模糊数学(模糊等价关系)

定理2. 设模糊矩阵 A ∈ μn×n ，则
n
t( A) Ak
k 1
其中，t(A)是传递闭包。
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定理2的意义
Questions.
对具有相似关系的元素如何分类？ 相似矩阵可否改造为等价矩阵？
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全新概念——传递闭包
设A, Â, B∈F(U×U)，若 Â为包含A的传递关系
即A⊆Â且Â2⊆ Â
对于任何包含A的传递关系B，都有 Â⊆B
则称Â为A的传递闭包，记为t(A)= Â
01111000111111000001100111101111001
1 1111
求当λ ＝1，0.8，0.5，0.4时的聚类结果。
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模糊等价矩阵的定理2
定理2. R ∈ μn×n是模糊等价矩阵， 则对于任何λ,μ ∈[0,1]，且λ<μ，Rμ 所决定的分类中的每个类都是Rλ所 决定的分类中的某个类的子类。
传递性: R⊇R2⊇…⊇Rn-1⊇Rn
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模糊等价矩阵的定理1
定理1. R是模糊等价矩阵⇔ 对于任何λ∈[0,1]，Rλ是等价布尔矩阵。 证明：
对称性、自反性显然 传递性
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定理1的意义
模糊等价矩阵普通等价矩阵 普通等价矩阵⇔普通等价关系 普通等价关系可以分类 当λ在[0,1]上变动时，得到不同的Rλ,
若论域U是有限论域，则U上的模糊 等价关系R可表示为模糊等价矩阵
模糊等价矩阵
自反性 rii = 1
对称性 rij = rji
传递性
n
rij来自百度文库 k1(rik rkj )
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R是否为模糊等价矩阵？
设论域U={x1, x2}，
R 10.3 0.13
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模糊数学 7
1
习题3-6
A自反 Aii 1 Aii Bii 1 (A B)ii 1 A B自反
2
习题3-7
3
习题3-7答案
4
3-7 模糊等价关系及聚类图
5
模糊关系的三个概念
自反性 对称性 传递性
6
自反性
若模糊关系R满足R(u,u)=1或I⊆R， 则称R具有自反性
15
等价布尔关系
一个布尔矩阵具有如下特性，则称 其为等价的布尔矩阵，对应一个普 通的等价关系
自反性 对称性 传递性
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模糊等价矩阵的性质
若R为模糊等价矩阵，则 R= R2 = R3 = … = Rn-1 = Rn
证明： 自反性： R⊆R2 ⊆…⊆ Rn-1 ⊆Rn
23
模糊相似关系的定义
设R∈F(U×U)，若R具有自反性和 对称性，则称R为U上的一个模糊相 似关系
例如：模糊关系“彼此熟悉”、 “朋友”等
模糊相似关系vs.模糊等价关系
没有了传递性的要求
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为何研究模糊相似关系？
实际应用中，通常只能得到自反和 对称矩阵（相似矩阵），模糊等价 矩阵较为少见
模糊自反矩阵
rii = 1
例如：
A
1
0.1
0.4
1
1
0
0 1
I
7
自反矩阵的定理
定理. 设模糊矩阵 A ∈Mn×n是自反矩阵， 则有
I ⊆ A⊆A2 ⊆ A3 ⊆…⊆ An-1 ⊆An⊆… 证明:
A2 A A A I A; A3 A2 A A2 I A2; ...
8
对称性
若模糊关系R满足R(u,v)=R(v,u)，则 称R具有对称性
模糊对称矩阵
rij = rji
例如：
1 0.4 0.5 A 0.4 1 0.9
0.5 0.9 1
9
传递性
若模糊关系R满足RоR⊆R，则称R具 有传递性
模糊传递矩阵
n
rij k1(rik rkj )
10
模糊传递矩阵——例
说明什么？
λ越大，分类越细
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动态聚类图
λ由1变到0的过程，是Rλ的分类由细到 粗的过程，从而形成了一个动态的聚
类图。
x1 x2 x3 x4 x5
λ =1
λ =0.8
λ =0.6 λ =0.5 λ =0.4
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3-8 模糊相似关系
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从而得到不同的分类
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模糊等价矩阵分类——例
设U={u1, u2, u3 ,u4, u5 }
1 0.4 0.8 0.5 0.5
0.4 1 0.4 0.4 0.4
R
0.8
0.4
1
0.5 0.5
0.5 0.4 0.5 1 0.6
0.5
0.4
0.5
0.6
1
RRR10.08.510000R0110001111.0400010000101000100011111001110110001011110010
28
传递闭包定理1证明
(1) Ak A j ( Ak A j )
( Ak A j )
k 1
j1
k 1
j1
k 1 j1
Am Am
m2
m1
(2) Ak A
k 1
(3)对Q A,有k(自然数)Qk Ak
Q Qk Ak ,所以，Q Ak
k 1
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传递闭包的定理2
Q4 Q3 Q Q2 Q Q3;
...
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模糊等价关系
定义. 模糊关系R∈F(U×U) , 满足 （1）自反性：R (u,u)=1; （2）对称性：R(u,v)=R(v,u); （3）传递性：R2 ⊆R 则称R为模糊等价关系
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13
模糊等价矩阵
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传递闭包是什么？
R的传递闭包t(R) 是包含R的最小的传递关系
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传递闭包的定理1
定理1. 设模糊矩阵 A ∈ μn×n ，则A的 传递闭包t(A)是
t( A) A A2 ... An ... Ak
k 1
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0.1 0.2
A
0
0.1
0 0
0.3 0.2 , A2 ? 0.1
0.1 0.1
A2
0
0.1
0 0
0.2 0.1 A 0.1
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模糊传递矩阵的定理
定理. 设模糊矩阵 Q ∈Mn×n是传递 矩阵，则有
Q ⊇Q2 ⊇ Q3 ⊇… ⊇Qn-1 ⊇Qn ⊇…
证明:
Q3 Q2 Q Q Q Q2;