运筹学第八章对策论

上述两个案例均为矩阵对策。
一般地，用 和 分别表示两个局中人，并设局中人 和 的策略集分别为 S, S， 局中人 的收益矩阵为A, 则矩
阵对策的模型记为 S,S.;A
如案例2中，双方策略集同为{（上,中,下）,（上,下中）,
（中,上,下）,（中,下,上）, （下,中,上,（下,上,中）},为了
区别，相应地记为 S {1 和, 2, 3 , 4 , 5 , 6 ，}则局中人 ，
即齐S 王 的{赢1 ,得2 ,矩3 ,阵4 为, 5 , 6 }
1 2 3 4 5 6
1 3 1 1 1 1 1
2
1
3
1
1
1
1
A 3 4
1 1
1
1
3 1
1 3
1 1
1
1
5
1
1 1 1
3
1
6 1 1 1 1 1 3
纯策略矩阵对策
定义1：设 S,S;A 为矩阵对策，其中
赢得矩阵（支付）：当每个局中人在确定了所采 取的策略后，他们就会获得相应的收益或损失， 此收益或损失的值称为赢得（支付）。赢得与策 略之间的对应关系称为赢得（支付）函数。
矩阵对策的模型
矩阵对策即二人有限零和对策。 “二人”是指参加对策的局中人有两个； “有限”是指每个局中人的策略集均为 有限集；“零和”是指在任一局势下， 两个局中人的赢得之和总等于零，即一 个局中人的所得值恰好等于另一局中人 的所失值，双方的利益是完全对抗的。
定理 1 矩阵对策在纯策略意义下有解的充要条件是
aij* ai*j* ai*j 。
证：充分性: 由 aij* ai*j* ai*j可以得到 m i aaij*xai*j* m j a iin *j 。
又因为 mj im ni aaixjmi aai* xj 和 mj iani*j mi am xj ianij， 于是有 m j m iina ai j xai*j*m i m aj x a ii j。n 容易证明，对于任意矩阵A，都有
m i am jxa iinjm j m ini aaijx。
综上得 m i m a j a x iij n m j m ii n a iaj a x i*j* ，
即 v ai* j* 。
必要性：设 min j
aij 在 i
i*达到最大，而
max i
aij
在
j j* 时达到最小，即
mj iani*j mi am xj ianij，mi aaixj* mj im ni aaixj
S 1 ,2 , ,m , S 1 ,2 , ,n ， A(aij)mn
若等式 m a ixm jina ijm iinm a jxa ija ij 成立 ，称
a i j 为 的值，记作 v ai,j称 i , j 分别为相应
局中人的最优(纯)策略；
而称局势( i , j)为 的解。
这两个问题都涉及到竞争性，因此都属于 对策问题。
对策的三要素
局中人：有权决定自己行为方案的对策参加者称 为局中人。案例1中，局中人是甲、乙两厂，案例 2中，局中人是田忌和齐王。有两个局中人的对策 称为二人对策。
策略：对策中一个实际可行的方案称为一个策略。 案例1中，甲、乙两厂各有三个策略。局中人所有 可行方案的集合称为策略集。
案例1：对一种产品，仅甲、乙两厂有 能力生产。现在这两厂都想通过内部 改革挖掘潜力，以获得更多的市场份 额。已知两厂分别都有三个行动措施， 据预测，当双方采取不同的行动方案 后，甲厂的市场占有份额变动情况见 下表。问：甲、乙两厂各自最好的行 动方案是什么？
甲厂的市场占有份额变动情况
甲厂
方案一
市场份 额变动
β1
β2
方案二 α1 α2 α3
10
－1
12
16
6
8
β3
3 －5 5
案例2：战国时，齐王和他的大将田忌赛马。
双方约定，从各自的上、中、下三个等级的马 中各选出一匹，比赛时，双方选出的每匹马都 轮流参加，输者付给胜者一千金。现在齐王的 同等马都比田忌的强，问： (1)田忌有无取胜的可能？如果有，应采用的 方案是什么？ (2)如果双方同等聪明，那么，为了达到最好 的效果，双方应该怎么做？
由于定义有 m i am jxa iinjm j m ini aaijx ，
可得 m i a i* a j m x j a i* ji n a i* j* m i a i* a j m x j a i* jin 所以对于一切 i 1 ,2 , m , j 1 ,2 , ,n ，有 a i* j m j a i* ij n a i*j* m i a ia * j x a i*j。
m i m ja a i ji x m i n 4 ,4 , a 0 , 1 x 4 ,且 i 1 或 2
又已知 m i a i1 a 8 ,m i x a i2 a 4 ,m x i a i3 a 7 ,m x i a i4 a 4 ,x
得 m j m i i a in ja m j x 8 ,4 ,7 i,4 n 4 ,且 j 2 或 4 。从而
定理得证。
【例1】设有矩阵对策 S,S;A ，其中S 1 , 2 , 3 , 4 , S 1 , 2 , 3 , 4 ,局中人 的收益矩阵为
6 4 5 4
A
7 0 8
4 2 3
6 7 1
4
3 1
求解 。
解：由 m j a 1 ,j i4 n ,m j a 2 ,ji 4 n ,m j a 3 ,ji 0 n ,m j a 4 ,ji 1 n ,得
m j m iina a ij x m i m aj x a iij n4。
所略以为局1或 中人2 ，的而最优的策解略为（ 为 1 ， 1或 2 ） 2（ ，1 局， ， 中4 ） 人（ 的2 ， ， 最2 ） 优或策
第八章 对策论
对策论概述
对策论(Game Theory)亦称博弈论，是
研究具有竞争、对抗、利益分配等方面的数 量化方法，并提供寻求最优策略的途径。
对策论的理论形成于1944年，经过60多年 的发展，现已成为运筹学的一大分支，在投 资分析、价格制定、费用分摊、财政转移支 付、投标与拍卖、对抗与追踪、国际冲突、 双边贸易谈判、劳资关系以及动物行为进化 等领域都有广泛应用。