模糊数学(模糊等价关系)
第2讲 模糊数学方法解析
22
2020年9月23日
三、模糊聚类分析方法
1. 数据标准化 (1)获取数据
设论域U {x1, x2 ,, xn}为所需分类的对象，每个对象又
由 m 个指标表示其性态，即 xi {xi1, xi2 ,, xim }(i 1,2,, n) ，
则 A
xij
．
nm
(2) 数据的标准化处理
定义 2 设模糊集 A, B F(U ) ，其隶属函数为 A (x), B (x) , (1) 若 x U ，有 B (x) A (x) ，则称 A 包含 B ，记 B A；
(2) 若 A B 且 B A，则称 A 与 B 相等，记为 B A ．
定义 3 设模糊集 A, B F(U ) ，其隶属函数为 A (x), B (x) , 则称 A B 和 A B 为 A 与 B 的并集和交集；称 Ac 为 A 的补集
的过渡点，即是模糊性最大的点．
5
2020年9月23日
一、模糊数学的基本概念
2. 模糊集与隶属函数 (1) 模糊集与隶属函数的定义
对一个确定的论域U 可以有多个不同的模糊集，记 U 上的模糊集的全体为 F (U ) ，即
F(U ) {A | A : U [0,1]}
则 F (U ) 就是论域U 上的模糊幂集，显然 F (U ) 是一个 普通集合，且U F(U ) ．
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2020年9月23日
二、模糊关系与模糊矩阵
3. λ－截矩阵与传递矩阵
定义 8 设 R (rij )mn 为模糊矩阵，对任意的 [0,1] ．
(1)
如果令 rij ()
1, rij 0, rij
i 1,2,, m j 1,2,, n
数学建模-模糊数学理论
1.2 模糊集与隶属函数
• 论域：如果将所讨论的对象限制在一定范围 内，并记所讨论的对象全体构成的集合为U， 称之为论域。 •普通集合——特征函数 设U是论域，A是U的子集,定义如下映射为集合 A的特征函数 :（集合A可由特征函数唯一确定）
•模糊集合——隶属函数
1.2.1模糊集与隶属函数的概念
1）论域U上的模糊集合A指：对于任意的u∈U, 总是以某个程度 属于A；即对于所研究的 某个对象，我们不能确定它有或者没有一个模 糊概念所描述的性质。而只能讨论它具有这种 性质的程度是多少。用集合论的观点说，定义 一个模糊集合，我们无法确定一个元素是否属 于这个模糊集合，而只能说它有多大程度属于 这个模糊集合。这种从属程度我们用0，1之间 的一个数来表示。这就是Zadeh的隶属函数的 想法。
4）二元对比排序法
对于有些模糊集，很难直接给出隶属度，但通过 两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出顺序， 再用数学方法加工得到隶属函数，其实是隶属函数的 一种离散表示法
2模糊关系与模糊矩阵
2.1 模糊关系与模糊矩阵的概念
1）模糊关系
2) 模糊矩阵
2.2模糊等价关系与模糊相似关系 1）模糊等价关系
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• 模糊数学所研究的不确定性是：它所处理事 物的概念本身是模糊的，即一个对象是否符合 这个概念难以确定，称这种不确定性为模糊性。 如“青年人”、“老年人”、“漂亮的女 生”、“黎明时刻”、“班上高个子学生”等。 我们无法明确地指出，从几点钟开始就算黎明， 或身高多少就是高个子。这种概念具有模糊性， 无法用普通集合来描述。为了定量地表示这类 模糊概念，并研究它们的客观规律性，就必须 把普通集合的概念加以拓广，借助于模糊集合 来研究。
模糊数学
模糊数学方法
模糊数学方法在自然科学或社会科学研究中，存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。
这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。
这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。
根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。
这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。
为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。
模糊数学的理论基础是模糊集。
模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。
模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。
实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。
从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。
在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。
在DPS系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来，列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领，供用户参考和使用。
第1节模糊聚类分析1. 模糊集的概念对于一个普通的集合A，空间中任一元素x,要么x A,要么x — A,二者必居其一。
这一特征可用一个函数表示为：1 0x三A x三AA(x)即为集合A的特征函数。
将特征函数推广到模糊集，在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为［0, 1］区间。
定义1设X为全域，若A为X上取值［0, 1］的一个函数，则称A为模糊集。
如给5个同学的性格稳重程度打分，按百分制给分，再除以100,这样给定了一个从域X= { X1 , x2 , X3 , X4, X5}到［0, 1］闭区间的映射。
模糊数学第三章小结
1
3.1 模糊关系及其运算 1, 设U, V 为两个论域, 若R∈F(U×V),则称R为U到 V的一个模糊关系. 对(u, v)∈U×V , 称R(u, v)为u 对v具有模糊关系R的相关程度. 特别地 (1) 称R∈F(U×U) 为U上的模糊关系; (2) 若(u, v)∈U×U,有 则称R为U上的恒等关系 , 这时记R = I ;
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目录
在实际应用中,常采用如下距离来确定rij
(1).Chebyshev 距离 : d ui , u j max uik u jk ;
1 k m m k 1
( 2).Ham min g距离： d ui , u j uik u jk ; m 2 (3).Euclid距离： d ui , u j uik u jk ; k 1 ( 4).Minkowski 距离 :
u11 u 21 u n1 u12 u 22 un 2 u1m u2 m u nm
18
U
*
称U*为U的特性指标矩阵.
目录
第一步: 数据规格化 常用的数据规格化方法有如下几种: 数据标准化, 均值规格化, 中心规格化、最大规格化、极 差规格化、对数规格化等(参见教材P96) 第二步: 构造模糊相似矩阵
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9, 定理3.2.5 设I, R, Q∈F(U×U), 则有 (1) t(I)=I ; (2) R Q t(R) = t(Q) (3) (t(R))T= t(RT) (4) RT=R (t(R))T= t(R)
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10, 设R∈F(U×U), 则 (1) R称为相似的,如果R是自反和对称的; (2) 称包含R的最小的相似模糊关系为相似闭包,记作a(R). 11, 定理3.2.6 设R∈F(U×U),则有 (1) R为相似的当且仅当∈[0,1], R 为相似的; (2)若R为相似的,则n∈N, Rn也是相似的.
模糊控制的数学基础-2(3-1至3-15)模糊关系、逻辑及运算
举例eg 1 y=sinx, x ∈(-∞,+∞)，y ∈[-1,+1]，由于［－1,＋1］是y 轴的一个子集，故这个映射是x 到y 内的映射，是属于“非全射”。
eg 2 y=x 2, x ∈(-∞,+∞), y ∈(0,+∞)。
这是由x 到y 内的映射，也属于“非全射”。
eg 3 y=x 3, x ∈(-∞,+∞), y ∈(-∞,+∞)。
这个映射是由x 射到y 轴上的映射，属于“全射”。
并且也是“单射”，同时也是“一一映射”。
Ch 3 Fuzzy 控制理论的预备知识§3－1 Fuzzy 关系与Fuzzy 关系图一 Fuzzy 关系~R 第二章讲过，所谓关系R ，实际上是A 和B 两集合的直积A ×B 的一个子集。
现在把它扩展到Fuzzy 集合中来，可定义如下：所谓A 和B 两集合的直积A ×B ＝﹛(a ，b)|a ∈A ，b ∈B ﹜中的一个模糊关系~R ，是指以A ×B 为论域的一个Fuzzy 子集，其序偶(a ，b)的隶属度为 ~R μ (a ，b)，可见~R 是二元Fuzzy 关系。
3-1Nose ：当A=B 时，我们称之为“A 面上的Fuzzy 关系”R 。
eg ． 要求列出集合A=﹛1，5，7，9，20﹜“序偶”上的“前元比后元大得多”的关系~R 。
解：直积空间R ＝A ×A 中有25个“序偶”，其中R 1=﹛(20,1)，(20,9)，(20,7)，(20,5)，(9,7)，(9,5)，(9,1)，(7,5)，(7,1)，(5,1)﹜ 是满足“前元比后元大”的子集。
~0.50.70.810.10.30.950.10.90.85(5,1)(7,1)(9,1)(20,1)(7,5)(9,5)(20,5)(9,7)(20,7)(20,9)R =+++++++++ 上式中分子的值即是按人的判断结果给出的相应满足“前元比后元大得多”的程度，还有一种求法是利用适当的隶属函数来确定。
模糊数学2模糊聚类分析方法模糊综合评判方法
❖ （1）单层次模糊综合评判模型 设X={x1,x2…xn}是综合评判因素所组成集合，
Y={y1,y2…yn}是评语所组成的集合。
R：X→Y rij=µR(xi,yj) 元素rij表示xi符合yj标准的程度。
A=(a1,a2…an)是各评判因素的权重分配，
则评判结果 B=A◦R.
例
我们对于某学校的校园网络一期建设情况进行评判，设包括三个因 素，即硬件建设，软件建设、人员培训，用论域U表示为：
0.38 0.8 0.67
0.49 1375 931源自0.380.80.67
0.93
0.95 0.67 0.94
0.9
0.94 0.67 0.95
1
0.99
0.99 0.45 0.55
0.99
1
0.99 0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
1
0.45 0.55
0.45 1
0.49137 5931
0.93
0.9
1 0.67 0.94 0.38
0.38
0.38 0.95 0.94
0.67 1 0.67
0.94 0.67 1
0.8 0.67
0.8 0.67
0.8 0.67
0.67 0.94 0.67 0.95
0.49137 5931
0.38 0.8 0.67
0.49137 5931
较好
40% 30% 10%
可以
10% 20% 30%
不好
0 10% 60%
0.2 R ~
0.7
0.1
0
上表就构成模糊矩阵 R= 0
0.4 0.5 0.1
模糊数学 第四章---模糊关系
2.模糊自反关系(fuzzy reflexive relations)
定义 R F ( X X ), 若x X , R( x, x) 1，
则称R为模糊自反关系.
X有限时，R (rij )nn , rii R( xi , xi ) 1 根据主对角线元素是否为1判定R 是否自反
2. 运算
设R, S F ( X Y )
R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y ); R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y );
( R S )( x, y ) R( x, y ) S ( x, y ) ( R S )( x, y ) R( x, y ) S ( x, y )
设R (rij )nm , S ( sij )nm ,
即R( xi , y j ) rij , S ( xi , y j ) sij
则（R S )( xi , y j ) R( xi , y j ) S ( xi , y j ) rij sij 所以，R S (rij sij )nm .
1
X 有限时，
根据矩阵是否为对称阵判定R 是否对称关系
0.3 0.1 为对称关系. 0.1 0.3
命题3.3 R对称 [0， 1]， R 是普通对称关系.
证明： 设R对称，且( x, y) R , 则R( x, y)
故R( y, x) R( x, y) ( y, x) R
类似可得： R S (rij sij ) nm . R c (1 rij )nm .
R 1 ( yi , x j ) R( x j , yi ) rji R S i, j, rij sij
数学建模方法详解__模糊数学
数学建模方法详解--模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。
例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。
随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。
模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。
统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。
在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。
对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。
模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。
本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。
1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。
如果U 是论域 ，则U 的所有子集组成的集合称之为U的幂集，记作)(U F 。
在此，总是假设问题的论域是非空的。
为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。
对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈或A x ∉，二者有且仅有一个成立。
于是，对于子集A 定义映射}1,0{:→U A μ即⎩⎨⎧∉∈=,0,,1)(A x A x x A ，μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。
所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ∉描述。
第一讲 模糊数学基本知识
§1.2 模糊集的基本定理
λ-截集： 截集： (A)λ = Aλ= {x | A(x) ≥ λ }
模糊集的λ 截集 是一个经典集合， 模糊集的λ-截集Aλ是一个经典集合，由隶属 度不小于λ的成员构成. 度不小于λ的成员构成. 论域U={u1, u2, u3, u4 , u5 , u6}(学生集)， 例：论域 (学生集) 他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95 50,60,70,80,90,95， 他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习 学习 成绩好的学生” 成绩好的学生”的隶属度分别为 0.9,0.95， 0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则 A0.9 (90分以上者 = {u5 , u6}, 分以上者) 分以上者 A0.6 (60分以上者 = {u2, u3, u4 , u5 , u6}. 分以上者) 分以上者
第一讲 模糊数学基本概念
1. 1 模糊集合的基本定义 1.2 模糊集合的截集 1.3 模糊关系 1.4 模糊等价关系与经典等价关系
§1.1 模糊子集及其运算
模糊子集与隶属函数 是论域， 设U是论域，称映射 是论域 A(x)：U→[0,1] ： 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为 的 上的模糊子集 称为A的 确定了一个 上的模糊子集 ，映射 称为 隶属函数，它表示x对 的隶属程度 的隶属程度. 隶属函数，它表示 对A的隶属程度 当映射A(x)只取 或1时，模糊子集 就是经 只取0或 时 模糊子集A就是经 当映射 只取 典子集， 就是它的特征函数. 典子集，而A(x)就是它的特征函数 可见经典子 就是它的特征函数 集就是模糊子集的特殊情形. 集就是模糊子集的特殊情形
模糊关系的合成 的关系, 的关系, 设 R1 是 X 到 Y 的关系 R2 是 Y 到 Z 的关系 上的一个关系. 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系 (R1°R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y } ∧ ∈ 当论域为有限时， 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊 矩阵的合成. 矩阵的合成 设X = {x1, x2, …, xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z= {z1, z2, … , zn}，且X 到Y 的模糊关系 1 = (aik)m×s， 模糊关系 关系R ， × Y 到Z 的模糊关系 2 = (bkj)s×n，则X 到Z 的模糊关 模糊关系 关系R 模糊关 × 系可表示为模糊矩阵的合成： 模糊矩阵的合成 系可表示为模糊矩阵的合成： R1 ° R2 = (cij)m×n， × 其中c 其中 ij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}.
模糊数学(第十讲)
目录
3.2.2 模糊关系的对称性 定义3.2.2 设R∈F(U×U),则 ∈ × 则 定义 (1) R称为对称的,如果 T= R 称为对称 如果R 称为对称的 如果
;
(2) 称包含 的最小的对称模糊关系为 的对称 称包含R的最小的对称模糊关系为 的最小的对称模糊关系为R的 闭包,记作 记作S(R). 闭包 记作 定理3.2.2 设R,Q∈F(U×U),则下列结论成立 则下列结论成立: 定理 ∈ × 则下列结论成立 (1) R是对称的当且仅当 ∀λ∈[0,1], R λ是对称的 是对称的当且仅当 (2)若R是对称的 则∀n∈N, Rn也是对称的 是对称的,则 ∈ 若 是对称的 (3)若R,Q是对称的 则 R ◦ Q为对称的当且仅当 是对称的,则 若 是对称的 为对称的当且仅当 R◦Q=Q◦R (4) S(R)= R∪RT ∪ 3
第三章
模糊关系与模糊聚类分析
第十讲 3.2 模糊等价关系及其性质 续) 模糊等价关系及其性质(续
1
§3.2 模糊等价关系及其性质
3.2.1 模糊关系的自反性 定义3.2.1 定义3.2.1 设R∈F(U×U), 则 ∈ × (1) R称为自反的,如果 ⊆ R ,即∀u∈U, R(u, u) =1; 称为自反 如果I 称为自反的 如果 即 ∈ 记作r(R). (2) 称包含 的最小的自反模糊关系为 的自反闭包 记作 称包含R的最小的自反模糊关系为 的最小的自反模糊关系为R的自反闭包,记作 定理3.2.1 设R∈F(U×U),则下列结论成立 则下列结论成立; 定理 ∈ × 则下列结论成立 (1)若R是自反的 则∀n∈N, Rn ⊆ Rn+1 且 Rn也是自反的; 若 是自反的,则 ∈ 也是自反的 是自反的 (2) R是自反的当且仅当∀λ∈[0,1], R λ是自反的; 是自反的当且仅当∀ 是自反的当且仅当 是自反的 (3) r(R)= R ∪ I .
基于模糊数学方法的房地产企业偿债能力分析
基于模糊数学方法的房地产企业偿债能力分析一、概览随着房地产市场的不断发展，偿债能力分析在房地产企业财务评价中的重要性日益凸显。
为了更客观、全面地评估房地产企业的偿债能力，本文引入模糊数学方法对企业的偿债能力进行综合评价。
本文首先对房地产企业偿债能力的概念及影响因素进行概述，明确了研究的重点和目的。
偿债能力是指企业在一定时期内能够满足其偿债需要的能力，主要包括短期偿债能力和长期偿债能力两个方面。
影响房地产企业偿债能力的主要因素包括：企业财务状况、经营业绩、现金流状况、信用评级以及宏观经济环境等。
在分析了影响偿债能力的关键因素后，运用模糊数学方法对企业偿债能力进行综合评价分析。
模糊数学方法能够更好地处理不确定性、模糊性和不完整性等问题，为房地产企业偿债能力研究提供新的思路。
1.1 研究背景与意义随着房地产行业的快速发展，其经济地位日益凸显。
在光鲜亮丽的表面下，房地产企业也面临着巨大的财务风险。
一些房地产企业因为偿债能力不足而陷入困境，甚至导致破产。
这不仅对企业的股东、债权人和其他利益相关者造成了重大损失，也对整个行业的健康稳定发展产生了负面影响。
对房地产企业的偿债能力进行分析，探索其偿债能力的影响因素，提出了迫切的现实需求。
1.2 研究目的与内容本研究的目的在于通过对房地产企业的偿债能力进行深入的分析，探讨其偿债能力的强弱，为企业管理者、投资者以及政策制定者提供有针对性的建议。
研究还将揭示影响房地产企业偿债能力的各种因素，为房地产企业制定合理的财务策略提供理论依据。
模糊综合评价法的应用：通过建立房地产企业偿债能力的模糊综合评价模型，对企业的偿债能力进行全面、客观的评价。
影响因素的确定：分析影响房地产企业偿债能力的各种因素，如资产负债率、流动比率、速动比率等，并运用专家决策法和层次分析法确定各因素的权重。
评价指标体系的构建：根据房地产企业的特点，构建一套科学合理的偿债能力评价指标体系，包括流动性、偿债能力、盈利能力等多个方面。
模糊数学方法
~
，则称隶属度
度。
R ( x, y )
~
~
为
( x, y)
关于模糊关系
U V
R
~
的相关程
注：由于模糊关系就是乘积空间
上的一个模糊
子集，因此，模糊关系同样具有模糊集的运算及性质。
模糊矩阵：设矩阵
n n
t ( R) R ( rij( k ) ) nn
k k 1 k 1
特别地，当R为模糊相似矩阵时，必存在一个最小的自然数
k (k
，使得 t ( R) R k ，对任意自然数 l k 都有 Rl R k n)
此时 t ( R ) 一定为模糊等价矩阵。
三. 模糊聚类分析方法
假设作n次模糊统计试验，可以算出
x0 A*的次数 x0 对A的隶属频率＝ n
事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定， 其稳定值称为 x 0 对A的隶属度，即
x0 A* 的次数 A ( x0 ) lim n n
2. 指派方法
指派方法是一种主观的方法，它主要是依据人们
的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的方法。如果 模糊集定义在实数集R上，则称模糊集的隶属函数为 模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质和经
1 1 n 1 n 2 2 x j xij , s j [ ( xij x j ) ] ( j 1, 2,, m) n i 1 n i 1
(ii) 平移——极差变换.
' xij [0,1] ，则还需 如果经过平移—标准差变换后还有某些
对其进行平移—极差变换，即令
xij xij min {xij }
模糊数学第三章
两点说明：
模糊关系－example3
模糊关系的运算
模糊关系就是模糊子集，只不过其论域是直积 A×B罢了 模糊关系的运算法则完全服从模糊集合的运算 法则
运算
设R, S F ( X Y )
包含： R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y ); 相等： R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y ); 并： 交： 余：
(2)包含：A B <=>对任意i, j 有 aij ≤ bij
因此，对任何
R m n , 总有：
ORE
模糊矩阵的运算
设A、B为模糊矩阵，记A=(aij), B=(bij)，i=1,2,…,m,
j=1,2,…,n, 则 (1)并：A∪B <=> (aij∨bij)m×n (2)交: A∩B <=> (aij∧bij)m×n (3)余: Ac <=> (1-aij) m×n 例：
则称O为X×Y的“零关系”， 表示零关系O的矩阵为零矩阵。
模糊关系与模糊矩阵
如果给定X×Y上的模糊关系E满足
E ( x, y ) X Y , E ( x, y ) 1
称E为X×Y的“全称关系”，表示全称关系E的矩 阵为全称矩阵。
模糊关系与模糊矩阵
如果给定X×Y上的模糊关系R，定义
1 0.7 R 0 0.5
0.7 1 0 0.4
0 0 1 0
0.5 0.4 0 1
模糊矩阵－mple
例1.
X Y {甲，乙，丙} R 信任
1 0.8 0.9 R 0.3 0.9 1 0.9 0.3 1
第四章 模糊关系
(3)不等律： R o (S I Q ) ⊆ (R o S ) I (R o Q )
(4)
(R o S )
−1
= R −1 o S −1
(5)若 S ⊆ Q ，则 R o S ⊆ R o Q
例1：设 V = {v1 , v 2 } , W = {w1 , w2 } , Z = {z1 , z 2 } 且
[即 R (a , b ) = 1且 R (b , c ) = 1 ⇒
R (a , c ) = 1 ]
例3：设
A∈ P (U ) ~
⊆ ，则：包含关系“ ”是“自反，非对称 ，传递”。
设R=U， 则“=”是“自反，对称，传递” ⇒ 等价关系 “≤ ”是“自反，非对称 ，传递” “<” 是“自反，非对称，传递” 例4：设U=｛1，2，3，4｝且
3 (3 4 （3）R不是传递的： (1，) ∈ R，，) ∈ R
⇒(1，) ∈ R 4
②划分：
A （ 设 A ≠ Ф， i 为其子集 i = 1,2, ……，k） ，若
i
UA = A
Ai I Aj = φ (i ≠ j ), 则
i∈k i
{A }(i ∈ k ) 叫A的一个划分， Ai 叫划分的一个类。
R 求 R U S ， IS
~
~ ~ ~
，R
~
C
。
解：
0.8 0.5 RUS = 0.4 0.8 R IS= ~ ~ ~ ~
0.5 0.3 0.3 0.7
0.5 0.7 R C= 0.6 0.2 ~
例7：设 R ， ∈F ( X × X ) ，（X为实数域），且 S ~ ~
例3：设 R 为“x远大于 R ( x, y ) = −1 1 + 100 2 , ( x − y )
模糊数学
R2 R1(x, y) = R2(x, y)；包含：R1 R2 R1(x, y)≤R2(x, y)；并： R1∪R2 的隶属函数为(R1∪R2 )(x, y) = R1(x, y)∨R2(x, y)；交： R1∩R2 的隶属函数为： (R1∩R2 )(x, y) = R1(x, y)∧R2(x, y)；余：Rc 的隶属函数为 Rc (x, y) = 1- R(x, y)。 (R1∪R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系 “R1 或者 R2”的相关程度, y)表示(x, y)对模糊关系“R1 且 R2”的相·关程度, 糊关系 “非 R”的相关程度。 模糊关系的矩阵表示 :
其外延也是清晰的，可记为 Cantor 集（普通集合）。然而在论域上讨论的某些 概念， 只能模糊的非唯一的回答， 我们无法用一个 Cantor 集表达该概念的外延， 了表达模糊概念的外延，就产生了模糊集合（Fuzzy Sets）。 模糊集合不仅指出含有哪些元素，而且还是指出各元素隶属该集的程度。 设 X 是全集， A(x)是模糊集合 A 的隶属函数. 如果 X 是有限集合或可数集合, 则 将模糊集合 A 表示为 A A 表示为 A
如果 R 为布尔矩阵时,
则关系 R 为普通关系,
即 xi 与 yj 之间要么有关系
(rij = 1), 要么没有关系( rij = 0 )。 模糊关系的合成:
○
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则 R1 与 R2
的复合 R1 R2 是 X 到 Z 上的一个关系:
(R1○R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }.当论域为有限时,
模糊数学的基础知识
模糊数学知识小结与模糊数学相关的问题模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系模糊层次分析法—两两比较指标的确定模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。
由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果模糊数学基础一.Fuzzy 数学诞生的背景1）一个古希腊问题：“多少粒种子算作一堆？”2）Fuzzy 概念的广泛存在性，如“找人问题”3）何谓Fuzzy 概念？，如何描述它？由集合论的要求，一个对象x,对于一个集合，要么属于A,要么不属于A，二者必居其一，且仅居其一，绝对不允许模棱两可。
这种绝对的方法，是不能处理所有科学的问题，即现实生活中的一切事物一切现象都进行绝对的精确化时行不通的，从而产生模糊概念。
二.模糊与精确的关系对立统一，相互依存，可互相转化。
- 精确的概念可表达模糊的意思：如“望庐山瀑布”“飞流直下三千尺，凝是银河落九天”- Fuzzy的概念也能表达精确的意思：模糊数学不是让数学变成模模糊糊的东西，而是让数学进入模糊现象这个禁区，即用精确的数学方法去研究处理模糊现象。
三. 模糊性与随机性的区别事物分确定性现象与非确定性现象- 确定性现象：指在一定条件下一定会发生的现象。
- 非确定性现象分随机现象与模糊现象* 随机性是对事件的发生而言，其事件本身有着明确的含义，只是由于发生的条件不充分，事件的发生与否有多种可能性。
* 模糊性是研究处理模糊现象的，它所要处理的事件本身是模糊的。
模糊数学的广泛应用性模糊技术是21世纪的核心技术模糊数学的应用几乎渗透到自然科学与社会科学的所有领域：1）软科学方面：投资决策、企业效益评估、经济宏观调控等。
2）地震科学方面：地震预报、地震危害分析。
模糊数学第一章
一、集合 1. 集合的有关概念
论域:讨论范围U称为论域(universe )或全集
空集: 不含任何元素的集合,记为 子集: 若x A x B, 则称A是B的子集，或A包含
则
1, x [2,8], max{xA ( x), xB ( x)} 0, x [2,8],
1, x [2,8] A B [2,8], xA B ( x) 0, x [2,8]
则
xA B ( x) max{xA ( x), xB ( x)}
类似可得：
辽宁大学信息学院研究生课程
模糊数学及其应用
主 讲: 尹凤杰
什么是模糊数学？
模糊数学概念
Fuzzy Mathematics
研究和处理模糊概念的数学方法。 模糊概念：难以精确表达的概念。 例：高个子长头发戴宽边 眼镜的中年男人
1
模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n 若n=k 为秃子 n=1 显然 n=k+1 亦为秃子
1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )
• 基本思想
用属于程度代替属于或不属于。描述差异的中间 过渡。是精确性对模糊性的一种逼近。 某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于 秃子的程度为0.3等. 首次成功的用数学方法描述了模糊概念。
读作f映X入Y（映入），y称为x在影射f下的像，x称为原像。
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λ越大，分类越细
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21
动态聚类图
λ由1变到0的过程，是Rλ的分类由细到 粗的过程，从而形成了一个动态的聚
类图。
x1 x2 x3 x4 x5
λ =1
λ =0.8
λ =0.6 λ =0.5 λ =0.4
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22
3-8 模糊相似关系
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Q4 Q3 Q Q2 Q Q3;
...
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12
模糊等价关系
定义. 模糊关系R∈F(U×U) , 满足 （1）自反性：R (u,u)=1; （2）对称性：R(u,v)=R(v,u); （3）传递性：R2 ⊆R 则称R为模糊等价关系
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13
模糊等价矩阵
若模糊关系R满足R(u,v)=R(v,u)，则 称R具有对称性
模糊对称矩阵
rij = rji
例如：
1 0.4 0.5 A 0.4 1 0.9
0.5 0.9 1
9
传递性
若模糊关系R满足RоR⊆R，则称R具 有传递性
模糊传递矩阵
n
rij k1(rik rkj )
10
模糊传递矩阵——例
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26
传递闭包是什么？
R的传递闭包t(R) 是包含R的最小的传递关系
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27
传递闭包的定理1
定理1. 设模糊矩阵 A ∈ μn×n ，则A的 传递闭包t(A)是
t( A) A A2 ... An ... Ak
k 1
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01111000111111000001100111101111001
1 1111
求当λ ＝1，0.8，0.5，0.4时的聚类结果。
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20
模糊等价矩阵的定理2
定理2. R ∈ μn×n是模糊等价矩阵， 则对于任何λ,μ ∈[0,1]，且λ<μ，Rμ 所决定的分类中的每个类都是Rλ所 决定的分类中的某个类的子类。
若论域U是有限论域，则U上的模糊 等价关系R可表示为模糊等价矩阵
模糊等价矩阵
自反性 rii = 1
对称性 rij = rji
传递性
n
rij k1(rik rkj )
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14
R是否为模糊等价矩阵？
设论域U={x1, x2}，
R 10.3 0.13
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定理2. 设模糊矩阵 A ∈ μn×n ，则
n
t( A) Ak
k 1
其中，t(A)是传递闭包。
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30
定理2的意义
0.1 0.2
A
0
0.1
0 0
0.3 0.2 , A2 ? 0.1
0.1 0.1
A2
0
0.1
0 0
0.2 0.1 A 0.1
11
模糊传递矩阵的定理
定理. 设模糊矩阵 Q ∈Mn×n是传递 矩阵，则有
Q ⊇Q2 ⊇ Q3 ⊇… ⊇Qn-1 ⊇Qn ⊇…
证明:
Q3 Q2 Q Q Q Q2;
23
模糊相似关系的定义
设R∈F(U×U)，若R具有自反性和 对称性，则称R为U上的一个模糊相 似关系
例如：模糊关系“彼此熟悉”、 “朋友”等
模糊相似关系vs.模糊等价关系
没有了传递性的要求
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24
为何研究模糊相似关系？
实际应用中，通常只能得到自反和 对称矩阵（相似矩阵），模糊等价 矩阵较为少见
28
传递闭包定理1证明
(1) Ak A j ( Ak A j )
( Ak A j )
k 1
j1
k 1
j1
k 1 j1
ห้องสมุดไป่ตู้
Am Am
m2
m1
(2) Ak A
k 1
(3)对Q A,有k(自然数)Qk Ak
Q Qk Ak ,所以，Q Ak
k 1
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29
传递闭包的定理2
模糊数学 7
1
习题3-6
A自反 Aii 1 Aii Bii 1 (A B)ii 1 A B自反
2
习题3-7
3
习题3-7答案
4
3-7 模糊等价关系及聚类图
5
模糊关系的三个概念
自反性 对称性 传递性
6
自反性
若模糊关系R满足R(u,u)=1或I⊆R， 则称R具有自反性
从而得到不同的分类
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19
模糊等价矩阵分类——例
设U={u1, u2, u3 ,u4, u5 }
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.4 1 0.4 0.4 0.4
R
0.8
0.4
1
0.5 0.5
0.5 0.4 0.5 1 0.6
0.5
0.4
0.5
0.6
1
RRR10.08.510000R0110001111.0400010000101000100011111001110110001011110010
传递性: R⊇R2⊇…⊇Rn-1⊇Rn
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17
模糊等价矩阵的定理1
定理1. R是模糊等价矩阵⇔ 对于任何λ∈[0,1]，Rλ是等价布尔矩阵。 证明：
对称性、自反性显然 传递性
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18
定理1的意义
模糊等价矩阵普通等价矩阵 普通等价矩阵⇔普通等价关系 普通等价关系可以分类 当λ在[0,1]上变动时，得到不同的Rλ,
模糊自反矩阵
rii = 1
例如：
A
1
0.1
0.4
1
1
0
0 1
I
7
自反矩阵的定理
定理. 设模糊矩阵 A ∈Mn×n是自反矩阵， 则有
I ⊆ A⊆A2 ⊆ A3 ⊆…⊆ An-1 ⊆An⊆… 证明:
A2 A A A I A; A3 A2 A A2 I A2; ...
8
对称性
Questions.
对具有相似关系的元素如何分类？ 相似矩阵可否改造为等价矩阵？
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25
全新概念——传递闭包
设A, Â, B∈F(U×U)，若 Â为包含A的传递关系
即A⊆Â且Â2⊆ Â
对于任何包含A的传递关系B，都有 Â⊆B
则称Â为A的传递闭包，记为t(A)= Â
15
等价布尔关系
一个布尔矩阵具有如下特性，则称 其为等价的布尔矩阵，对应一个普 通的等价关系
自反性 对称性 传递性
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16
模糊等价矩阵的性质
若R为模糊等价矩阵，则 R= R2 = R3 = … = Rn-1 = Rn
证明： 自反性： R⊆R2 ⊆…⊆ Rn-1 ⊆Rn