结论记忆) 椭圆：2

2b a

双曲线：2

2b a

抛物线：2p

4. 离心率求值/范围 ※利用顶角范围建立不等式

例题1：已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，满足1290F PF ∠=的点P 都在椭圆内部，则离心率范围是_______.

※利用焦半径范围建立不等式

例题2：已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆上一点P 满足1221

sin sin a c PF F PF F =∠∠，求离心率的范围. ※利用三角形两边之和大于第三边

例题3：已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则双曲线的离心率最大值为_______.

5. 中位线模型 常常在焦点三角形中构造中位线

例：(2014辽宁)已知椭圆22

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x y +=，点M 不与焦点重合，M 关于两焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在椭圆上，则||||AN BN +=_______.

6. 中点弦模型

方法：点差法(要掌握推导过程)

中点弦结论：,A B 是椭圆/双曲线上的点，M 是AB 中点，则有 22AB OM b k k a ⋅=-（椭圆中） 22AB OM b k k a ⋅=（双曲线中） 例：(2013全国Ⅰ)已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直，线交椭圆于,A B 两点.若AB 中点坐标为(1,1)-，则椭圆方程为__________.

7. 重要结论

,A B 是椭圆/双曲线上的左右顶点，P 是椭圆/双曲线上不同于左右顶点的任意一点，则 22PA PB b k k a ⋅=-（椭圆中） 22PA PB b k k a

⋅=（双曲线中） 例：已知椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，,A B 分别是长轴的两个端点，,M N 是椭圆上关于x 对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，若121||4k k =

，则椭圆的离心率为_______.

8. 求轨迹

两种思路：①根据图形的定义求解；②根据条件直接列方程求解

例1：已知两定点12(2,0),(2,0)F F -，求满足12||||2PF PF -=的点P 的轨迹方程. 例2：点M 与两定点(1,0),(1,0)A B -构成MAB Δ，且直线,MA MB 斜率之积为4，求动点M 的轨迹方程.

9. 求面积

思路：1||2

S AB d =⋅，||AB 为弦长，d 为三角形顶点到底边AB 的距离(三角形的高)

弦长公式：212122

2

1||1||1||1||AB k x x y y k k a =+-=+

-=+Δ

注意点：联立方程时要求0>Δ

例1：(2011北京)斜率为1的直线l 与椭圆22

:1124

x y C +=交于,A B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -，求PAB Δ面积.

例2：(2006上海)点1(1,)2A ，过原点的直线交椭圆2

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x y +=于点,B C ，求ABC Δ的最大值.