解析函数的高阶导数

例2：求
C
cos z
(z −1)5
dz的值，其中C为正向圆周：z
=r
1.
解：函数
cos=
1，
C
cos z
(z −1)5
=
dz
f
(z)
=
2 i
4!
(cos
z)(4)
|z =1
=
2 i
4!

4
cos
z
|z=1
=
−
5
12
i.
小结：
1、高阶求导公式；
C
(
f ( )
− z)n+1
d
,
定理2（高阶求导公式）解析函数������(������)的导数仍为解析函数，
它的n阶导数为：
f
(n)
(z0 )
=
n!
2 i
C
(z
f −
(z) z0 )n+1
dz,
n
=
1,
2



高阶求导公式
其中������为在������ ������ 解析区域������内的围绕������0的任意一条简单正向
闭曲线且它的内部全含于������.
说明： (1)一个解析函数的导数仍为解析函数.
(2)如果������ ������ 在简单闭曲线������所围成的区域内及������上解析，
那么公式仍然成立;
(3)应用高阶求导公式计算积分：
f (z) C (z − z0 )n+1
dz
=
2 i
n!
f
(n) (z0 ).
复变函数与积分变换
沈阳工业大学理学院
第三节 柯西积分公式
一、柯西积分公式 二、解析函数的高阶导数
二、解析函数高阶导数
问题的提出：
假设：(1)解析函数具有任意阶导数;
(2)导数运算可在积分号下进行.
将柯西积分公式f
(z)
=
1
2 i
C
f

( )d
−z
在积分号下对������求导
f (n) (z)的可能形式是什么？假设是否成立？
2、高阶求导公式在积分计算中的应用.
f (z) C (z − z0 )(n+1)
dz = 2 i
n!
f (n) (z0 );
思考： 柯西积分公式与高阶求导公式在积分计算的应用中有哪些不同？
谢谢观看！
二、解析函数高阶导数
问题的提出：
d ( − z)−1 = ( − z)−2 ,
dz
d 2 ( − z)−1 = 2( − z)−3,
dz 2
,
dn dz n
(
−
z)−1
=
n!(
−
z)−(n+1)
=
(
n! − z)(n+1)
,
f (n) (z) = n!
2 i