基于小波变换的交通图像特征提取.

基于小波变换的交通图像特征提取
摘要：小波是一种用于多层次分解函数的数学工具。

作为现代分析学开拓的一个新领域，目前小波变换已经广泛应用于信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘测、流体力学、电磁场、CT 成像、机器视觉、机器故障诊断与监控、分形以及数值计算等等工程领域。

本文就应用小波变换理论解决交通图像特征提取的问题，做了简单的分析。

关键词：小波变换；交通图像；特征提取
Abstract: The wavelet decomposition is a multi-level functions for mathematical tools. As a modern analytics opened up a new area, the current wavelet transform has been widely used in signal processing, image processing, pattern recognition, speech recognition, quantum physics, seismic surveying, fluid mechanics, electromagnetic fields, CT imaging, machine vision, machine fault diagnosis and monitoring, and numerical calculation of the fractal, and so engineering. In this paper, wavelet transform theory to solve the traffic issue of the image feature extraction, do a simple analysis.
Key words: wavelet transform ；traffic images ； Feature Extraction
一、引言
基于小波包变换的图像分析法，主要是利用小波包对图像进行多尺度分解，然后在每个尺度上独立地提取特征，即把不同分解尺度上信号的能量求解出来，将这些能量值按尺度顺序排列形成特征向量供识别使用，这就是基于小波包变换提取多尺度空间能量特征的基本原理[1]。

二、小波变换理论
小波分析方法是一种窗口大小（即窗口面积）固定但其形状可变，时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法。

在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。

如果)()(2R L t Ψ∈（)(2R L 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空
间），其傅立叶变换为)(ˆωΨ。

)(ˆωΨ满足条件 ∞<=⎰R
Ψd ωω|ωΨ|C 2)(ˆ
时，称)(ˆt Ψ
为一个基本小波或母小波。

将母小波)(ˆt Ψ经伸缩和平移后可得到小波函数：
)(1
)(a
b t Ψ|a|t Ψa,b -= 其中，a 为伸缩因子，b 为平移因子。

连续小波变换定义为：
⎰-=〉〈=-R a,b f dt a
b t Ψt f |a|f,Ψa,b W )()()(1 a 是时间轴尺度伸缩参数，大的a 值对应小波)(t Ψa,b 伸展较宽；反之，小的a 值对应小波在时间轴上受到压缩。

b 是时间平移参数，不同b 值的小波沿时间轴移动到不同的位置。

系数|a|1是归一化因子，它的引入是为了使不同尺度的小波保持相等的能量。

对于不同的母小波，同一信号的连续小波变换是不同的[2]。

其重构公式（逆变换）为：
⎰⎰∞∞-∞
∞--=dadb a b t Ψa,b W a C t f f Ψ)()(11
)(2 以上是a ，b 为连续取值的情况，把连续小波变换中尺度参数a 和平移参数b 的离散化公式分别取作j a a 0=和00b ka b j =，就得到离散小波变换。

在实际应用中，常令j a 2=，)(2Z j,k k b j ∈=，则小波变换具有如下形式：
0)()(2
)(2>=⎰∞∞--,a dt t Ψt x j,k W *j,k j f 其中，Z j,k k t Ψt Ψj j
j,k ∈-=--)2(2)(2被称为二进小波，二进小波对信号的
分析具有变焦距的作用。

假定有一放大倍数j -2，它对应观察到信号的某部分内容。

如果想进一步观看更小的细节，就需要增加放大倍数即减小j 值；反之，若想了解信号更粗的内容，则可以减小放大倍数，即加大j 值。

在这个意义上，小波变换被称为数学显微镜[3]。

三、常用小波函数
与标准傅立叶变换相比，小波分析中所用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数)(x Ψ具有多样性，用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。

在本节主要介绍一下文中所涉及以及在MATLAB 中用到的小波函数。

1.Haar 小波
Haar 函数是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，同时也是最简单的一个函数。

它的定义为：
⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≤≤=其它
01211
2101x x ΨH 可用图表示。

图Haar 小波函数
2.Daubechies （dbN ）小波系
Daubechies 函数是由世界著名的小波分析学者Inrid Daubechies 构造的小波函数，除了db1（即Haar 小波）外，其它小波没有明显的表达式，但转换函数h 的平方模是很明确的。

其性质如下：
（1）假设∑-=+-=1
01)(N k k k N k y C y P ，其中，k N k C +-1为二项式的系数，则有
)2(sin )2(cos )(22
20ωP ω|ω|m N = 其中 ∑-=-=120021
)(N k jk ω
k e h ωm （2）小波函数Ψ和尺度函数φ的有效支撑长度为12-N ，小波函数Ψ的消失矩阶数为N 。

（3）dbN
大多数不具有对称性；对于有些小波函数，不对称性是非常明显
0 0.5 1
的。

（4）正则性随着序号N 的增加而增加。

（5）函数具有正交性。

Daubechies 小波函数提供了比Haar 函数更有效的分析和综合。

Daubechies 系中的小波基记为dbN ，N 为序号，且1021,,,N =。

3.Biorthogonal （biorNr.Nd ）小波系
Biorthogonal 函数系的主要特性体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中。

通常的方法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。

Biorthogonal 函数系通常表示为biorNr.Nd 的形式：
8
65544975313864225311============Nd Nr Nd Nr
Nd Nr
,,,,Nd Nr
,,,Nd Nr
,,Nd Nr
其中，r 表示重构（Reconstruction ），d 表示分解（Decomposition ）。

4.Coiflet （coifN ）小波系
Coiflet 函数也是由Daubechies 构造的一个小波函数，它具有coifN
（54321,,,,N =）这一系列。

Coiflet 具有比dbN 更好的对称性。

从支撑长度的角度看，coifN 具有和db3N 及sym3N 相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，coifN 具有和db2N 及sym2N 相同的消失矩数目。

5.SymletsA （symN ）小波系
Symlets 函数系是由Daubechies 提出的近似对称的小波函数，它是对db 函数的一种改进。

Symlets 函数系通常表示为symN （832,,,N =）的形式。

四、多分辨率分析
多分辨(或多尺度)分析的基本思想，从数学的角度来理解[46]，针对函数2)(L x f ∈，可以看作某一逐级逼近的极限。

每级逼近都是用某一个低通滤波函数)(x ϕ对)(x f 作平滑的结果，当然逐级逼近的低通滤波函数)(x ϕ也作逐渐伸缩，即用不同的分辨率或不同尺度来逐级逼近)(x f 。

更形象地来说，如果把尺度理解为照相机镜头的参数的话，当尺度由大到小变化时，相当于照相机的镜头由远及近的接近对象。

在大尺度空间里，能看到目标对象的大致概貌；在小尺度空间里，则可以观测到对象的细微部分。

随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗及细的观察对象。

多分辨率分析MRA (Multi-Resolution Analysis)是小波分析的一个非常优良的性质，也是一个非常基本的性质[4]。

五、小波包分析
1 小波包的定义
短时傅里叶变换对信号的频带划分是线性等间隔的。

多分辨率分析可以对信号进行有效的时频分解，但由于其尺度是按二进制变化的，所以在高频频段其频率分辨率较差，而在低频频段其时间分辨率较差，即对信号的频带进行指数等间隔划分(具有等Q 结构)。

小波包分析(wavelet Packet Analysis)能够为信号提供一种更加精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，对多分辨分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时－频分辨率，因此小波包具有更广泛的应用价值[5]。

在多分辨分析中，j Z
j W R L ∈⊕=)(2，表明多分辨分析是按照不同的尺度因子j 把Hilbert 空间)(2R L 分解为所有子空间)(Z j W j ∈的正交和的。

其中，j W 为小波函数)(t Ψ的闭包（小波子空间）。

现在，我们希望进一步对小波子空间j W 按照二进制分式进行频率的细分，以达到提高频率分辨率的目的。

一种自然的做法就是将尺度子空间j V 和小波空间j W 用一个新的子空间n
j
U 统一起来表征，若令
Z j W U V U j j j j ∈⎪⎩⎪⎨⎧==10
则Hilbert 空间的正交分解j j j W V V ⊕=+1即可用n
j U 的分解统一为
Z j U U U j j j ∈⊕=+100
1
定义子空间n
j U 是函数)(t u n 的闭包空间，而n j U 2是函数)(2t u n 的闭包空间，
并令)(t u n 满足下面的双尺度方程：
⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=∑∑∈+∈Z k n n Z k n n k t u k g t u k t u k h t u )
2()(2)()2()(2)(122 式中，)1()1()(k h k g k --=，即两系数也具有正交关系。

当0=n 时，以上两式直接给出
⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=∑∑∈∈Z k k Z k k k t u g t u k t u h t u )
2()()2()(0100 与在多分辨分析中，)(t φ和)(t Ψ满足双尺度方程：
{}{}⎪⎩
⎪⎨⎧∈-=∈-=∈∈∈∈∑∑22)
2()()2()(l g k t φg t Ψl h k t φh t φZ k k Z k k Z k k Z k k +++∈∈⊕=Z Z;n j U U U n j n j n
j 121
由于)(t φ由k h 唯一确定，所以又称{}Z n n t u ∈)(为关于序列{}k h 的正交小波包。

2 小波包的性质
定理3.1 设非负整数n 的二进制表示为
10211
或==∑∞=-i i i i εεn
则小波包)(ˆωu
n 的傅里叶变换由下式给出： ∏∞
==1)2()(ˆi j εn ωm ωu i 式中
∑∞-∞=-==k jk ωe k h ωH ωm )(2
1
)()(0 ∑
∞-∞=-=
=k jk ωe k g ωG ωm )(21
)()(1 定理3.2 设{}Z n n t u ∈)(是正交尺度函数)(t φ的正交小波包，则
kl n n δl t ,u k t u =〉--〈)()(
即{}Z n n t u ∈)(构成)(2R L 的规范正交基。

3 小波包算法
下面给出小波包的分解算法和重构算法。

设n j n
j U t g ∈)(，则n j g 可表示为
))2()(∑-=l
j n j,n l n
j l t u d t g
小波包分解算法 由{},n j l d 1+求{}n j,l d 2与{}12+n j,l d
⎪⎩
⎪⎨⎧==∑∑+++-k ,n j k
l k-n j,l k ,n j k l k n j,l d b d d a d 1212122 小波包重构算法 由{}n j,l d 2与{}12+n j,l d 求{},n j l d 1+
∑+--++=k
n k k l n j,k k l ,n j k d g d h d ][122221
4 小波包构造
用一个正交小波去构造一个小波包的计算方法。

首先，与所选择的小波相对应的两个长为N 2的滤波器（)(n h 和)(n g ），它们分别是低通分解滤波器和高通分解滤波器的被2除过之后的重构滤波器。

定义下面的函数序列（ ,,,,n x W n 210)(=）
∑-=-=1
202)2()(2n k n n k x W k h W
∑-=+-=1
2012)2()(2n k n n k x W k g W
其中，)()(0x φx W =是尺度函数，)()(1x Ψx W =是小波函数。

现以Haar 小波函数为例进行详细说明。

对于Haar 函数：
12
1)1()0(===N h h 121)1()0(==-=N g g
等式变为
)12()2()(2-+=x W x W x W n n n
)12()2()(12--=+x W x W x W n n n
在这里，)()(0x φx W =是Haar 尺度函数，)()(1x Ψx W =是Haar 小波函数，两个函数的支撑长度均在区间[0,1]上。

从上式可以看出，可以通过把支撑区间分别在[0，1/2]和[1/2,1]内的两个1/2尺度的n W 加起来获得n W 2函数。

同样，可以通过把支撑区间分别在[0,1/2]和[1/2,1]内的两个1/2尺度的n W 相减获得12+n W 函数。

六、利用小波包分析进行特征提取
特征提取的目的是获得一些区别不同人脸的测度，用于区分不同的人脸。

由前面章节的介绍可知，不同人脸的图像纹理不同，这在频带上可以清楚地反映出来。

同一个人的人脸图像在相同频带内信号的能量比较相近，差别不大，而不同的人脸相比，相同频带内信号的能量会有较大的差别。

因此，在各频率成份中，包含着丰富的识别信息，通过分析各频带内能量大小情况，可以区分出不同的人脸。

由以上可知，各频带的能量可以作为区分不同人脸的特征量。

特征量的提取主要分为以下步骤：
（1）图像预处理。

由于受到各种交通环境的影响，智能交通系统获得的图像在形成过程中受到天气、硬件设备、各种噪声以及传输过程中带入的信道噪声的影响，另外，运动图像还会存在运动模糊的问题，这些都造成图像得不清晰，影响后期处理，需要进行消除。

因此，在对图像进行特征提取之前，要对其进行降噪和增强滤波等图像预处理。

具体地预处理过程己方法在前面的章节进行了详细的介绍，见第二章，这里就不再赘述。

（2）对预处理后图像的感兴趣区域进行小波包分解，提取各频带的能量作为特征量。

据前所述，小波包分解可以为图像提供一个全面的描述，可以分析各个频率区域的信号。

但是，随着分解级数的增加，得到的分解子图的个数也会成指数增长，这就使得进一步特征提取以及分类计算的复杂度大大的增加。

如果，给定一个判别准则来决定是否对一个子图继续分解，那么对于不同的图像分解的级数
会互不相同。

为了减少分解级数同时保持特征个数的稳定，本文选择二级小波包分解，分别提取第一层和第二层从低频到高频20个频率成分的信号特征。

(0,0)
(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)
(2,0)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)(2,8)(2,9)(2,10)(2,11)(2,12)(2,13)(2,14)(2,15)
图 小波包二层分解树结构
在图3-5中，)(i,j 表示第i 层的第j 个结点，其中，210,,i =；15,,2,1,0j =，每个结点都代表一定的信号特征。

其中，(0,0)结点代表原始信号S ，)0,1(结点代表小波包分解的第一层第0个节系数10X ，)1,1(结点代表小波包分解第一层第1个节点系数11X ，)0,2(结点代表第二层第0个节点的系数20X ，其它以此类推。

（3）对小波包分解系数重构。

提取各频带范围的信号，以20S 表示20X 的重构信号，21S 表示21X 的重构信号，其它依此类推。

在这里，只对第二层信号分析，则总信号S 可以表示为：
21521421321221121029
282726252423222120S S S S S S S S S S S S S S S S S +++++++++++++++=
假设原始信号S 中，最低频率成份为0，最高成份为1，则提取的)15210(2,,,,j S j =16个频率成份所代表的频率范围。

（4）求各频带信号的总能量。

由于输入的图像信号是随机的，其输出也是随机的。

设)15210(2,,,,j S j =对应的能量为)15210(2,,,,j E j =，则有：
⎰∑===n
k jk j j ||x dt |t |S E 122
22)( 其中，)211510(,n ,,,k ,,,j x jk ==表示重构信号j S 2的离散点的幅值。

（5）构造特征向量。

由于人脸图像不同人的面部特征不同，从而各频带内信号的能量有较大差别，因此，以能量为元素可以构造一个特征向量，可以依据不同的特征值来区分不同的人脸。

本文介绍了小波变换，小波多分辨率和小波包分析理论，重点介绍了小波包分析，小波包能对信号在全频范围内进行正交分解，因此在刻画信号的特征方面具有更强的优势。

本文把小波包分析理论应用到人脸图像的分析与识别中，并介绍了利用小波包进行特征提取的方法、原理和主要步骤。

参考文献：
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[3] 王琪，费耀平.基于小波包分析的虹膜特征提取方法[J].计算机工程与应用，2008年，第
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[4] 严家明.基于小波变换的数字图像去噪研究[D].西华大学硕士学位论文，2006.4
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