对一道高考试题的思考与探究
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ａ ｃｃ ｓ ｒ ｏ ≤ ≤ ｄ ＝ ２
如图 ｌ 设圆心Ｏ到 、Ｂ ， Ｄ的距离分别为
ｒ ＣＳ 时， Ｏ ０ Ｓ取得最小值 ２ ｒ
＝ ｓ ． ＝ ｉ ０ ． ｎ
ｄ、 ２Ｎｄ ＋ｄ ＝Ｏ ＝３ １ ｄ， ｝ ； Ｍ ．
，一 一
证 明： ＩＭ ｆ ｄ 圆心 ０到 Ａ 设 Ｏ ＝ ， Ｃ、ＢＤ的
ｄ２ 昙即１ ｄ： 时 ｓ ５我 ｌ ： ， ｄ： ２ ， ： ． ｄ ｍ
们同时得到当ｄ ｄ ＝ ０ 即 ｉ２ ， 圆（的直径时， ｍ ＝４ ＝ ） Ｓｉ ． 或 ＢＤ有一条是
二、 问题的进一步探究 问题 １ 将原问题 推广， 若 、ＢＤ过 圆（ 二 ） 内的定点 Ｍ ， 且其 夹角保持定角 不变， 结论如 何呢？ 定理 １ 已知 Ｍ 是半 径为 ７的圆 （ 内一定 ’ ＝ ） 点， Ｃ、 Ａ ＢＤ为过点Ｍ 的两条弦， 且它们的夹角
ｄ ＋ｃ 一２ｌ２ｏ０ ２ｉ ０ ； ｆ ｄｄ ｓ ＝ｄｓ ． ； ｃ ｎ
此时， 可得
显然， 这时 Ｓ 无最小值， 但有最大值． 定理 ２ 已知 吖 是半径 为 ｒ 圆 Ｏ内一定 的
Ｓ ２ｎ￣ｄ２ ２ｓ２，＇ｄｓ ０ ２ （ｄ ｒｏ ）７７ ２ｉ ＝ｓＯ １－ ＋ （一 ） ｉ ｃ０ ２２ ｎ
点， ＡＣ、Ｂ Ｄ为过点 的两条弦， Ｏ ＝ 设ＩＭＩ ｌ ｆ ｃ 其中 ｏ Ｏ ｓ
ｄ 则 当 Ａ 、 ＢＤ的夹角为 ， Ｃ ０
一
（ ≤ｃ曼 ０ ｄｓ） ｄ ￣２． ｏ
ｏ
ｌ
由 ≤Ｓ， 的 值 我 只 求 于 １ 要求 最 ， 们 要
Ｓ 的最大值和 的最小值即可． ｌ
（丢 ） 一＋
２
＝
ｄ／时， ）
２｛
ｘ ：ｌ ｄ ２ ｄｓ ， ￣ Ｓ， ｉ ＝ ｎ昙 ｆ 当 ｄ ｉ
即当ｄ ＝如 ＝ｄ ｉ 时， ｌ ｓ ｎ
四边形Ａ ＢＣＤ的面积 Ｓ取得最大 【 。 １ 值 ２ 一（ 一 ｒ
ＣＳ ｏ ｓ ． Ｏ Ｏ） 】 ｎ ｏ ｄ ｉＯ
由基本不等式得 ０≤ｄｃ ｌ２≤ｄ ｎ ． ｆ ２ｉ ｓ
此 日 ！ 三
２ｉ ／ ｌ２ ＇ｃｓ ） ２ 一ｄ）ｉ ０ ｎ ￣（ ｄ ＋７ ｏ ＋Ｔ（ ｓＯ ｄ Ｏ ｓ ｎ
（ ≤ ｎ） 。 ｉ ． ≤ 曼
５２ —２
数 学 学教
即 ０＜ ０＜ ａｃ ｏ ｒ ｓ ｃ
（） ２当０＜０＜ａｃｏ ｒ ｓ ｃ ， ｌ ｄ ｄ ２
步的思考和探究， 下面将探究过程介绍如下．
一
、
问题的解答
本题有多种解法， 下面我们利用图形 的几何 性质给出一种 比较 简捷 的解法．
ｄｓ ， 得小２２２２ ｓ； ｃ 时５ 最值（－ｃ鲁ｉ，
（） ｆ ｄ １ 当（ １＝ ２＝ ｄ ｉ 时， ｓ ｎ ｓ取得最大值
直的弦， 垂足为 Ｍ （， ） 则 四边形 ＡＢＣ １ ， Ｄ的
面积的最大值为
本题小巧精致， 表述简洁， 解法灵活， 立意于
考查学生的能力． 问题吸引我们对其进行了进 该
一
２２ ｓ ） （ ｉ ｓ； ｒ ｎ ｉ ｎ
Ｇ ｆ Ｈ（ Ｑｆ Ｐ
Ｆ
下面我们只要求 出当０ 变化时，ｆｏ ＝ （）
２ ＿ ｓ的大即・厂 ｄｎ） 最值可 ． ｒ ２２ ｉ ｓ ｎ ｉ 将 （ ）
Ａ Ｂ Ｅ
￣ｒｏ ｐｃｓ ｃ ａ
ｉ ＝ ２ ｎ ｒ
当 ｄｄ ｌ２＝ ｒ Ｓ 时 ， ２Ｏ ０ Ｃ
＼ ｔ
．
此 时， ＯＨ 上 ＡＣ于 Ｈ， Ｇ 上 ＢＤ于 设 Ｏ Ｇ．如果延长 Ｏ Ｇ交 圆０于 Ｐ， Ｊ作 Ｐ 过Ｆ ） Ｑ垂直
Ｏ ｔ ， ｆ ２ ＴＣＳ得丽 ＝ Ｏ 此时 Ｈ＝Ｑ 由（ｄ￣ ２Ｏ Ｏ Ｐ， ： １ － Ｈ
证 明： 如图 ５ 设 Ａ ， Ｃ、ＢＤ的夹角为 ０ ０∈ ，
此 ，《 分 Ａ ． 时 Ｍ＝ Ｄ ） 平 对于 若０ 。ｏ０ ｏ 昙 ， ≤ｒｃ ≤ｄｃ ， ｓ ｓ
＝（一 ｎ） ２ ｉ ｓ． ｉ ｎ
≤≤ ・ 吾
ｓｎ ． ｉ ０
（］ 定由 １ －２ｓ 。， 时定 知 ＝＝ｉ ， 固 ，理 ， ｄｄ 吾 ｎ 时得 最值ｒｄ２ｓ ， ｓ 大２ ＿ｓ ） 可 的 （ ２曼ｎ ２ ｉ ｉ ｎ
２１ 年第 ５ ００ 期
数 学教 学
５２ —１
对 一道 高考试 题 的思考 与探 究
２１ ０ 上海市松江二中 张忠旺 ００ ６
２ ０ 年 全 国高考 试题 Ⅱ卷 第 １ 题：已知 ０９ ６
ＡＣ、 ＢＤ 为 圆 ０ ： ＋Ｙ ＝ ４的 两 条 相 互 垂
为 （ 吾，Ｉ Ｉｃ 边 Ａ ０ ≤） Ｏ ＝， 形 ＢＤ ＜ ￣Ｍ ｆ 四
ｃ
ｄ ＋ｄ ＋２１２Ｏ０ ｉ ０ ｉ ； ｄｄ Ｓ ＝ｄｓ 。 ． Ｃ ｎ
图 １
四边形Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的面积Ｓ＝去Ａ ＩｌＤｌ ｌＣ ・ Ｂ ：
２／４ ￣（－ｄ） Ｖ４ ｄｄ）． Ｘ（－ｄ） — — ２＝２／＋（ｉ２ ４ — — ２
由ｄ＋ｄ ＝３ ≤ｄｄ ≤昙 当 仅当 ｛ ； 得０ ｌ ２ ． 且
２１年第 ５ ００ 期
，
ｄ ＝ｄ ＝ｄ ｏ 时Ｉ ｌ ２ ｃｓ
＝
２２ ｓ） ． （一 ｓ ｒ 。 ｉ 鲁１
此时， ＭＯ平分 ／ ＡＭＤ的补角，
至此 ， 理 得证 ． 定
问题 ２ 如果 Ａ ＢＤ绕点 任意转动， Ｃ、 这
图３
时 四边形 Ａ Ｄ的面积 Ｓ如何变化？ ＢＣ
距离分别为 ｄ 、ｄ ， ｌ ２ 不妨设 Ｚ Ｍ Ｄ ＝０ Ａ ．
ｓ＝ ＩＣＩＩ ｎ Ａ ・ ＢＤＩ ｓ ｉ
／
＼
＝
＝
２ｉＯ ／ ２ ｎ ｖ（ 一田）’一 ） ｓ ｒ （ ７ 。 ２ｉＯ ／ ｌ２ 一ｒ（； ；＋ｒ． ｎ ｖ（ ｄ） ２ｆ＋ｄ） ｓ ｄ ２ ｃ
如 图２ 当０在 Ｚ Ｍ Ｄ 内时， ， Ａ
如图 ｌ 设圆心Ｏ到 、Ｂ ， Ｄ的距离分别为
ｒ ＣＳ 时， Ｏ ０ Ｓ取得最小值 ２ ｒ
＝ ｓ ． ＝ ｉ ０ ． ｎ
ｄ、 ２Ｎｄ ＋ｄ ＝Ｏ ＝３ １ ｄ， ｝ ； Ｍ ．
，一 一
证 明： ＩＭ ｆ ｄ 圆心 ０到 Ａ 设 Ｏ ＝ ， Ｃ、ＢＤ的
ｄ２ 昙即１ ｄ： 时 ｓ ５我 ｌ ： ， ｄ： ２ ， ： ． ｄ ｍ
们同时得到当ｄ ｄ ＝ ０ 即 ｉ２ ， 圆（的直径时， ｍ ＝４ ＝ ） Ｓｉ ． 或 ＢＤ有一条是
二、 问题的进一步探究 问题 １ 将原问题 推广， 若 、ＢＤ过 圆（ 二 ） 内的定点 Ｍ ， 且其 夹角保持定角 不变， 结论如 何呢？ 定理 １ 已知 Ｍ 是半 径为 ７的圆 （ 内一定 ’ ＝ ） 点， Ｃ、 Ａ ＢＤ为过点Ｍ 的两条弦， 且它们的夹角
ｄ ＋ｃ 一２ｌ２ｏ０ ２ｉ ０ ； ｆ ｄｄ ｓ ＝ｄｓ ． ； ｃ ｎ
此时， 可得
显然， 这时 Ｓ 无最小值， 但有最大值． 定理 ２ 已知 吖 是半径 为 ｒ 圆 Ｏ内一定 的
Ｓ ２ｎ￣ｄ２ ２ｓ２，＇ｄｓ ０ ２ （ｄ ｒｏ ）７７ ２ｉ ＝ｓＯ １－ ＋ （一 ） ｉ ｃ０ ２２ ｎ
点， ＡＣ、Ｂ Ｄ为过点 的两条弦， Ｏ ＝ 设ＩＭＩ ｌ ｆ ｃ 其中 ｏ Ｏ ｓ
ｄ 则 当 Ａ 、 ＢＤ的夹角为 ， Ｃ ０
一
（ ≤ｃ曼 ０ ｄｓ） ｄ ￣２． ｏ
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由 ≤Ｓ， 的 值 我 只 求 于 １ 要求 最 ， 们 要
Ｓ 的最大值和 的最小值即可． ｌ
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２
＝
ｄ／时， ）
２｛
ｘ ：ｌ ｄ ２ ｄｓ ， ￣ Ｓ， ｉ ＝ ｎ昙 ｆ 当 ｄ ｉ
即当ｄ ＝如 ＝ｄ ｉ 时， ｌ ｓ ｎ
四边形Ａ ＢＣＤ的面积 Ｓ取得最大 【 。 １ 值 ２ 一（ 一 ｒ
ＣＳ ｏ ｓ ． Ｏ Ｏ） 】 ｎ ｏ ｄ ｉＯ
由基本不等式得 ０≤ｄｃ ｌ２≤ｄ ｎ ． ｆ ２ｉ ｓ
此 日 ！ 三
２ｉ ／ ｌ２ ＇ｃｓ ） ２ 一ｄ）ｉ ０ ｎ ￣（ ｄ ＋７ ｏ ＋Ｔ（ ｓＯ ｄ Ｏ ｓ ｎ
（ ≤ ｎ） 。 ｉ ． ≤ 曼
５２ —２
数 学 学教
即 ０＜ ０＜ ａｃ ｏ ｒ ｓ ｃ
（） ２当０＜０＜ａｃｏ ｒ ｓ ｃ ， ｌ ｄ ｄ ２
步的思考和探究， 下面将探究过程介绍如下．
一
、
问题的解答
本题有多种解法， 下面我们利用图形 的几何 性质给出一种 比较 简捷 的解法．
ｄｓ ， 得小２２２２ ｓ； ｃ 时５ 最值（－ｃ鲁ｉ，
（） ｆ ｄ １ 当（ １＝ ２＝ ｄ ｉ 时， ｓ ｎ ｓ取得最大值
直的弦， 垂足为 Ｍ （， ） 则 四边形 ＡＢＣ １ ， Ｄ的
面积的最大值为
本题小巧精致， 表述简洁， 解法灵活， 立意于
考查学生的能力． 问题吸引我们对其进行了进 该
一
２２ ｓ ） （ ｉ ｓ； ｒ ｎ ｉ ｎ
Ｇ ｆ Ｈ（ Ｑｆ Ｐ
Ｆ
下面我们只要求 出当０ 变化时，ｆｏ ＝ （）
２ ＿ ｓ的大即・厂 ｄｎ） 最值可 ． ｒ ２２ ｉ ｓ ｎ ｉ 将 （ ）
Ａ Ｂ Ｅ
￣ｒｏ ｐｃｓ ｃ ａ
ｉ ＝ ２ ｎ ｒ
当 ｄｄ ｌ２＝ ｒ Ｓ 时 ， ２Ｏ ０ Ｃ
＼ ｔ
．
此 时， ＯＨ 上 ＡＣ于 Ｈ， Ｇ 上 ＢＤ于 设 Ｏ Ｇ．如果延长 Ｏ Ｇ交 圆０于 Ｐ， Ｊ作 Ｐ 过Ｆ ） Ｑ垂直
Ｏ ｔ ， ｆ ２ ＴＣＳ得丽 ＝ Ｏ 此时 Ｈ＝Ｑ 由（ｄ￣ ２Ｏ Ｏ Ｐ， ： １ － Ｈ
证 明： 如图 ５ 设 Ａ ， Ｃ、ＢＤ的夹角为 ０ ０∈ ，
此 ，《 分 Ａ ． 时 Ｍ＝ Ｄ ） 平 对于 若０ 。ｏ０ ｏ 昙 ， ≤ｒｃ ≤ｄｃ ， ｓ ｓ
＝（一 ｎ） ２ ｉ ｓ． ｉ ｎ
≤≤ ・ 吾
ｓｎ ． ｉ ０
（］ 定由 １ －２ｓ 。， 时定 知 ＝＝ｉ ， 固 ，理 ， ｄｄ 吾 ｎ 时得 最值ｒｄ２ｓ ， ｓ 大２ ＿ｓ ） 可 的 （ ２曼ｎ ２ ｉ ｉ ｎ
２１ 年第 ５ ００ 期
数 学教 学
５２ —１
对 一道 高考试 题 的思考 与探 究
２１ ０ 上海市松江二中 张忠旺 ００ ６
２ ０ 年 全 国高考 试题 Ⅱ卷 第 １ 题：已知 ０９ ６
ＡＣ、 ＢＤ 为 圆 ０ ： ＋Ｙ ＝ ４的 两 条 相 互 垂
为 （ 吾，Ｉ Ｉｃ 边 Ａ ０ ≤） Ｏ ＝， 形 ＢＤ ＜ ￣Ｍ ｆ 四
ｃ
ｄ ＋ｄ ＋２１２Ｏ０ ｉ ０ ｉ ； ｄｄ Ｓ ＝ｄｓ 。 ． Ｃ ｎ
图 １
四边形Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的面积Ｓ＝去Ａ ＩｌＤｌ ｌＣ ・ Ｂ ：
２／４ ￣（－ｄ） Ｖ４ ｄｄ）． Ｘ（－ｄ） — — ２＝２／＋（ｉ２ ４ — — ２
由ｄ＋ｄ ＝３ ≤ｄｄ ≤昙 当 仅当 ｛ ； 得０ ｌ ２ ． 且
２１年第 ５ ００ 期
，
ｄ ＝ｄ ＝ｄ ｏ 时Ｉ ｌ ２ ｃｓ
＝
２２ ｓ） ． （一 ｓ ｒ 。 ｉ 鲁１
此时， ＭＯ平分 ／ ＡＭＤ的补角，
至此 ， 理 得证 ． 定
问题 ２ 如果 Ａ ＢＤ绕点 任意转动， Ｃ、 这
图３
时 四边形 Ａ Ｄ的面积 Ｓ如何变化？ ＢＣ
距离分别为 ｄ 、ｄ ， ｌ ２ 不妨设 Ｚ Ｍ Ｄ ＝０ Ａ ．
ｓ＝ ＩＣＩＩ ｎ Ａ ・ ＢＤＩ ｓ ｉ
／
＼
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如 图２ 当０在 Ｚ Ｍ Ｄ 内时， ， Ａ